द्विघात समीकरण

में बीजगणित , एक द्विघात समीकरण (से लैटिन quadratus के लिए " वर्ग ") किसी भी है समीकरण है कि के रूप में मानक के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता

ax^{2}+bx+c=0

जहाँ $x$ एक अज्ञात को दर्शाता है , और $a$ , $b$ , और $c$ ज्ञात संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहाँ $a 0$ । यदि $a = 0 है$ , तो समीकरण रैखिक है , द्विघात नहीं, क्योंकि कोई नहीं है $कुल्हाड़ी^{2}$ अवधि। संख्याएँ $a$ , $b$ , और $c$ समीकरण के गुणांक हैं और उन्हें क्रमशः द्विघात गुणांक , रैखिक गुणांक और स्थिर या मुक्त पद कहकर अलग किया जा सकता है । ^[1]

के मूल्यों $एक्स$ कि समीकरण को संतुष्ट कहा जाता है समाधान समीकरण के, और जड़ों या शून्य की अभिव्यक्ति अपने बाएं हाथ की ओर पर। एक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो हल होते हैं। यदि कोई वास्तविक समाधान नहीं है, तो दो जटिल समाधान हैं। यदि केवल एक ही समाधान है, तो कोई कहता है कि यह दोहरी जड़ है । एक द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं, यदि सम्मिश्र जड़ों को शामिल किया जाता है और एक दोहरे मूल को दो के लिए गिना जाता है। एक द्विघात समीकरण किया जा सकता है पर निर्भर करता एक बराबर समीकरण में

ax^{2}+bx+c=a(xr)(xs)=0

जहाँ $r$ और $s$ $x$ के हल हैं । द्विघात समीकरण पर वर्ग को मानक रूप में पूरा करने पर द्विघात सूत्र प्राप्त होता है , जो समाधान को $a$ , $b$ और $c के$ रूप में व्यक्त करता है । द्विघात समीकरणों के रूप में व्यक्त की जा सकने वाली समस्याओं के समाधान 2000 ईसा पूर्व के रूप में जाने जाते थे।

चूंकि द्विघात समीकरण में केवल एक अज्ञात शामिल होता है, इसलिए इसे " एकतरफा " कहा जाता है । द्विघात समीकरण ही शामिल शक्तियों की $एक्स$ कि गैर नकारात्मक पूर्णांक हैं, और इसलिए यह एक है बहुपद समीकरण । विशेष रूप से, यह दूसरी डिग्री बहुपद समीकरण है, क्योंकि सबसे बड़ी शक्ति दो है।

द्विघात समीकरण को हल करना

चित्र 1. द्विघात फलन y = ax ² + bx + c के प्लॉट , प्रत्येक गुणांक को अलग-अलग बदलते हैं जबकि अन्य गुणांक स्थिर होते हैं (मानों पर a = 1, b = 0, c = 0)

वास्तविक या जटिल गुणांक वाले द्विघात समीकरण के दो हल होते हैं, जिन्हें मूल कहते हैं । ये दो समाधान भिन्न हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं, और वे वास्तविक हो भी सकते हैं और नहीं भी।

निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग

एक द्विघात समीकरण $ax 2 + bx + c = 0$ को गुणनफल $(px + q)(rx + s) = 0 के$ रूप में व्यक्त करना संभव हो सकता है । कुछ मामलों में, सरल निरीक्षण द्वारा, p , q , r, और s के मानों को निर्धारित करना संभव है जो दो रूपों को एक दूसरे के बराबर बनाते हैं। यदि द्विघात समीकरण को दूसरे रूप में लिखा जाता है, तो "शून्य गुणक गुण" बताता है कि द्विघात समीकरण संतुष्ट होता है यदि $px + q = 0$ या $rx + s = 0 हो$ । इन दो रैखिक समीकरणों को हल करने से द्विघात के मूल प्राप्त होते हैं।

अधिकांश छात्रों के लिए, निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग द्विघात समीकरणों को हल करने का पहला तरीका है जिससे वे उजागर होते हैं। ^[२]^{: २०२-२०७} यदि किसी को $x २ + bx + c = ०$ के रूप में एक द्विघात समीकरण दिया जाता है , तो मांगे गए गुणनखंड का रूप $(x + q) (x + s) होता है$ , और किसी को दो संख्याएँ ढूंढनी होती हैं। $क्यू$ और $रों$ कि को जोड़ने $ख$ और जिसका उत्पाद है $ग$ (यह कभी-कभी "Vieta के शासन" कहा जाता है ^[3] और से संबंधित है Vieta के सूत्रों )। उदाहरण के तौर पर, $x$ $2$ $+ 5$ $x$ $+ 6$ कारक $($ $x$ $+ 3)($ $x$ $+ 2) के रूप में$ । अधिक सामान्य मामले में जहां $एक$ बराबर नहीं है $1$ , परीक्षण और त्रुटि अनुमान और जांच में काफी प्रयास की आवश्यकता कर सकते हैं यह सोचते हैं कि यह निरीक्षण से बिल्कुल भी शामिल होती जा सकता है।

विशेष मामलों को छोड़कर जैसे कि $b = 0$ या $c = 0$ , निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग केवल तर्कसंगत जड़ों वाले द्विघात समीकरणों के लिए काम करता है। इसका मतलब यह है कि व्यावहारिक अनुप्रयोगों में उत्पन्न होने वाले द्विघात समीकरणों का बड़ा हिस्सा निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। ^[२]^{: २०७}

वर्ग पूरा करना

Figure 2 illustrates an x y plot of the quadratic function f of x equals x squared minus x minus 2. The x-coordinate of the points where the graph intersects the x-axis, x equals −1 and x equals 2, are the solutions of the quadratic equation x squared minus x minus 2 equals zero.

चित्र 2. द्विघात फलन

y = x 2 - x - 2 के लिए

, वे बिंदु जहाँ ग्राफ़

x

-अक्ष को काटता है ,

x = -1

और

x = 2

, द्विघात समीकरण

x 2 - x -2 =

के हल हैं।

0

.

वर्ग को पूरा करने की प्रक्रिया बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करती है

x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},

जो एक अच्छी तरह से परिभाषित एल्गोरिथ्म का प्रतिनिधित्व करता है जिसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है। ^[२]^{: २०७} मानक रूप में द्विघात समीकरण से शुरू करते हुए, $कुल्हाड़ी २ + बीएक्स + सी = ०$

प्रत्येक पक्ष को वर्ग पद के गुणांक $a से$ विभाजित करें ।
दोनों पक्षों से अचर पद $c / a$ घटाएं ।
$b / a के$ आधे का वर्ग , $x$ का गुणांक , दोनों पक्षों में जोड़ें। यह "वर्ग को पूरा करता है", बाईं ओर को एक पूर्ण वर्ग में परिवर्तित करता है।
बाईं ओर को एक वर्ग के रूप में लिखें और यदि आवश्यक हो तो दाईं ओर को सरल करें।
बाईं ओर के वर्गमूल को दाईं ओर के धनात्मक और ऋणात्मक वर्गमूल के साथ समीकरण करके दो रैखिक समीकरण बनाएँ।
दो रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक को हल करें।

हम $2$ $x$ $2$ $+ 4$ $x$ $- 4 = 0 .$ को हल करके इस एल्गोरिथम के उपयोग का वर्णन करते हैं

1)\ x^{2}+2x-2=0

2)\ x^{2}+2x=2

3)\ x^{2}+2x+1=2+1

4)\ \बाएं(x+1\दाएं)^{2}=3

5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}

6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}

प्लस-ऋण का चिह्न "±" इंगित करता है कि दोनों $एक्स = -1 + \sqrt 3$ और $एक्स = -1 - \sqrt 3$ द्विघात समीकरण का समाधान कर रहे हैं। ^[४]

द्विघात सूत्र और उसकी व्युत्पत्ति

वर्ग को पूरा करने का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जिसे द्विघात सूत्र कहा जाता है। ^[5] गणितीय प्रमाण अब संक्षेप में संक्षेप किया जाएगा। ^[६] बहुपद विस्तार द्वारा यह आसानी से देखा जा सकता है कि निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण के बराबर है:

\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर और $x को$ पृथक करने पर प्राप्त होता है:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

कुछ स्रोत, विशेष रूप से पुराने वाले, द्विघात समीकरण के वैकल्पिक मापदंडों का उपयोग करते हैं जैसे कि $ax 2 + 2 bx + c = 0$ या $ax 2 - 2 bx + c = 0$ , ^[7] जहां $b$ का परिमाण सामान्य से आधा है। एक, संभवतः विपरीत चिन्ह के साथ। ये समाधान के लिए थोड़े अलग रूपों में परिणत होते हैं, लेकिन अन्यथा समकक्ष होते हैं।

साहित्य में कई वैकल्पिक व्युत्पत्तियां पाई जा सकती हैं। ये प्रमाण वर्ग विधि को पूरा करने वाले मानक की तुलना में सरल हैं, बीजगणित में अक्सर उपयोग की जाने वाली अन्य तकनीकों के दिलचस्प अनुप्रयोगों का प्रतिनिधित्व करते हैं, या गणित के अन्य क्षेत्रों में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं।

एक कम ज्ञात द्विघात सूत्र, जैसा कि मुलर की विधि में प्रयोग किया जाता है , समीकरण के माध्यम से समान मूल प्रदान करता है

x={\frac {2}c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.

इसे विएटा के सूत्रों द्वारा मानक द्विघात सूत्र से निकाला जा सकता है , जो यह दावा करता है कि जड़ों का गुणनफल $c / a है$ ।

इस रूप का एक गुण यह है कि यह एक वैध मूल उत्पन्न करता है जब $a = 0 होता है$ , जबकि दूसरे मूल में शून्य से विभाजन होता है, क्योंकि जब $a = 0 होता है$ , तो द्विघात समीकरण एक रैखिक समीकरण बन जाता है, जिसका एक मूल होता है। इसके विपरीत, इस मामले में, अधिक सामान्य सूत्र में एक मूल के लिए शून्य से विभाजन होता है और दूसरी जड़ के लिए एक अनिश्चित रूप $0/0 होता है$ । दूसरी ओर, जब $c = 0$ , अधिक सामान्य सूत्र से दो सही मूल प्राप्त होते हैं जबकि इस रूप से शून्य मूल और एक अनिश्चित रूप $0/0 प्राप्त होता है$ ।

घटा हुआ द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण को कम करना कभी-कभी सुविधाजनक होता है ताकि इसका अग्रणी गुणांक एक हो। यह दोनों पक्षों को a से विभाजित करके किया जाता है , जो हमेशा संभव होता है क्योंकि a गैर-शून्य है। यह घटा हुआ द्विघात समीकरण उत्पन्न करता है : ^[8]

x^{2}+px+q=0,

जहां पी = बी / ए और क्यू = सी / ए । इस मोनिक समीकरण के मूल के समान ही समाधान हैं।

घटे हुए द्विघात समीकरण के हल के लिए द्विघात सूत्र, इसके गुणांकों के रूप में लिखा गया है:

x={\frac {1}{2}}\बाएं(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\दाएं),

या समकक्ष:

x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.

विभेदक

चित्रा 3. भेदभावपूर्ण संकेत

द्विघात सूत्र में, वर्गमूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को द्विघात समीकरण का विभेदक कहा जाता है, और इसे अक्सर अपर केस $D$ या अपर केस ग्रीक डेल्टा का उपयोग करके दर्शाया जाता है : ^[9]

\Delta =b^{2}-4ac.

वास्तविक गुणांक वाले द्विघात समीकरण में एक या दो भिन्न वास्तविक मूल या दो भिन्न जटिल मूल हो सकते हैं। इस मामले में विवेचक जड़ों की संख्या और प्रकृति को निर्धारित करता है। तीन मामले हैं:

यदि विवेचक धनात्मक है, तो दो भिन्न मूल हैं

{\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}} २ए}},

जो दोनों वास्तविक संख्याएँ हैं। परिमेय गुणांक वाले द्विघात समीकरणों के लिए , यदि विवेचक एक वर्ग संख्या है , तो मूल परिमेय होते हैं—अन्य मामलों में वे द्विघात अपरिमेय हो सकते हैं ।

यदि विवेचक शून्य है, तो वास्तव में एक वास्तविक मूल है

-{\frac {b}{2a}},

कभी-कभी दोहराया या दोहरा मूल कहा जाता है ।

यदि विवेचक नकारात्मक है, तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। बल्कि, दो अलग ( अवास्तविक ) जटिल जड़ें हैं ^[10]

-{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b} {2}a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta}}{2a}},

जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं । इन भाव में

मैं

है काल्पनिक इकाई ।

इस प्रकार जड़ें अलग होती हैं यदि और केवल अगर विवेचक गैर-शून्य है, और जड़ें वास्तविक हैं यदि और केवल अगर विवेचक गैर-नकारात्मक है।

ज्यामितीय व्याख्या

y = ax 2 + bx + c

का ग्राफ , जहां

a

और विवेचक

b 2 - 4 ac

धनात्मक हैं, के साथ

लाल रंग में जड़ें और $y$ -अवरोधन
नीले रंग में समरूपता का शीर्ष और अक्ष
गुलाबी रंग में फोकस और डायरेक्ट्रिक्स

y = ax 2 + bx + c

की जटिल जड़ों का विज़ुअलाइज़ेशन : परवलय को इसके शीर्ष ( नारंगी ) के बारे में 180° घुमाया जाता है । इसके

x-

अवरोधन को उनके मध्य-बिंदु के चारों ओर 90° घुमाया जाता है, और कार्तीय तल की व्याख्या जटिल तल ( हरा ) के रूप में की जाती है। ^{[1 1]}

फलन $f (x) = ax 2 + bx + c$ एक द्विघात फलन है । ^[१२] किसी भी द्विघात फलन के ग्राफ का सामान्य आकार समान होता है, जिसे परवलय कहा जाता है । परवलय का स्थान और आकार, और यह कैसे खुलता है, $a$ , $b$ , और $c$ के मानों पर निर्भर करता है । जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है, यदि $a > 0 है$ , तो परवलय का एक न्यूनतम बिंदु होता है और यह ऊपर की ओर खुलता है। यदि $a <0 है$ , तो परवलय का अधिकतम बिंदु होता है और यह नीचे की ओर खुलता है। परवलय का चरम बिंदु, चाहे वह न्यूनतम हो या अधिकतम, इसके शीर्ष से मेल खाता है । शीर्ष का $x-$ निर्देशांक पर स्थित होगा $\scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}$ , और शीर्ष के $y-$ निर्देशांक को इस $x-$ मान को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करके पाया जा सकता है । $Y$ संवाद बिंदु पर स्थित है $(0, ग)$ ।

द्विघात समीकरण $ax 2 + bx + c = 0 के$ हल फलन $f$ $($ $x$ $) =$ $ax$ $2$ $+$ $bx$ $+$ $c$ के मूल के अनुरूप हैं , क्योंकि वे $x$ के मान हैं जिसके लिए $f$ $($ $x$ $) = 0 है$ । जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है, अगर $एक$ , $ख$ , और $ग$ रहे हैं वास्तविक संख्या और डोमेन की $च$ वास्तविक संख्या का सेट है, तो की जड़ों $च$ वास्तव में कर रहे हैं $एक्स$ - निर्देशांक अंकों की जहां ग्राफ छू लेती है $एक्स$ अक्ष . जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है, यदि विभेदक धनात्मक है, तो ग्राफ़ x -अक्ष को दो बिंदुओं पर स्पर्श करता है ; यदि शून्य है, तो आलेख एक बिंदु पर स्पर्श करता है; और यदि ऋणात्मक है, तो ग्राफ $x$ -अक्ष को स्पर्श नहीं करता है ।

द्विघात गुणनखंड

अवधि

xr

बहुपद का एक गुणनखंड है

ax^{2}+bx+c

यदि और केवल यदि $r$ एक है जड़ द्विघात समीकरण की

ax^{2}+bx+c=0.

यह द्विघात सूत्र से निम्नानुसार है कि

ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x -{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).

विशेष स्थिति में $b 2 = 4 ac$ जहाँ द्विघात का केवल एक भिन्न मूल है ( अर्थात विवेचक शून्य है), द्विघात बहुपद को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है

ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.

चित्रमय समाधान

चित्र 4. द्विघात समीकरण

2 x 2 + 4 x - 4 = 0

के दो मूलों में से किसी एक का रेखांकन कैलकुलेटर गणना । हालांकि प्रदर्शन सटीकता के केवल पांच महत्वपूर्ण आंकड़े दिखाता है,

xc

का पुनर्प्राप्त मूल्य 0.732050807569 है, जो बारह महत्वपूर्ण आंकड़ों के लिए सटीक है।

वास्तविक मूल के बिना एक द्विघात फलन: y = ( x - 5) ² + 9 । "3" x- अवरोधन का काल्पनिक भाग है । वास्तविक भाग शीर्ष का x- निर्देशांक है। इस प्रकार मूल 5 ± 3 i हैं ।

द्विघात समीकरण के हल

ax^{2}+bx+c=0

से निष्कर्ष निकाला जा सकता है ग्राफ की द्विघात क्रिया

y=ax^{2}+bx+c,

जो एक परवलय है ।

यदि परवलय intersects $एक्स$ दो अंक में की धुरी, वहाँ दो असली हैं जड़ों , जो कर रहे हैं $एक्स$ इन दो बिंदुओं के -coordinates (भी बुलाया $एक्स$ संवाद)।

यदि परवलय $x-$ अक्ष की स्पर्श रेखा है , तो एक दोहरा मूल होता है, जो आलेख और परवलय के बीच संपर्क बिंदु का $x-$ निर्देशांक होता है।

यदि परवलय $x-$ अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है , तो दो जटिल संयुग्म मूल होते हैं। हालांकि इन जड़ों को ग्राफ पर नहीं देखा जा सकता है, लेकिन इनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से हो सकते हैं। ^[13]

मान लें कि $h$ और $k$ परवलय के शीर्ष के क्रमशः $x-$ निर्देशांक और $y-$ निर्देशांक हैं (जो कि अधिकतम या न्यूनतम $y-$ निर्देशांक वाला बिंदु है । द्विघात फलन को फिर से लिखा जा सकता है)

y=a(xh)^{2}+k.

मान लीजिए $d$ परवलय की धुरी पर $y-$ निर्देशांक $2 k के$ बीच की दूरी है , और समान $y-$ निर्देशांक वाले परवलय पर एक बिंदु है (आकृति देखें; ऐसे दो बिंदु हैं, जो समान दूरी देते हैं, परवलय की समरूपता के कारण)। तब जड़ों का वास्तविक भाग $h होता है$ , और उनका काल्पनिक भाग $\pm d होता है$ । यानी जड़ें हैं

h+id\quad {\text{and}}\quad x-id,

या आकृति के उदाहरण के मामले में

5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.

महत्व के नुकसान से बचना

हालांकि द्विघात सूत्र एक सटीक समाधान प्रदान करता है, परिणाम सटीक नहीं है यदि गणना के दौरान वास्तविक संख्याओं का अनुमान लगाया जाता है, हमेशा की तरह संख्यात्मक विश्लेषण में , जहां वास्तविक संख्याओं को फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों (कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में "वास्तविक" कहा जाता है) द्वारा अनुमानित किया जाता है । इस संदर्भ में, द्विघात सूत्र पूरी तरह से स्थिर नहीं है ।

यह तब होता है जब जड़ों में परिमाण का अलग-अलग क्रम होता है , या, समतुल्य रूप से, जब $b 2$ और $b 2 - 4 ac$ परिमाण में करीब होते हैं। इस मामले में, दो लगभग समान संख्याओं का घटाव महत्व की हानि या छोटी जड़ में विनाशकारी रद्दीकरण का कारण होगा । इससे बचने के लिए, जो रूट परिमाण में छोटा है, $r की$ गणना इस प्रकार की जा सकती है $(सी/ए)/आर$ जहाँ $R$ वह जड़ है जो परिमाण में बड़ी है।

रद्दीकरण का दूसरा रूप विवेचक के पदों $b 2$ और $4 ac$ के बीच हो सकता है , अर्थात जब दो मूल बहुत करीब हों। इससे जड़ों में सही महत्वपूर्ण आंकड़ों के आधे तक का नुकसान हो सकता है। ^[7]^[14]

उदाहरण और अनुप्रयोग

क्लिफ जम्पर का प्रक्षेप पथ परवलयिक है क्योंकि क्षैतिज विस्थापन समय का एक रैखिक फलन है

x=v_{x}t

, जबकि ऊर्ध्वाधर विस्थापन समय का द्विघात फलन है

y={\tfrac {1}{2}}पर^{2}+v_{y}t+h

. परिणामस्वरूप, पथ द्विघात समीकरण का अनुसरण करता है

y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h

, कहां है

v_{x}

तथा

v_{y}

मूल वेग की क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक हैं,

एक

है गुरुत्वाकर्षण त्वरण और

ज

मूल ऊंचाई है। यहां

a

मान को ऋणात्मक माना जाना चाहिए, क्योंकि इसकी दिशा (नीचे की ओर) ऊंचाई माप (ऊपर की ओर) के विपरीत है।

सुनहरे अनुपात द्विघात समीकरण के सकारात्मक समाधान के रूप में पाया जाता है $x^{2}-x-1=0.$

वृत्त और अन्य शंकु वर्गों के समीकरण - दीर्घवृत्त , परवलय , और अतिपरवलय - दो चरों में द्विघात समीकरण हैं।

किसी कोण की कोज्या या ज्या को देखते हुए, आधे बड़े कोण की कोज्या या ज्या ज्ञात करने में द्विघात समीकरण को हल करना शामिल है।

किसी अन्य व्यंजक के वर्गमूल को शामिल करते हुए व्यंजक के वर्गमूल को शामिल करने वाले व्यंजकों को सरल बनाने की प्रक्रिया में द्विघात समीकरण के दो हल खोजना शामिल है।

डेसकार्टेस 'प्रमेय कहा गया है कि हर चार के लिए चुंबन (परस्पर स्पर्श) हलकों, उनके त्रिज्या एक विशेष द्विघात समीकरण को संतुष्ट।

फ्यूस प्रमेय द्वारा दिया गया समीकरण , एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज के उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या, उसके परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या और उन वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी के बीच संबंध देते हुए, एक द्विघात समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसके लिए दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्या के संदर्भ में एक समाधान है। प्रासंगिक त्रिज्या के मामले में एक ही समीकरण के दूसरी समाधान घिरा चक्र के केंद्र के बीच की दूरी और के केंद्र देता है बहिवृत्त एक की पूर्व स्पर्शरेखा चतुर्भुज ।

एक द्विघात समीकरण को हल करके एक क्यूबिक फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु और एक क्वार्टिक फ़ंक्शन के विभक्ति बिंदु पाए जाते हैं।

इतिहास

बेबीलोन के गणितज्ञ , 2000 ईसा पूर्व ( पुरानी बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों पर प्रदर्शित ) आयतों के क्षेत्रों और पक्षों से संबंधित समस्याओं को हल कर सकते थे। इस एल्गोरिथम को उर के तीसरे राजवंश के रूप में डेटिंग करने के प्रमाण हैं । ^[१५] आधुनिक संकेतन में, समस्याओं में आमतौर पर फॉर्म के युगपत समीकरणों के एक जोड़े को हल करना शामिल होता है:

x+y=p,\ \ xy=q,

जो इस कथन के समतुल्य है कि $x$ और $y$ समीकरण के मूल हैं: ^[16]^{: 86}

z^{2}+q=pz.

उपरोक्त आयत समस्या को $x$ और $y के$ संदर्भ में हल करने के लिए बेबीलोन के शास्त्रियों द्वारा दिए गए कदम इस प्रकार थे:

पी के आधे की गणना करें ।
परिणाम को चौकोर करें।
घटाना क्यू ।
वर्गों की एक तालिका का उपयोग करके (सकारात्मक) वर्गमूल खोजें।
चरण (1) और (4) के परिणामों को मिलाकर $x प्राप्त करें$ ।

आधुनिक संकेतन में इसका अर्थ है गणना करना $x=\left({\frac {p}{2}}\right)+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$ , जो कि बड़े वास्तविक मूल (यदि कोई हो) के लिए आधुनिक द्विघात सूत्र के बराबर है $x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ साथ $एक = 1$ , $बी = - पी$ , और $ग = क्ष$ ।

बेबीलोनिया, मिस्र, ग्रीस, चीन और भारत में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय विधियों का उपयोग किया गया था। मिस्र के बर्लिन पेपिरस , मध्य साम्राज्य (2050 ईसा पूर्व से 1650 ईसा पूर्व) में वापस डेटिंग करते हुए , दो-अवधि के द्विघात समीकरण का समाधान शामिल है। ^[१७] लगभग ४०० ईसा पूर्व के बेबीलोन के गणितज्ञों और लगभग २०० ईसा पूर्व के चीनी गणितज्ञों ने सकारात्मक जड़ों वाले द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए विच्छेदन के ज्यामितीय तरीकों का इस्तेमाल किया । ^[१८]^[१९] द्विघात समीकरणों के नियम गणितीय कला पर नौ अध्याय, गणित पर एक चीनी ग्रंथ में दिए गए थे । ^[१९]^[२०] इन प्रारंभिक ज्यामितीय विधियों का कोई सामान्य सूत्र नहीं था। यूक्लिड , यूनानी गणितज्ञ , ने लगभग ३०० ईसा पूर्व एक अधिक अमूर्त ज्यामितीय पद्धति का निर्माण किया। पूरी तरह से ज्यामितीय दृष्टिकोण के साथ पाइथागोरस और यूक्लिड ने द्विघात समीकरण के समाधान खोजने के लिए एक सामान्य प्रक्रिया बनाई। अपने काम में अंकगणित , ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस ने द्विघात समीकरण को हल किया, लेकिन केवल एक मूल दिया, भले ही दोनों जड़ें सकारात्मक हों। ^[21]

628 ईस्वी में , एक भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने द्विघात समीकरण $ax$ $2$ $+$ $bx$ $=$ $c$ का पहला स्पष्ट (हालांकि अभी भी पूरी तरह से सामान्य नहीं) हल दिया : "पूर्ण संख्या को [गुणांक] के चार गुना से गुणा किया जाता है। वर्ग, मध्य पद के [गुणांक] का वर्ग जोड़ें; उसी का वर्गमूल, मध्य पद का [गुणांक] कम, वर्ग को [गुणांक] के दोगुने से विभाजित करने का मान है।" ( ब्रह्मस्फुटसिद्धांत , कोलब्रुक अनुवाद, १८१७, पृष्ठ ३४६) ^[१६]^:^८७ यह इसके बराबर है:

x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.

बख्शाली पाण्डुलिपि 7 वीं सदी में भारत में लिखा द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक बीजीय सूत्र, साथ ही द्विघात निहित अनिश्चित समीकरण (के प्रकार मूल रूप से $कुल्हाड़ी / ग = y$ ^{[ स्पष्टीकरण की जरूरत : इस रेखीय है, द्विघात नहीं ]} )। मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ( फारस , 9वीं शताब्दी), ब्रह्मगुप्त से प्रेरित, ^{[ मूल शोध? ]} ने सकारात्मक समाधानों के लिए काम करने वाले सूत्रों का एक सेट विकसित किया। अल-ख्वारिज्मी सामान्य द्विघात समीकरण का पूर्ण समाधान प्रदान करने में आगे बढ़ता है, प्रक्रिया में ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करते हुए प्रत्येक द्विघात समीकरण के लिए एक या दो संख्यात्मक उत्तरों को स्वीकार करता है। ^[22] उन्होंने यह भी वर्ग को पूरा करने की विधि का वर्णन किया और स्वीकार किया कि विभेदक सकारात्मक होना चाहिए, ^[22]^[23]^{: 230} जो अपने समकालीन द्वारा सिद्ध किया गया था 'अब्द अल हामिद इब्न तुर्क (मध्य एशिया, 9 वीं शताब्दी) जो यह साबित करने के लिए ज्यामितीय आंकड़े दिए गए हैं कि यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण का कोई हल नहीं है। ^[२३]^{: २३४} जबकि अल-ख्वारिज्मी ने स्वयं नकारात्मक समाधानों को स्वीकार नहीं किया, बाद में उनके उत्तराधिकारी इस्लामी गणितज्ञों ने नकारात्मक समाधानों को स्वीकार किया, ^[२२]^{: १९१} और साथ ही अपरिमेय संख्याओं को समाधान के रूप में स्वीकार किया । ^[२४] अबू कामिल शुजा इब्न असलम (मिस्र, १०वीं शताब्दी) विशेष रूप से अपरिमेय संख्याओं (अक्सर वर्गमूल , घनमूल या चौथे मूल के रूप में) को द्विघात समीकरणों के समाधान के रूप में या किसी समीकरण में गुणांक के रूप में स्वीकार करने वाले पहले व्यक्ति थे। . ^[२५] ९वीं शताब्दी के भारतीय गणितज्ञ श्रीधर ने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए नियम लिखे। ^[26]

यहूदी गणितज्ञ अब्राहम बार हिया हा-नसी (12वीं शताब्दी, स्पेन) ने सामान्य द्विघात समीकरण के पूर्ण समाधान को शामिल करने वाली पहली यूरोपीय पुस्तक लिखी। ^[२७] उनका समाधान काफी हद तक अल-ख्वारिज्मी के काम पर आधारित था। ^[२२] चीनी गणितज्ञ यांग हुई (१२३८-१२९८ ईस्वी) का लेखन पहला ज्ञात है जिसमें 'x' के नकारात्मक गुणांक वाले द्विघात समीकरण दिखाई देते हैं, हालांकि वह इसका श्रेय पहले के लियू यी को देते हैं । ^[२८] १५४५ तक गेरोलामो कार्डानो ने द्विघात समीकरणों से संबंधित कार्यों का संकलन किया। सभी मामलों को कवर करने वाला द्विघात सूत्र पहली बार १५९४ में साइमन स्टीविन द्वारा प्राप्त किया गया था। ^[२९] १६३७ में रेने डेसकार्टेस ने ला जियोमेट्री को प्रकाशित किया जिसमें द्विघात सूत्र शामिल था जिसे आज हम जानते हैं।

उन्नत विषय

रूट गणना के वैकल्पिक तरीके

विएटा के सूत्र

चित्र 5. द्विघात समीकरण

x 2 + bx + c = 0

के दो मूलों में से छोटे के लिए Vieta के सन्निकटन के बीच अंतर का ग्राफ़ , द्विघात सूत्र का उपयोग करके परिकलित मान की तुलना में। छोटे

b के

लिए Vieta का सन्निकटन गलत है लेकिन बड़े

b के

लिए सटीक है । द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए प्रत्यक्ष मूल्यांकन तुलनीय मूल्य की जड़ों के साथ छोटे

बी के

लिए सटीक है, लेकिन बड़े

बी

और व्यापक रूप से दूरी वाली जड़ों के लिए महत्व त्रुटियों का नुकसान होता है। विएटा के सन्निकटन बनाम प्रत्यक्ष गणना के बीच का अंतर बड़े बिंदुओं पर न्यूनतम तक पहुंच जाता है, और गोलाई इस न्यूनतम से परे वक्रों में स्क्वीगल का कारण बनती है।

विएटा के सूत्र एक बहुपद की जड़ों और उसके गुणांकों के बीच एक सरल संबंध देते हैं। जड़ $x_{1},x_{2}$ की द्विघातीय बहुपद $P(x)=ax^{2}+bx+c$ बदला देना

x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.

ये परिणाम संबंध से तुरंत अनुसरण करते हैं:

\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x +x_{1}x_{2}=0,

जिसकी तुलना टर्म से टर्म के साथ की जा सकती है

x^{2}+(b/a)x+c/a=0.

द्विघात फलन को रेखांकन करते समय उपरोक्त पहला सूत्र एक सुविधाजनक व्यंजक देता है। चूंकि ग्राफ शीर्ष के माध्यम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा के संबंध में सममित है , जब दो वास्तविक जड़ें होती हैं तो शीर्ष का $x-$ निर्देशांक जड़ों (या अंतःक्षेपण) के औसत पर स्थित होता है। इस प्रकार शीर्ष का $x-$ निर्देशांक व्यंजक द्वारा दिया जाता है

x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.

$Y$ -coordinate, यह देखते हुए द्विघात समीकरण में ऊपर परिणाम प्रतिस्थापन के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है दे रही है

y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.

एक व्यावहारिक मामले के रूप में, विएटा के सूत्र उस स्थिति में द्विघात की जड़ों को खोजने के लिए एक उपयोगी विधि प्रदान करते हैं जहां एक जड़ दूसरे की तुलना में बहुत छोटी होती है। अगर $| एक्स 2 | << | एक्स 1 |$ , तो $x 1 + x 2 \approx x 1$ , और हमारे पास अनुमान है:

x_{1}\लगभग -{\frac {b}{a}}.

दूसरा विएटा का सूत्र तब प्रदान करता है:

x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\लगभग -{\frac {c}{b}}.

एक बड़ी और एक छोटी जड़ की स्थिति के तहत द्विघात सूत्र की तुलना में इन सूत्रों का मूल्यांकन करना बहुत आसान है, क्योंकि द्विघात सूत्र छोटे मूल का मूल्यांकन दो बहुत ही समान संख्याओं (बड़े $b$ का मामला ) के अंतर के रूप में करता है , जो गोल का कारण बनता है संख्यात्मक मूल्यांकन में -ऑफ त्रुटि । चित्र 5 (i) द्विघात सूत्र का उपयोग करके एक प्रत्यक्ष मूल्यांकन (सटीक जब मूल मूल्य में एक दूसरे के पास हैं) और (ii) विएटा के सूत्रों के उपरोक्त सन्निकटन के आधार पर एक मूल्यांकन (सटीक जब जड़ें व्यापक रूप से दूरी पर हैं) के बीच अंतर को दर्शाता है ) जैसे-जैसे रैखिक गुणांक $b$ बढ़ता है, प्रारंभ में द्विघात सूत्र सटीक होता है, और अनुमानित सूत्र सटीकता में सुधार करता है, जिससे $b$ बढ़ने पर विधियों के बीच एक छोटा अंतर होता है । हालांकि, कुछ बिंदु पर राउंड ऑफ त्रुटि के कारण द्विघात सूत्र सटीकता खोना शुरू कर देता है, जबकि अनुमानित विधि में सुधार जारी है। नतीजतन, विधियों के बीच का अंतर बढ़ने लगता है क्योंकि द्विघात सूत्र बदतर और बदतर होता जाता है।

यह स्थिति आमतौर पर एम्पलीफायर डिजाइन में उत्पन्न होती है, जहां एक स्थिर संचालन सुनिश्चित करने के लिए व्यापक रूप से अलग जड़ों को वांछित किया जाता है ( चरण प्रतिक्रिया देखें )।

त्रिकोणमितीय समाधान

कैलकुलेटर से पहले के दिनों में, लोग गणितीय तालिकाओं का उपयोग करते थे - गणना के परिणामों को अलग-अलग तर्कों के साथ दिखाने वाली संख्याओं की सूची - गणना को सरल और तेज करने के लिए। गणित और विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों में लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाएँ आम थीं। खगोल विज्ञान, आकाशीय नेविगेशन और सांख्यिकी जैसे अनुप्रयोगों के लिए विशिष्ट तालिकाओं को प्रकाशित किया गया था। संख्यात्मक सन्निकटन के तरीके मौजूद थे, जिन्हें प्रोस्थफेरेसिस कहा जाता है , जो समय लेने वाले कार्यों जैसे गुणा और शक्तियों और जड़ों को लेने के आसपास शॉर्टकट पेश करते हैं। ^[३०] खगोलविद, विशेष रूप से, उन तरीकों से चिंतित थे जो आकाशीय यांत्रिकी गणनाओं में शामिल गणनाओं की लंबी श्रृंखला को गति दे सकते थे ।

इस संदर्भ में हम त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन की सहायता से द्विघात समीकरणों को हल करने के साधनों के विकास को समझ सकते हैं । द्विघात समीकरण के निम्नलिखित वैकल्पिक रूप पर विचार करें,

[1] $ax^{2}+bx\pm c=0,$

जहाँ ± चिन्ह का चिन्ह चुना जाता है ताकि $a$ और $c$ दोनों धनात्मक हों। प्रतिस्थापित करके

[2] $x={\sqrt {c/a}}\tan \theta$

और फिर से के माध्यम से गुणा $क्योंकि 2 θ$ , हम प्राप्त

[३] $\sin ^{2}\theta +{\frac {b}{\sqrt {ac}}}\sin \theta \cos \theta \pm \cos ^{2}\theta =0.$

के कार्यों का परिचय $2 θ$ और उलटफेर, हम प्राप्त

[४] $\tan 2\theta _{n}=+2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},$

[५] $\sin 2\theta _{p}=-2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},$

जहां सबस्क्रिप्ट $n$ और $p$ क्रमशः समीकरण [1] में ऋणात्मक या धनात्मक चिह्न के उपयोग के अनुरूप हैं । के दो मानों स्थानापन्न $θ एन$ या $θ पी$ समीकरणों से पाया [4] या [5] में [2] के लिए जरूरी जड़ों देता है [1] । परिसर जड़ों समीकरण के आधार पर समाधान में होते हैं [5] यदि का निरपेक्ष मान $पाप 2 θ पी$ एकता से अधिक है। इस मिश्रित त्रिकोणमितीय और लॉगरिदमिक टेबल लुक-अप रणनीति का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने में शामिल प्रयास की मात्रा अकेले लॉगरिदमिक तालिकाओं का उपयोग करके दो-तिहाई प्रयास थी। ^[३१] जटिल जड़ों की गणना के लिए एक अलग त्रिकोणमितीय रूप का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। ^[32]

उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास सात-स्थानीय लघुगणक और त्रिकोणमितीय तालिकाएँ उपलब्ध थीं, और हम निम्नलिखित को छह-महत्वपूर्ण-आकृति सटीकता के लिए हल करना चाहते थे:

4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0

सात-स्थान की लुकअप तालिका में केवल १००,००० प्रविष्टियाँ हो सकती हैं, और सात स्थानों पर मध्यवर्ती परिणामों की गणना के लिए आम तौर पर आसन्न प्रविष्टियों के बीच प्रक्षेप की आवश्यकता होगी।
$\log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927$
$2{\sqrt {ac}}/b=2\बार 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314$
$\theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }$
$\log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ या }}0.2706462$
$\लॉग {\sqrt {c/a}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318$
$x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353$ (छह महत्वपूर्ण आंकड़ों तक गोल)

x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943

ध्रुवीय निर्देशांक में जटिल जड़ों का समाधान

यदि द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ वास्तविक गुणांक के साथ दो जटिल जड़ें होती हैं—वह स्थिति जहां $b^{2}-4ac<0,$ a और c को एक दूसरे के समान चिन्ह की आवश्यकता होती है -तो जड़ों के समाधान ध्रुवीय रूप में ^{[33] के} रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं

x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),

कहां है $r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}$ तथा $\theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right).$

ज्यामितीय समाधान

Figure 6. Geometric solution of eh x squared plus b x plus c = 0 using Lill's method. The geometric construction is as follows: Draw a trapezoid S Eh B C. Line S Eh of length eh is the vertical left side of the trapezoid. Line Eh B of length b is the horizontal bottom of the trapezoid. Line B C of length c is the vertical right side of the trapezoid. Line C S completes the trapezoid. From the midpoint of line C S, draw a circle passing through points C and S. Depending on the relative lengths of eh, b, and c, the circle may or may not intersect line Eh B. If it does, then the equation has a solution. If we call the intersection points X 1 and X 2, then the two solutions are given by negative Eh X 1 divided by S Eh, and negative Eh X 2 divided by S Eh.

चित्रा 6. लिल की विधि का उपयोग करके

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0

का ज्यामितीय समाधान । समाधान हैं −AX1/SA, −AX2/SA

द्विघात समीकरण को कई तरीकों से ज्यामितीय रूप से हल किया जा सकता है। एक तरीका है लिल की विधि के माध्यम से । तीन गुणांक $a$ , $b$ , $c$ उनके बीच समकोण के साथ खींचे गए हैं जैसा कि चित्र 6 में SA, AB और BC में है। प्रारंभ और अंत बिंदु SC को व्यास के रूप में लेकर एक वृत्त खींचा गया है। यदि यह तीनों की मध्य रेखा AB को काटता है तो समीकरण का एक हल होता है, और समाधान इस रेखा के साथ A से दूरी के ऋणात्मक द्वारा पहले गुणांक $a$ या SA से विभाजित किया जाता है । तो $एक$ है $1$ गुणांक सीधे बंद पढ़ा जा सकता है। इस प्रकार आरेख में समाधान −AX1/SA और −AX2/SA हैं। ^[34]

द्विघात समीकरण x ² - sx + p = 0 का कार्लाइल वृत्त ।

कार्लाइल चक्र , के नाम पर थॉमस कार्लाइल , कि द्विघात समीकरण के समाधान के साथ चक्र के चौराहों की क्षैतिज निर्देशांक हैं संपत्ति है क्षैतिज अक्ष । ^[35] कार्लाइल हलकों विकसित करने के लिए इस्तेमाल किया गया है शासक और कंपास निर्माण की नियमित बहुभुज ।

द्विघात समीकरण का सामान्यीकरण

सूत्र और उसके व्युत्पत्ति सही रहने के गुणांक अगर $एक$ , $ख$ और $ग$ रहे हैं जटिल संख्याओं किसी भी सदस्यों, या अधिक आम तौर पर क्षेत्र जिसका विशेषता नहीं है $2$ । (विशेषता 2 के क्षेत्र में, तत्व $2 ए$ शून्य है और इससे विभाजित करना असंभव है।)

प्रतीक

\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}

सूत्र में "दो तत्वों में से किसी एक के रूप में समझा जाना चाहिए जिसका वर्ग $b 2 - 4 ac है$ , यदि ऐसे तत्व मौजूद हैं"। कुछ क्षेत्रों में, कुछ तत्वों के वर्गमूल नहीं होते और कुछ में दो होते हैं; विशेषता $2 वाले$ क्षेत्रों को छोड़कर केवल शून्य का केवल एक वर्गमूल होता है । यहां तक कि अगर किसी फ़ील्ड में किसी संख्या का वर्गमूल नहीं होता है, तो हमेशा एक द्विघात विस्तार क्षेत्र होता है, इसलिए द्विघात सूत्र हमेशा उस विस्तार क्षेत्र में एक सूत्र के रूप में समझ में आता है।

विशेषता 2

विशेषता $2 के$ क्षेत्र में , द्विघात सूत्र, जो $2$ पर एक इकाई होने पर निर्भर करता है, धारण नहीं करता है। मोनिक द्विघात बहुपद पर विचार करें

x^{2}+bx+c

विशेषता $2 के$ क्षेत्र में । यदि $b = 0 है$ , तो विलयन एक वर्गमूल निकालने के लिए कम हो जाता है, इसलिए समाधान है

x={\sqrt {c}}

और तब से केवल एक ही जड़ है

-{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.

सारांश,

\displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.

परिमित क्षेत्रों में वर्गमूल निकालने के बारे में अधिक जानकारी के लिए द्विघात अवशेष देखें ।

इस मामले में कि $b 0$ , दो अलग-अलग मूल हैं, लेकिन यदि बहुपद अपरिवर्तनीय है , तो उन्हें गुणांक क्षेत्र में संख्याओं के वर्गमूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसके बजाय, परिभाषित 2-जड़ $आर (ग)$ के $सी$ बहुपद का मूल नहीं होने के लिए $एक्स 2 + एक्स + ग$ , के एक तत्व के बंटवारे क्षेत्र है कि बहुपद की। एक सत्यापित करता है कि $R (c) + 1$ भी एक मूल है। 2-रूट ऑपरेशन के संदर्भ में, (गैर-मॉनिक) द्विघात $कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी$ की दो जड़ें हैं

{\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)

तथा

{\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).

उदाहरण के लिए, चलो $एक$ निरूपित की इकाइयों के समूह के एक गुणक जनरेटर $एफ 4$ , गाल्वा क्षेत्र आदेश चार में से (इस प्रकार $एक$ और $एक + 1$ की जड़ें हैं $एक्स 2 + एक्स + 1$ से अधिक $एफ 4$ । क्योंकि $(एक + 1) 2 = a$ , $a + 1$ द्विघात समीकरण $x 2 + a = 0$ का अद्वितीय समाधान है । दूसरी ओर, बहुपद $x 2 + ax + 1$ $F 4$ पर अप्रतिष्ठित है , लेकिन यह $F 16$ पर विभाजित होता है , जहां यह इसकी दो जड़ें $ab$ और $ab + a हैं$ , जहां $b$ , $F$ $16$ में $x 2 + x + a$ का मूल है ।

यह आर्टिन-श्रेयर सिद्धांत का एक विशेष मामला है ।

यह सभी देखें

निरंतर भिन्नों के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना
रेखीय समीकरण
घन समारोह
चतुर्थक समीकरण
क्विंटिक समीकरण
बीजगणित का मौलिक प्रमेय

संदर्भ

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द्विघात समीकरण के 101 उपयोग
द्विघात समीकरण के 101 उपयोग: भाग II

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