वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याये ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$परिमेय संख्याओं को शामिल करें ${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$, जिसमें पूर्णांक शामिल हैं${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$, जिसमें बदले में प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं${\displaystyle (\mathbb {N} )}$

मिस्रवासियों द्वारा लगभग १००० ईसा पूर्व साधारण अंशों का उपयोग किया गया था ; वैदिक " शुल्बसूत्र " ( "chords के नियमों") में, सी। 600 ईसा पूर्व , अपरिमेय संख्याओं का पहला "उपयोग" क्या हो सकता है, शामिल करें । अपरिमेयता की अवधारणा को मानव ( सी। 750–690 ईसा पूर्व) जैसे प्रारंभिक भारतीय गणितज्ञों द्वारा स्पष्ट रूप से स्वीकार किया गया था , जो जानते थे कि कुछ संख्याओं के वर्गमूल , जैसे कि 2 और 61, को ठीक से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। ^[५] लगभग ५०० ईसा पूर्व, पाइथागोरस के नेतृत्व में ग्रीक गणितज्ञों ने अपरिमेय संख्याओं की आवश्यकता को महसूस किया, विशेष रूप से २ के वर्गमूल की अपरिमेयता ।

मध्य युग की स्वीकृति के बारे में लाया शून्य , ऋणात्मक संख्याओं , पूर्णांकों , और आंशिक नंबर, पहले से भारतीय और चीनी गणितज्ञों , और फिर से अरबी गणितज्ञों , जो भी पहले बीजीय वस्तुओं के रूप में अपरिमेय संख्याओं का इलाज करने के लिए गए थे (बाद किया जा रहा है संभव बनाया बीजगणित के विकास द्वारा)। ^[६] अरबी गणितज्ञों ने " संख्या " और " परिमाण " की अवधारणाओं को वास्तविक संख्याओं के अधिक सामान्य विचार में मिला दिया। ^[७] मिस्र के गणितज्ञ अबू कामिल शुजा इब्न असलम ( सी। ८५०-९३०) सबसे पहले अपरिमेय संख्याओं को द्विघात समीकरणों के समाधान के रूप में स्वीकार करते थे , या एक समीकरण में गुणांक के रूप में (अक्सर वर्गमूल, घनमूल और चौथे के रूप में) जड़ें )। ^[8]

१६वीं शताब्दी में, साइमन स्टीविन ने आधुनिक दशमलव संकेतन का आधार बनाया , और इस बात पर जोर दिया कि इस संबंध में परिमेय और अपरिमेय संख्याओं में कोई अंतर नहीं है।

17 वीं शताब्दी में, डेसकार्टेस ने एक बहुपद की जड़ों का वर्णन करने के लिए "वास्तविक" शब्द की शुरुआत की, जो उन्हें "काल्पनिक" से अलग करता है।

१८वीं और १९वीं शताब्दी में, अपरिमेय और अनुवांशिक संख्याओं पर बहुत काम किया गया था । जोहान हेनरिक लैम्बर्ट (1761) पहले से दोषपूर्ण सबूत है कि दिया π परिमेय नहीं हो सकता; एड्रियन-Marie लेगेंद्रे (1794) सबूत, पूरा ^[9] और पता चला है कि π एक तर्कसंगत संख्या का वर्गमूल नहीं है। ^[१०] पाओलो रफिनी (१७९९) और नील्स हेनरिक एबेल (१८४२) दोनों ने एबेल-रफिनी प्रमेय के प्रमाण का निर्माण किया : कि सामान्य क्विंटिक या उच्च समीकरणों को केवल अंकगणितीय संचालन और जड़ों को शामिल करने वाले सामान्य सूत्र द्वारा हल नहीं किया जा सकता है।

variste Galois (1832) ने यह निर्धारित करने के लिए तकनीक विकसित की कि क्या किसी दिए गए समीकरण को रेडिकल द्वारा हल किया जा सकता है, जिसने गैलोइस सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म दिया । जोसेफ लिउविल (1840) ने दिखाया कि न तो ई और न ही ई ² एक पूर्णांक द्विघात समीकरण का मूल हो सकता है , और फिर अनुवांशिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की; जॉर्ज कैंटर (1873) ने इस प्रमाण को बढ़ाया और बहुत सरल किया। ^[११] चार्ल्स हरमाइट (१८७३) ने पहली बार साबित किया कि ई पारलौकिक है, और फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन (1882) ने दिखाया कि अनुवांशिक है। लिंडेमैन के प्रमाण को वीयरस्ट्रैस (1885) द्वारा बहुत सरल बनाया गया था, डेविड हिल्बर्ट (1893) द्वारा और भी आगे , और अंततः एडॉल्फ हर्विट्ज़ ^[12] और पॉल गॉर्डन द्वारा प्राथमिक बनाया गया है । ^[13]

अठारहवीं शताब्दी में कलन के विकास ने वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट का उपयोग उन्हें सख्ती से परिभाषित किए बिना किया। पहली कठोर परिभाषा जॉर्ज कैंटर द्वारा १८७१ में प्रकाशित की गई थी । १८७४ में, उन्होंने दिखाया कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बेशुमार अनंत है , लेकिन सभी बीजीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय रूप से अनंत है । व्यापक रूप से धारित मान्यताओं के विपरीत, उनका पहला तरीका उनका प्रसिद्ध विकर्ण तर्क नहीं था , जिसे उन्होंने 1891 में प्रकाशित किया था। अधिक जानकारी के लिए, कैंटर का पहला बेशुमार प्रमाण देखें ।

वास्तविक संख्या प्रणाली ${\displaystyle (\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})}$एक समरूपता तक स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जा सकता है , जिसे इसके बाद वर्णित किया गया है। "द" वास्तविक संख्या प्रणाली के निर्माण के कई तरीके भी हैं, और एक लोकप्रिय दृष्टिकोण में प्राकृतिक संख्याओं से शुरू करना शामिल है, फिर परिमेय संख्याओं को बीजगणितीय रूप से परिभाषित करना, और अंत में वास्तविक संख्याओं को उनके कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के रूप में या डेडेकाइंड कट के रूप में परिभाषित करना , जो निश्चित हैं परिमेय संख्याओं के उपसमुच्चय। एक अन्य दृष्टिकोण यूक्लिडियन ज्यामिति (हिल्बर्ट या टार्स्की के बारे में) के कुछ कठोर स्वयंसिद्धीकरण से शुरू करना है, और फिर वास्तविक संख्या प्रणाली को ज्यामितीय रूप से परिभाषित करना है। वास्तविक संख्याओं के इन सभी निर्माणों को समतुल्य दिखाया गया है, इस अर्थ में कि परिणामी संख्या प्रणाली आइसोमॉर्फिक हैं ।

स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण

लश्कर ${\displaystyle \mathbb {आर} }$सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को निरूपित करें , फिर:

• सेट ${\displaystyle \mathbb {आर} }$एक फ़ील्ड है , जिसका अर्थ है कि जोड़ और गुणा परिभाषित हैं और सामान्य गुण हैं।
• फील्ड ${\displaystyle \mathbb {आर} }$है आदेश दिया , जिसका अर्थ है वहाँ एक है कि कुल आदेश ≥ ऐसे सभी वास्तविक संख्या है कि x , y और z :
  • यदि एक्स ≥ y , तो एक्स + z ≥ y + z ;
  • यदि x 0 और y ≥ 0, तो xy ≥ 0.
• आदेश है डेडेकिंड-पूरा है, जिसका अर्थ है कि हर गैर खाली सबसेट एस के${\displaystyle \mathbb {आर} }$एक ऊपरी सीमा के साथ${\displaystyle \mathbb {आर} }$में कम से कम ऊपरी सीमा (उर्फ, सर्वोच्च) है${\displaystyle \mathbb {आर} }$.

अंतिम संपत्ति वह है जो वास्तविक को परिमेय (और अन्य अधिक विदेशी आदेशित क्षेत्रों से ) से अलग करती है। उदाहरण के लिए,${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$एक तर्कसंगत ऊपरी सीमा है (उदाहरण के लिए, 1.42), लेकिन कम से कम तर्कसंगत ऊपरी सीमा नहीं है, क्योंकि 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} तर्कसंगत नहीं है।

ये गुण आर्किमिडीयन संपत्ति (जो कि पूर्णता की अन्य परिभाषाओं द्वारा निहित नहीं है) का अर्थ है, जो बताता है कि पूर्णांकों के सेट की वास्तविक में कोई ऊपरी सीमा नहीं है। वास्तव में, यदि यह गलत होता, तो पूर्णांकों में कम से कम ऊपरी सीमा N होती ; तो, एन - 1 एक ऊपरी बाध्य नहीं होगा, और वहाँ होगा कोई पूर्णांक n ऐसा है कि n > एन - 1 , और इस प्रकार n + 1> एन , जो के ऊपरी-बाउंड संपत्ति के साथ एक विरोधाभास है एन ।

वास्तविक संख्याएं उपरोक्त गुणों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट की जाती हैं। अधिक सटीक रूप से, किसी भी दो डेडेकाइंड-पूर्ण आदेशित फ़ील्ड को देखते हुए${\displaystyle \mathbb {आर} _{1}}$ तथा ${\displaystyle \mathbb {आर} _{2}}$है, एक अनन्य क्षेत्र मौजूद है समाकृतिकता से${\displaystyle \mathbb {आर} _{1}}$ सेवा मेरे ${\displaystyle \mathbb {R_{2}} }$. यह विशिष्टता हमें उन्हें अनिवार्य रूप से एक ही गणितीय वस्तु के रूप में सोचने की अनुमति देती है।

के एक और स्वयंसिद्धीकरण के लिए ${\displaystyle \mathbb {आर} }$, तर्स्की की वास्तविकताओं का स्वयंसिद्धीकरण देखें ।

परिमेय संख्याओं से निर्माण

वास्तविक संख्याओं का निर्माण परिमेय संख्याओं की पूर्णता के रूप में किया जा सकता है , इस तरह से एक दशमलव या द्विआधारी विस्तार द्वारा परिभाषित अनुक्रम जैसे (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) एक अद्वितीय वास्तविक संख्या में परिवर्तित हो जाता है। इस मामले -इन π । वास्तविक संख्याओं के विवरण और अन्य निर्माणों के लिए, वास्तविक संख्याओं का निर्माण देखें ।

मूल गुण

• कोई भी गैर- शून्य वास्तविक संख्या या तो ऋणात्मक या धनात्मक होती है ।
• योग और दो गैर नकारात्मक वास्तविक संख्या के उत्पाद फिर से एक गैर नकारात्मक वास्तविक संख्या, यानी, वे इन आपरेशनों के तहत बंद हो जाती हैं, और एक फार्म सकारात्मक शंकु , जिससे एक को जन्म दे रही रैखिक आदेश एक साथ वास्तविक संख्या की संख्या रेखा ।
• वास्तविक संख्याएं संख्याओं का एक अनंत सेट बनाती हैं जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट में इंजेक्शन द्वारा मैप नहीं किया जा सकता है , यानी, अनगिनत रूप से कई वास्तविक संख्याएं हैं, जबकि प्राकृतिक संख्याएं अनगिनत अनंत कहलाती हैं । यह स्थापित करता है कि कुछ अर्थों में, किसी भी गणनीय सेट में तत्वों की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएं होती हैं।
• वास्तविक संख्याओं के अनगिनत अनंत उपसमुच्चय का एक पदानुक्रम है, उदाहरण के लिए, पूर्णांक , परिमेय , बीजीय संख्याएं और गणना योग्य संख्याएं , प्रत्येक सेट अनुक्रम में अगले का एक उचित उपसमुच्चय है। पूरक इन सभी सेट (की तर्कहीन , दिव्य , और गैर गणनीय वास्तविक संख्या) वास्तविक में सभी uncountably अनंत सेट कर रहे हैं।
• वास्तविक संख्या व्यक्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता माप की निरंतर मात्रा। उन्हें दशमलव निरूपण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है , उनमें से अधिकांश में दशमलव बिंदु के दाईं ओर अंकों का अनंत क्रम होता है ; ये अक्सर ३२४.८२३१२२१४७ तरह प्रतिनिधित्व कर रहे हैं ..., जहां अंडाकार (तीन बिंदु) इंगित करता है कि वहाँ अभी भी अधिक अंक आने के लिए होगा। यह इस तथ्य की ओर संकेत करता है कि हम केवल कुछ, चयनित वास्तविक संख्याओं को सूक्ष्म रूप से कई प्रतीकों के साथ निरूपित कर सकते हैं।

अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक संख्याओं में एक आदेशित फ़ील्ड होने और कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति होने के दो मूल गुण होते हैं। पहला कहता है कि वास्तविक संख्याओं में एक फ़ील्ड शामिल होता है , जिसमें जोड़ और गुणा के साथ-साथ गैर-शून्य संख्याओं से विभाजन होता है, जिसे पूरी तरह से जोड़ और गुणा के साथ संगत तरीके से एक संख्या रेखा पर क्रमबद्ध किया जा सकता है। दूसरा कहता है कि, यदि वास्तविक संख्याओं के गैर-रिक्त सेट में ऊपरी सीमा होती है , तो इसकी वास्तविक न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है । दूसरी शर्त वास्तविक संख्याओं को परिमेय संख्याओं से अलग करती है: उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं का समूह जिसका वर्ग 2 से कम है, एक ऊपरी सीमा (जैसे 1.5) वाला एक सेट है, लेकिन कोई (तर्कसंगत) कम से कम ऊपरी सीमा नहीं है: इसलिए परिमेय संख्याएं कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति को संतुष्ट न करें।

संपूर्णता

वास्तविक संख्याओं का उपयोग करने का एक मुख्य कारण यह है कि कई अनुक्रमों की सीमाएँ होती हैं । अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक पूर्ण हैं ( मीट्रिक रिक्त स्थान या वर्दी रिक्त स्थान के अर्थ में , जो पिछले खंड में ऑर्डर की डेडेकिंड पूर्णता से अलग अर्थ है):

एक अनुक्रम ( एक्स _एन वास्तविक संख्या की) एक कहा जाता है कॉची अनुक्रम यदि कोई हो के लिए ε> 0 वहाँ एक पूर्णांक मौजूद एन (संभवतः ε के आधार पर) ऐसी है कि दूरी | एक्स _एन - एक्स _एम | सभी n और m के लिए ε से कम है जो दोनों N से बड़े हैं । मूल रूप से कॉची द्वारा प्रदान की गई यह परिभाषा इस तथ्य को औपचारिक रूप देती है कि x _n अंततः आते हैं और मनमाने ढंग से एक दूसरे के करीब रहते हैं।

एक अनुक्रम ( x _n ) सीमा x में परिवर्तित हो जाता है यदि इसके तत्व अंततः आते हैं और मनमाने ढंग से x के करीब रहते हैं , अर्थात, यदि किसी ε > 0 के लिए एक पूर्णांक N मौजूद है (संभवतः ε पर निर्भर करता है) जैसे कि दूरी | एक्स _एन - एक्स | के लिए ε से भी कम है n से अधिक एन ।

प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम एक कॉची अनुक्रम है, और वास्तविक संख्याओं के लिए विलोम सत्य है, और इसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं का टोपोलॉजिकल स्थान पूर्ण है।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय पूर्ण नहीं है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; १.४१,४२१; ...) है, जहां प्रत्येक अवधि के सकारात्मक का दशमलव विस्तार के अंकों कहते हैं वर्गमूल 2 के, कॉची है लेकिन यह एक ओर अभिसरित नहीं है परिमेय संख्या (वास्तविक संख्याओं में, इसके विपरीत, यह 2 के धनात्मक वर्गमूल में परिवर्तित हो जाती है )।

वास्तविक की पूर्णता संपत्ति वह आधार है जिस पर कलन , और, अधिक सामान्यतः गणितीय विश्लेषण का निर्माण किया जाता है। विशेष रूप से, परीक्षण कि एक अनुक्रम एक कॉची अनुक्रम है, यह साबित करने की अनुमति देता है कि अनुक्रम की एक सीमा है, इसकी गणना किए बिना, और यहां तक ​​​​कि इसे जाने बिना भी।

उदाहरण के लिए, घातीय फ़ंक्शन की मानक श्रृंखला

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

प्रत्येक x के लिए एक वास्तविक संख्या में परिवर्तित हो जाता है , क्योंकि योग

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

पर्याप्त रूप से बड़ा N चुनकर मनमाने ढंग से छोटा ( M से स्वतंत्र ) बनाया जा सकता है । यह साबित करता है कि अनुक्रम कॉची है, और इस प्रकार अभिसरण करता है, यह दर्शाता है कि${\displaystyle ई^{x}}$प्रत्येक x के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है ।

"पूर्ण आदेशित फ़ील्ड"

वास्तविक संख्याओं को अक्सर "पूर्ण आदेशित फ़ील्ड" के रूप में वर्णित किया जाता है, एक वाक्यांश जिसे कई तरीकों से व्याख्या किया जा सकता है।

सबसे पहले, एक आदेश जाली-पूर्ण हो सकता है । यह देखना आसान है कि कोई भी आदेशित फ़ील्ड जाली-पूर्ण नहीं हो सकता है, क्योंकि इसमें कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं हो सकता है (किसी भी तत्व को दिया गया है z , z + 1 बड़ा है)।

इसके अतिरिक्त, एक आदेश Dedekind-complete हो सकता है , § स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण देखें । उस खंड के अंत में विशिष्टता का परिणाम "पूर्ण आदेशित फ़ील्ड" वाक्यांश में "द" शब्द का उपयोग करने को सही ठहराता है, जब यह "पूर्ण" का अर्थ है। पूर्णता की यह भावना डेडेकिंड कटौती से वास्तविक के निर्माण से सबसे अधिक निकटता से संबंधित है, क्योंकि यह निर्माण एक आदेशित क्षेत्र (तर्कसंगत) से शुरू होता है और फिर इसे मानक तरीके से डेडेकिंड-पूर्णता बनाता है।

पूर्णता की ये दो धारणाएँ क्षेत्र संरचना की उपेक्षा करती हैं। हालांकि, एक आदेशित समूह (इस मामले में, क्षेत्र का योगात्मक समूह) एक समान संरचना को परिभाषित करता है , और समान संरचनाओं में पूर्णता की धारणा होती है ; § में विवरण पूर्णता एक विशेष मामला है। (हम मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए संबंधित और बेहतर ज्ञात धारणा के बजाय समान रिक्त स्थान में पूर्णता की धारणा का उल्लेख करते हैं , क्योंकि मीट्रिक स्थान की परिभाषा पहले से ही वास्तविक संख्याओं के एक लक्षण वर्णन पर निर्भर करती है।) यह सच नहीं है कि${\displaystyle \mathbb {आर} }$है केवल समान रूप से पूरा आदेश दिया क्षेत्र, लेकिन यह केवल समान रूप से पूरा हो गया है आर्किमिडीज़ क्षेत्र , और वास्तव में एक अक्सर वाक्यांश "पूरा आर्किमिडीज़ क्षेत्र" के बदले "पूरा का आदेश दिया क्षेत्र" सुनता है। प्रत्येक समान रूप से पूर्ण आर्किमिडीज क्षेत्र भी डेडेकिंड-पूर्ण (और इसके विपरीत) होना चाहिए, वाक्यांश "पूर्ण आर्किमिडीयन क्षेत्र" में "द" का उपयोग करके न्यायसंगत होना चाहिए। पूर्णता की यह भावना कॉची अनुक्रमों (इस लेख में पूर्ण रूप से किया गया निर्माण) से वास्तविक के निर्माण से सबसे अधिक निकटता से संबंधित है, क्योंकि यह एक आर्किमिडीज क्षेत्र (तर्कसंगत) से शुरू होता है और एक मानक में इसे समान रूप से पूरा करता है मार्ग।

लेकिन "पूर्ण आर्किमिडीयन क्षेत्र" वाक्यांश का मूल उपयोग डेविड हिल्बर्ट द्वारा किया गया था , जिसका अर्थ अभी भी कुछ और था। उनका मतलब था कि वास्तविक संख्याएं इस अर्थ में सबसे बड़ा आर्किमिडीयन क्षेत्र बनाती हैं कि हर दूसरा आर्किमिडीयन क्षेत्र किसका उपक्षेत्र है${\displaystyle \mathbb {आर} }$. इस प्रकार${\displaystyle \mathbb {आर} }$इस अर्थ में "पूर्ण" है कि इसे अब आर्किमिडीयन क्षेत्र बनाए बिना इसमें और कुछ नहीं जोड़ा जा सकता है। पूर्णता का यह अर्थ सबसे निकट से reals के निर्माण से संबंधित है असली संख्या , के बाद से है कि निर्माण एक उचित वर्ग है कि यह से सबसे बड़ी आर्किमिडीज़ उप क्षेत्र हर आदेश दिया क्षेत्र (surreals) और फिर चयन में शामिल है के साथ शुरू होता है।

उन्नत गुण

वास्तविक बेशुमार हैं ; अर्थात् , दोनों समुच्चय अनंत होने के बावजूद प्राकृत संख्याओं की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएँ हैं । वास्तव में, वास्तविक की कार्डिनैलिटी प्राकृतिक संख्याओं के सबसेट (यानी पावर सेट) के सेट के बराबर होती है, और कैंटर के विकर्ण तर्क में कहा गया है कि बाद वाले सेट की कार्डिनैलिटी की कार्डिनैलिटी से सख्ती से अधिक है${\displaystyle \mathbb {एन} }$. चूँकि बीजीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है, लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अनुवांशिक होती हैं । पूर्णांकों और वास्तविकों के बीच सख्ती से कार्डिनैलिटी के साथ वास्तविकताओं के एक उपसमुच्चय की गैर-अस्तित्व को सातत्य परिकल्पना के रूप में जाना जाता है । सातत्य परिकल्पना को न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत; यह सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है ।

टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में, वास्तविक संख्याएं वियोज्य हैं । इसका कारण यह है कि परिमेय समुच्चय, जो गणनीय है, वास्तविक संख्याओं में सघन है। अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं में भी घनी होती हैं, हालाँकि वे बेशुमार होती हैं और वास्तविक के समान कार्डिनैलिटी होती हैं।

वास्तविक संख्याएं एक मीट्रिक स्थान बनाती हैं : x और y के बीच की दूरी को निरपेक्ष मान के रूप में परिभाषित किया जाता है | एक्स - वाई | . पूरी तरह से व्यवस्थित सेट होने के कारण , वे एक ऑर्डर टोपोलॉजी भी ले जाते हैं ; टोपोलॉजी मीट्रिक और एक आदेश से उत्पन्न होने वाली से उत्पन्न होने वाली समान हैं, लेकिन टोपोलॉजी में आदेश दिया अंतराल के रूप में आदेश टोपोलॉजी के लिए विभिन्न प्रस्तुतियों उपज, एप्सिलॉन गेंदों के रूप में मीट्रिक टोपोलॉजी में। डेडेकाइंड कट कंस्ट्रक्शन ऑर्डर टोपोलॉजी प्रेजेंटेशन का उपयोग करता है, जबकि कॉची सीक्वेंस कंस्ट्रक्शन मीट्रिक टोपोलॉजी प्रेजेंटेशन का उपयोग करता है। रियल्स हॉसडॉर्फ आयाम  1 का एक सिकुड़ा हुआ (इसलिए जुड़ा हुआ और बस जुड़ा हुआ ), वियोज्य और पूर्ण मीट्रिक स्थान बनाता है । वास्तविक संख्या स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होती है लेकिन कॉम्पैक्ट नहीं होती है । विभिन्न गुण हैं जो उन्हें विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करते हैं; उदाहरण के लिए, सभी अनबाउंड, कनेक्टेड और वियोज्य ऑर्डर टोपोलॉजी आवश्यक रूप से रियल के लिए होमियोमॉर्फिक हैं ।

प्रत्येक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल होता है${\displaystyle \mathbb {आर} }$, हालांकि कोई ऋणात्मक संख्या नहीं है। इससे पता चलता है कि आदेश जारी है${\displaystyle \mathbb {आर} }$इसकी बीजगणितीय संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है। साथ ही, विषम कोटि का प्रत्येक बहुपद कम से कम एक वास्तविक मूल को स्वीकार करता है: ये दो गुण बनाते हैं${\displaystyle \mathbb {आर} }$एक वास्तविक बंद क्षेत्र का प्रमुख उदाहरण । यह साबित करना बीजगणित के मौलिक प्रमेय के एक प्रमाण का पहला भाग है ।

रियल में एक विहित माप होता है , लेबेसेग माप , जो एक टोपोलॉजिकल समूह के रूप में उनकी संरचना पर हार माप है, जैसे कि इकाई अंतराल [0; 1] का माप 1 है। वास्तविक संख्याओं के सेट मौजूद हैं जो लेबेसेग मापने योग्य नहीं हैं, जैसे विटाली सेट ।

वास्तविकताओं का सर्वोच्च स्वयंसिद्ध वास्तविक के सबसेट को संदर्भित करता है और इसलिए यह एक दूसरे क्रम का तार्किक कथन है। अकेले प्रथम-क्रम तर्क के साथ वास्तविकताओं को चिह्नित करना संभव नहीं है : लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय का तात्पर्य है कि वास्तविक संख्याओं का एक गणनीय घने उपसमुच्चय मौजूद है जो वास्तविक संख्याओं के रूप में प्रथम-क्रम तर्क में बिल्कुल समान वाक्यों को संतुष्ट करता है। हाइपररियल नंबरों का सेट उसी पहले क्रम के वाक्यों को संतुष्ट करता है जैसे${\displaystyle \mathbb {आर} }$. आदेशित फ़ील्ड जो पहले क्रम के समान वाक्यों को संतुष्ट करते हैं${\displaystyle \mathbb {आर} }$कहा जाता है गैरमानक मॉडल की${\displaystyle \mathbb {आर} }$. यही कारण है कि अमानक विश्लेषण काम करता है; कुछ गैर-मानक मॉडल में प्रथम-क्रम कथन को साबित करके (जो इसे साबित करने से आसान हो सकता है${\displaystyle \mathbb {आर} }$), हम जानते हैं कि यही कथन के लिए भी सत्य होना चाहिए ${\displaystyle \mathbb {आर} }$.

क्षेत्र ${\displaystyle \mathbb {आर} }$वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र का एक विस्तार क्षेत्र है${\displaystyle \mathbb {क्यू} }$ परिमेय संख्याओं का, और ${\displaystyle \mathbb {आर} }$इसलिए एक के रूप में देखा जा सकता है वेक्टर अंतरिक्ष से अधिक${\displaystyle \mathbb {क्यू} }$. पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत इस वेक्टर अंतरिक्ष के आधार के अस्तित्व की गारंटी देता है: वास्तविक संख्याओं का एक सेट बी मौजूद है जैसे कि प्रत्येक वास्तविक संख्या को इस सेट के तत्वों के एक सीमित रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है , का उपयोग करके केवल परिमेय गुणांक, और ऐसा कि B का कोई भी तत्व दूसरों का परिमेय रैखिक संयोजन नहीं है। हालाँकि, यह अस्तित्व प्रमेय विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है, क्योंकि इस तरह के आधार का कभी भी स्पष्ट रूप से वर्णन नहीं किया गया है।

अच्छी तरह से आदेश देने प्रमेय का तात्पर्य है कि वास्तविक संख्या जा सकता है सुव्यवस्थित पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाता है, तो: एक वहां मौजूद कुल आदेश पर${\displaystyle \mathbb {आर} }$संपत्ति है कि हर साथ गैर खाली सबसेट की${\displaystyle \mathbb {आर} }$एक है कम से कम तत्व इस आदेश में। (वास्तविक संख्याओं का मानक क्रम एक सुव्यवस्थित क्रम नहीं है क्योंकि उदाहरण के लिए एक खुले अंतराल में इस क्रम में कम से कम तत्व नहीं होता है।) फिर से, इस तरह के एक अच्छी तरह से आदेश का अस्तित्व विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है, क्योंकि यह नहीं किया गया है स्पष्ट रूप से वर्णित है। यदि V=L को ZF के अभिगृहीतों के अतिरिक्त माना जाता है, तो वास्तविक संख्याओं का एक सुव्यवस्थित क्रम एक सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है। ^[14]

एक वास्तविक संख्या या तो गणना योग्य या अगणनीय हो सकती है ; या तो एल्गोरिदमिक रूप से यादृच्छिक या नहीं; और या तो अंकगणितीय रूप से यादृच्छिक या नहीं।

वास्तविक संख्या और तर्क

वास्तविक संख्याओं को अक्सर सेट सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धीकरण का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जाता है, लेकिन कुछ गणितज्ञ गणित की अन्य तार्किक नींव के साथ वास्तविक संख्याओं का अध्ययन करते हैं। विशेष रूप से, वास्तविक संख्याओं का अध्ययन उल्टे गणित और रचनात्मक गणित में भी किया जाता है । ^[15]

Hyperreal संख्या के रूप में द्वारा विकसित एडविन हेविट , इब्राहीम रॉबिन्सन और दूसरों शुरू करने से वास्तविक संख्या के सेट का विस्तार अत्यल्प और अनंत संख्या, के निर्माण के लिए अनुमति देता है अत्यल्प कलन के मूल अंतर्ज्ञान के करीब एक तरह से लाइबनिट्स , यूलर , कॉची और अन्य।

एडवर्ड नेल्सन का आंतरिक सेट सिद्धांत एक यूनरी विधेय "मानक" को पेश करके ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत को वाक्य - रचना के रूप में समृद्ध करता है । इस दृष्टिकोण में, इनफिनिटिमल्स (गैर-"मानक") वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के तत्व हैं (बल्कि इसके विस्तार के तत्व होने के बजाय, जैसा कि रॉबिन्सन के सिद्धांत में है)।

सातत्य परिकल्पना मानती है कि वास्तविक संख्याओं के समूह का प्रमुखता है${\displaystyle \अलेफ _{1}}$; यानी के बाद सबसे छोटी अनंत कार्डिनल संख्या${\displaystyle \aleph _{0}}$, पूर्णांकों की कार्डिनैलिटी। 1963 में पॉल कोहेन ने साबित किया कि यह सेट थ्योरी के अन्य स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र एक स्वयंसिद्ध है; वह है: कोई या तो सातत्य परिकल्पना चुन सकता है या इसके निषेध को सेट सिद्धांत के एक स्वयंसिद्ध के रूप में, बिना किसी विरोधाभास के।

भौतिकी में

भौतिक विज्ञान में, अधिकांश भौतिक स्थिरांक जैसे कि सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, और भौतिक चर, जैसे स्थिति, द्रव्यमान, गति और विद्युत आवेश, वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके बनाए जाते हैं। वास्तव में, शास्त्रीय यांत्रिकी , विद्युत चुंबकत्व , क्वांटम यांत्रिकी , सामान्य सापेक्षता और मानक मॉडल जैसे मौलिक भौतिक सिद्धांतों को गणितीय संरचनाओं का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, आमतौर पर चिकनी मैनिफोल्ड या हिल्बर्ट रिक्त स्थान , जो वास्तविक संख्याओं पर आधारित होते हैं, हालांकि भौतिक मात्राओं का वास्तविक मापन परिमित सटीकता और सटीकता के हैं ।

भौतिकविदों ने कभी-कभी सुझाव दिया है कि एक अधिक मौलिक सिद्धांत वास्तविक संख्याओं को उन मात्राओं से बदल देगा जो एक निरंतरता नहीं बनाते हैं, लेकिन ऐसे प्रस्ताव सट्टा रहते हैं। ^[16]

गणना में

कुछ अपवादों को छोड़कर , अधिकांश कैलकुलेटर वास्तविक संख्याओं पर कार्य नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे परिमित-सटीक अनुमानों के साथ काम करते हैं जिन्हें फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर कहा जाता है । वास्तव में, अधिकांश वैज्ञानिक गणना फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करती है। वास्तविक संख्याएं अंकगणित के सामान्य नियमों को पूरा करती हैं , लेकिन फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर नहीं ।

कंप्यूटर असीमित वास्तविक संख्याओं को असीमित रूप से कई अंकों के साथ सीधे स्टोर नहीं कर सकते हैं। प्राप्त करने योग्य सटीकता एक संख्या को संग्रहीत करने के लिए आवंटित बिट्स की संख्या से सीमित होती है, चाहे फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर या मनमानी-सटीक संख्या के रूप में । हालाँकि, कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ उनके लिए सूत्रों में हेरफेर करके बिल्कुल अपरिमेय मात्राओं पर काम कर सकती हैं (जैसेsuch${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle \arcsin(2/23),}$ या ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx}$) उनके परिमेय या दशमलव सन्निकटन के बजाय। ^[१७] यह निर्धारित करना सामान्य रूप से संभव नहीं है कि क्या ऐसे दो व्यंजक समान हैं ( निरंतर समस्या )।

एक वास्तविक संख्या को गणना योग्य कहा जाता है यदि कोई एल्गोरिथम मौजूद है जो इसके अंक उत्पन्न करता है। क्योंकि केवल हैं गणनीय कई एल्गोरिदम, ^[18] लेकिन एक अगणनीय reals की संख्या, लगभग सभी वास्तविक संख्या गिनने योग्य होने के लिए असफल। इसके अलावा, दो गणना योग्य संख्याओं की समानता एक अनिर्वचनीय समस्या है । कुछ रचनावादी केवल उन्हीं वास्तविकताओं के अस्तित्व को स्वीकार करते हैं जो गणना योग्य हैं। के सेट definable संख्या व्यापक है, लेकिन अभी तक केवल गणनीय है।

सेट थ्योरी में "रियल्स"

में सेट सिद्धांत , विशेष रूप से वर्णनात्मक सेट सिद्धांत , बेयर स्थान के बाद से बाद के कुछ संस्थानिक गुण (संयुक्तता) है कि एक तकनीकी असुविधा हैं वास्तविक संख्या के लिए एक किराए के रूप में प्रयोग किया जाता है। बेयर अंतरिक्ष के तत्वों को "वास्तविक" कहा जाता है।

गणितज्ञ R प्रतीक का प्रयोग करते हैं , या, वैकल्पिक रूप से,${\displaystyle \mathbb {आर} }$, "R" अक्षर में ब्लैकबोर्ड बोल्ड (में इनकोडिंग यूनिकोड के रूप में U + 211D ℝ डबल-मारा राजधानी आर (एचटीएमएल  ℝ · &reals, &Ropf )), प्रतिनिधित्व करने के लिए सेट सब वास्तविक संख्या की। चूंकि यह सेट स्वाभाविक रूप से एक क्षेत्र की संरचना के साथ संपन्न होता है , वास्तविक संख्याओं का अभिव्यक्ति क्षेत्र अक्सर उपयोग किया जाता है जब इसके बीजगणितीय गुण विचाराधीन होते हैं।

धनात्मक वास्तविक संख्याओं और ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय अक्सर नोट किए जाते हैं ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ तथा ${\displaystyle \mathbb {आर} ^{-}}$, ^[१९] क्रमशः;${\displaystyle \mathbb {आर} _{+}}$ तथा ${\displaystyle \mathbb {आर} _{-}}$भी उपयोग किए जाते हैं। ^[२०] गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं को नोट किया जा सकता है${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ लेकिन इस सेट को अक्सर देखा जाता है ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\कप \{0\}.}$^[१९] फ्रांसीसी गणित में, धनात्मक वास्तविक संख्याओं और ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं में आमतौर पर शून्य शामिल होता है , और ये सेट क्रमशः नोट किए जाते हैं${\displaystyle \mathbb {R_{+}} }$ तथा ${\displaystyle \mathbb {R_{-}} .}$^[२०] इस समझ में, शून्य के बिना संबंधित सेट को सख्ती से सकारात्मक वास्तविक संख्या और सख्ती से नकारात्मक वास्तविक संख्या कहा जाता है, और नोट किया जाता है${\displaystyle \mathbb {आर} _{+}*}$ तथा ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}*.}$^[20]

संकेतन ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$को संदर्भित करता है कार्तीय उत्पाद की n की प्रतियां${\displaystyle \mathbb {आर} }$है, जो एक है n - आयामी वेक्टर अंतरिक्ष वास्तविक संख्या के क्षेत्र से अधिक; इस सदिश अंतरिक्ष के लिए पहचान की जा सकती n - आयामी के अंतरिक्ष इयूक्लिडियन ज्यामिति ही एक के रूप में समन्वय प्रणाली बाद में चुना गया है। उदाहरण के लिए, से एक मान${\displaystyle \mathbb {आर} ^{3}}$तीन वास्तविक संख्याओं का एक टपल होता है और 3-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक निर्दिष्ट करता है।

गणित में, वास्तविक का उपयोग विशेषण के रूप में किया जाता है, जिसका अर्थ है कि अंतर्निहित क्षेत्र वास्तविक संख्याओं (या वास्तविक क्षेत्र ) का क्षेत्र है । उदाहरण के लिए, वास्तविक मैट्रिक्स , वास्तविक बहुपद और वास्तविक झूठ बीजगणित । शब्द का प्रयोग संज्ञा के रूप में भी किया जाता है , जिसका अर्थ है एक वास्तविक संख्या (जैसा कि "सभी वास्तविकताओं का सेट")।

वास्तविक संख्याओं को कई अलग-अलग दिशाओं में सामान्यीकृत और विस्तारित किया जा सकता है:

• जटिल संख्याओं सब करने के लिए समाधान शामिल बहुपद समीकरणों और इसलिए कर रहे हैं बीजगणित के बंद क्षेत्र वास्तविक संख्या के विपरीत है। हालाँकि, सम्मिश्र संख्याएँ एक क्रमबद्ध फ़ील्ड नहीं हैं ।
• Affinely बढ़ाया वास्तविक संख्या प्रणाली दो तत्वों + ∞ और -∞ कहते हैं। यह एक कॉम्पैक्ट स्पेस है । यह अब कोई फ़ील्ड या योगात्मक समूह नहीं है, लेकिन फिर भी इसका कुल क्रम है ; इसके अलावा, यह एक पूर्ण जाली है ।
• असली प्रक्षेपीय लाइन केवल एक मान ∞ कहते हैं। यह एक कॉम्पैक्ट स्पेस भी है। फिर, यह अब कोई क्षेत्र या योगात्मक समूह नहीं है। हालांकि, यह एक गैर-शून्य तत्व को शून्य से विभाजित करने की अनुमति देता है। इसमें एक पृथक्करण संबंध द्वारा वर्णित चक्रीय क्रम है ।
• लंबे समय तक असली लाइन चिपकाता एक साथ ℵ ₁ * + ℵ ₁ वास्तविक रेखा के साथ साथ एक बिंदु (यहाँ ℵ की प्रतियां ₁ * ℵ के उलट आदेश को दर्शाता है ₁ ) एक आदेश दिया सेट वह यह है कि वास्तविक संख्या को "स्थानीय रूप से" समान बनाने के लिए, लेकिन किसी तरह लंबा; उदाहरण के लिए, लंबी वास्तविक रेखा में ₁ का एक आदेश-संरक्षण एम्बेडिंग है, लेकिन वास्तविक संख्या में नहीं। लंबी वास्तविक रेखा सबसे बड़ा आदेशित सेट है जो पूर्ण और स्थानीय रूप से आर्किमिडीज है। पिछले दो उदाहरणों की तरह, यह सेट अब फ़ील्ड या योगात्मक समूह नहीं है।
• वास्तविक का विस्तार करने वाले आदेशित क्षेत्र अतिवास्तविक संख्याएं और वास्तविक संख्याएं हैं ; इन दोनों में अतिसूक्ष्म और अपरिमित रूप से बड़ी संख्याएँ हैं और इसलिए गैर-आर्किमिडीयन क्रमित क्षेत्र हैं ।
• हिल्बर्ट स्पेस पर सेल्फ-एड्वाइंट ऑपरेटर्स (उदाहरण के लिए, सेल्फ-एड्वाइंट स्क्वायर कॉम्प्लेक्स मैट्रिसेस ) कई तरह से रियल्स को सामान्य करते हैं: उन्हें ऑर्डर किया जा सकता है (हालांकि पूरी तरह से ऑर्डर नहीं किया गया है), वे पूरे हैं, उनके सभी आइजनवैल्यू वास्तविक हैं और वे एक बनाते हैं वास्तविक साहचर्य बीजगणित । सकारात्मक-निश्चित ऑपरेटर सकारात्मक वास्तविकताओं के अनुरूप होते हैं और सामान्य ऑपरेटर जटिल संख्याओं के अनुरूप होते हैं।

• वास्तविक संख्याओं की पूर्णता
• निरंतर अंश
• निश्चित वास्तविक संख्या
• सकारात्मक वास्तविक संख्या
• वास्तविक विश्लेषण

उद्धरण

सूत्रों का कहना है

• "रियल नंबर" , गणित का विश्वकोश , ईएमएस प्रेस , 2001 [1994]