काल्पनिक इकाई

काल्पनिक इकाई या इकाई काल्पनिक संख्या ( $मैं$ ) के लिए एक समाधान है द्विघात समीकरण $एक्स 2 + 1 = 0$ । हालांकि इस संपत्ति के साथ कोई वास्तविक संख्या नहीं है, $मैं$ जोड़ और गुणा का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं को जटिल संख्याओं तक विस्तारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है । एक सम्मिश्र संख्या में $i$ के प्रयोग का एक सरल उदाहरण $2 + 3$ $i है$ ।

मैं

में जटिल या कार्तीय विमान। वास्तविक संख्याएँ क्षैतिज अक्ष पर स्थित होती हैं, और काल्पनिक संख्याएँ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर स्थित होती हैं।

काल्पनिक नंबर एक महत्वपूर्ण हैं गणितीय अवधारणा है, जो वास्तविक संख्या प्रणाली का विस्तार $ℝ$ जटिल संख्या प्रणाली के लिए $ℂ$ , जिसमें कम से कम एक जड़ हर nonconstant के लिए बहुपद (देखें मौजूद बीजीय बंद और बीजगणित के मौलिक प्रमेय )। यहाँ, "काल्पनिक" शब्द का प्रयोग किया गया है क्योंकि कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसमें ऋणात्मक वर्ग हो ।

$-1 के$ दो जटिल वर्गमूल हैं , अर्थात् $i$ और $- i$ , जैसे शून्य के अलावा प्रत्येक वास्तविक संख्या के दो जटिल वर्गमूल होते हैं (जिसमें एक दोहरा वर्गमूल होता है )।

संदर्भों में, जिसमें पत्र का उपयोग करें $मैं$ अस्पष्ट या समस्याग्रस्त है, पत्र $j$ या ग्रीक $ι$ कभी कभी के बजाय प्रयोग किया जाता है। ^[ए] उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरिंग में , काल्पनिक इकाई को सामान्य रूप से $i के$ बजाय $j$ द्वारा दर्शाया जाता है , क्योंकि आमतौर पर $i$ का उपयोग विद्युत प्रवाह को दर्शाने के लिए किया जाता है ।

काल्पनिक इकाई के इतिहास के लिए, सम्मिश्र संख्या इतिहास देखें ।

परिभाषा

$i$ की शक्तियाँ चक्रीय मान लौटाती हैं:
$...$ ( बोल्ड ब्लू क्षेत्र से पैटर्न को दोहराता है )
$मैं -3 = मैं$
$मैं -2 = -1$
$मैं -1 = - मैं$
$मैं 0 = 1$
$मैं 1 = मैं$
$मैं 2 = -1$
$मैं ३ = - मैं$
$मैं 4 = 1$
$मैं ५ = मैं$
$मैं 6 = -1-$
$...$ ( बोल्ड ब्लू क्षेत्र से पैटर्न को दोहराता है )

काल्पनिक संख्या $i$ पूरी तरह से इस गुण से परिभाषित होती है कि इसका वर्ग -1 है:

i^{2}=-1~.

साथ $मैं$ इस तरह से परिभाषित, यह बीजगणित से सीधे इस प्रकार है कि $मैं$ और $- मैं$ दोनों वर्ग जड़ों की -1।

यद्यपि निर्माण को "काल्पनिक" कहा जाता है, और यद्यपि एक काल्पनिक संख्या की अवधारणा को वास्तविक संख्या की तुलना में सहज रूप से समझना अधिक कठिन हो सकता है, निर्माण गणितीय दृष्टिकोण से पूरी तरह से मान्य है। एक व्यंजक में हेर-फेर करते समय $i$ को अज्ञात मात्रा मानकर (और $i 2$ की किसी भी घटना को −1 से बदलने के लिए परिभाषा का उपयोग करके) वास्तविक संख्या संचालन को काल्पनिक और जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है । $i$ की उच्च समाकलन घातों को $- i$ , 1, $i$ , या −1 से भी बदला जा सकता है :

i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i

i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1

या, समान रूप से,

i^{4}=(i^{2})(i^{2})=(-1)(-1)=1

i^{5}=i^{4}i=(1)i=i

इसी तरह, किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या के साथ:

i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac { 1}{i}}={\frac {i}{i}}=1

एक सम्मिश्र संख्या के रूप में, $i$ को $0 + 1$ $i के$ रूप में आयताकार रूप में दर्शाया जाता है , जिसमें एक शून्य वास्तविक घटक और एक इकाई काल्पनिक घटक होता है। में ध्रुवीय प्रपत्र , $मैं$ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है $1\cdot$ $ई$ $iπ$ $/ 2$ (या बस $ई$ $iπ$ $/ 2$ ), एक साथ निरपेक्ष मान 1 के (या परिमाण) और एक तर्क के (या कोण) $π$ $/ 2$ । में जटिल विमान (भी Argand विमान के रूप में जाना जाता है) है, जो एक के एक विशेष व्याख्या है कार्तीय तल , $मैं$ साथ मूल से बिंदु स्थित एक इकाई है काल्पनिक अक्ष (जो करने के लिए ओर्थोगोनल है असली धुरी )।

मैं बनाम - मैं

एक द्विघात बहुपद होने के कारण , जिसका कोई बहुमूल नहीं है , परिभाषित समीकरण $x 2 = -1$ के दो अलग-अलग हल हैं, जो समान रूप से मान्य हैं और जो एक दूसरे के योगात्मक और गुणक प्रतिलोम होते हैं। एक बार जब समीकरण का हल $i$ निश्चित कर दिया जाता है, तो मान $- i$ , जो $i$ से भिन्न होता है , भी एक हल होता है। चूंकि समीकरण $i$ की एकमात्र परिभाषा है , ऐसा प्रतीत होता है कि परिभाषा अस्पष्ट है (अधिक सटीक, अच्छी तरह से परिभाषित नहीं )। हालांकि, कोई अस्पष्टता तब तक नहीं होगी जब तक कि एक या अन्य समाधानों को " $i$ " के रूप में चुना और लेबल किया जाता है , दूसरे के साथ तब $- i के$ रूप में लेबल किया जाता है । ^[३] आखिरकार, हालांकि $- i$ और $+ i$ मात्रात्मक रूप से समतुल्य नहीं हैं (वे एक दूसरे के ऋणात्मक हैं ), $+$ $i$ और $-$ $i के$ बीच कोई बीजगणितीय अंतर नहीं है , क्योंकि दोनों काल्पनिक संख्याओं का वह संख्या होने का समान दावा है जिसका वर्ग है -1 है।

वास्तव में, के साथ फिर से लिखा जा सकता है अगर सब गणितीय पुस्तकों और प्रकाशित साहित्य काल्पनिक या जटिल संख्याओं की चर्चा करते हुए थे $- मैं$ के हर घटना की जगह $+ मैं$ (के हर घटना और इसलिए $- मैं$ प्रतिस्थापित द्वारा $- - (मैं) = + मैं$ , सब) तथ्य और प्रमेय मान्य रहेंगे। $x$ $2$ $+ 1 = 0$ के दो मूल $x$ के बीच का अंतर , जिनमें से एक पर ऋण चिह्न अंकित है, विशुद्ध रूप से एक संकेतात्मक अवशेष है; न तो जड़ को दूसरे की तुलना में अधिक प्राथमिक या मौलिक कहा जा सकता है, और उनमें से कोई भी "सकारात्मक" या "नकारात्मक" नहीं है। ^[४]

इस मुद्दे को एक सूक्ष्म एक हो सकता है: सबसे सटीक व्याख्या कहना है कि हालांकि जटिल क्षेत्र के रूप में परिभाषित $ℝ [एक्स] / (एक्स 2 + 1)$ (देखें जटिल संख्या ), है अद्वितीय अप करने के लिए समाकृतिकता , यह नहीं अद्वितीय एक करने के लिए अद्वितीय समाकृतिकता: वहाँ वास्तव में हैं दो क्षेत्र के automorphisms के $ℝ [एक्स] / (एक्स 2 + 1)$ जो प्रत्येक वास्तविक संख्या तय रखें: पहचान और automorphism भेजने $एक्स$ के लिए $- एक्स$ । अधिक के लिए, जटिल संयुग्म और गैलोइस समूह देखें ।

मैट्रिसेस

(x, y)

एक काल्पनिक इकाई मैट्रिक्स के लिए अतिपरवलय

xy = -1

द्वारा सीमित है ।

एक समान समस्या उत्पन्न होती है यदि सम्मिश्र संख्याओं की व्याख्या 2 × 2 वास्तविक आव्यूह के रूप में की जाती है (देखें सम्मिश्र संख्याओं का आव्यूह निरूपण ), क्योंकि तब दोनों

X={\start{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}

तथा

X={\start{pmatrix}\;\;0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

मैट्रिक्स समीकरण का समाधान होगा

X^{2}=-I=-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&\;\;0\\\;\;0& -1\end{pmatrix}}.

इस मामले में, अस्पष्टता का परिणाम ज्यामितीय पसंद से होता है जिसमें यूनिट सर्कल के चारों ओर "दिशा" "सकारात्मक" रोटेशन होता है। एक और अधिक सटीक विवरण कहना है कि है automorphism समूह के विशेष orthogonal समूह $अतः (2, ℝ$ पहचान और automorphism जो एक्सचेंजों "सीडब्ल्यू" (दक्षिणावर्त) और "सीसीडब्ल्यू" (वामावर्त) रोटेशन:) ठीक दो तत्व है . अधिक के लिए, ओर्थोगोनल समूह देखें ।

इन सभी अस्पष्टताओं को सम्मिश्र संख्या की अधिक कठोर परिभाषा को अपनाकर और समीकरण के किसी एक समाधान को काल्पनिक इकाई के रूप में स्पष्ट रूप से चुनकर हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो-आयामी वैक्टर के साथ जटिल संख्याओं के सामान्य निर्माण में आदेशित जोड़ी (0, 1)।

मैट्रिक्स समीकरण पर विचार करें ${\begin{pmatrix}z&x\\y&-z\end{pmatrix}}^{2}\!\!={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}।$ यहाँ, $z 2 + xy = -1$ , इसलिए गुणनफल $xy$ ऋणात्मक है क्योंकि $xy = -(1 + z 2)$ , इस प्रकार बिंदु $(x, y)$ चतुर्थांश II या IV में स्थित है। इसके अलावा,

z^{2}=-(1+xy)\geq 0\अर्थात् xy\leq -1

इसलिए $(x, y)$ अतिपरवलय $xy = -1$ से घिरा है ।

समुचित उपयोग

काल्पनिक इकाई कभी कभी लिखा है $\sqrt -1$ उन्नत गणित संदर्भों में ^[3] (और साथ ही कम उन्नत लोकप्रिय ग्रंथों में)। हालांकि, रेडिकल से जुड़े फ़ार्मुलों में हेरफेर करते समय बहुत सावधानी बरतने की ज़रूरत है । रेडिकल साइन नोटेशन या तो प्रिंसिपल स्क्वायर रूट फ़ंक्शन के लिए आरक्षित है, जिसे केवल वास्तविक $x 0 के$ लिए परिभाषित किया गया है , या जटिल वर्गमूल फ़ंक्शन की मुख्य शाखा के लिए। जटिल वर्गमूल फ़ंक्शन की प्रमुख शाखा में हेरफेर करने के लिए मूलधन (वास्तविक) वर्गमूल फ़ंक्शन के गणना नियमों को लागू करने का प्रयास गलत परिणाम दे सकता है: ^[५]

-1=i\cdot i={\sqrt {-1\,}}\cdot {\sqrt {-1\,}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)\, }}={\sqrt {1\,}}=1\qquad (गलत)।

इसी तरह:

{\frac {1}{\,i\,}}={\frac {\sqrt {1\,}}{\,{\sqrt {-1\,}}\;}}={\ sqrt {{\frac {1}{\,-1\;}}\,}}={\sqrt {{\frac {\,-1\;}{1}}\,}}={\sqrt { -1\,}}=i\qquad (गलत)।

गणना नियम

{\sqrt {a\,}}\cdot {\sqrt {b\,}}={\sqrt {a\cdot b\,}}

तथा

{\frac {\sqrt {a\,}}{\sqrt {b\,}}}={\sqrt {{\frac {\,a\,}{b}}\,}}

केवल $a$ और $b के$ वास्तविक, धनात्मक मानों के लिए मान्य हैं । ^[६]^[७]^[८]

इन समस्याओं के लेखन और जैसे भाव से छेड़छाड़ से बचा जा सकता है $मैं \sqrt 7$ के बजाय, $\sqrt -7$ । अधिक विस्तृत चर्चा के लिए, वर्गमूल और शाखा बिंदु देखें ।

गुण

वर्गमूल

जटिल तल में

i के

दो वर्गमूल

जटिल तल में

i के

तीन घनमूल

सभी गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याओं की तरह, $मेरे$ पास दो वर्गमूल हैं: वे हैं ^[बी]

\pm \left({\frac {\sqrt {2\,}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac { \sqrt {2\,}}{2}}(1+i).

वास्तव में, दोनों भावों को चुकता करने से प्राप्त होता है:

{\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {\sqrt {\sqrt {2\,}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2\,}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+ 2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i~.\,\\\end{aligned}}

मूल वर्गमूल के लिए मूल चिन्ह का प्रयोग करते हुए , हम प्राप्त करते हैं:

{\sqrt {i\,}}={\frac {\sqrt {2\,}}{2}}(1+i)~.

घन जड़ें

$i के$ तीन घनमूल हैं:

-i,

{\frac {\sqrt {3\,}}{2}}+{\frac {i}{2}}\,,

तथा

-{\frac {\sqrt {3\,}}{2}}+{\frac {i}{2}}~.

सभी के समान 1 की जड़ों , सभी की जड़ें $मैं$ के कोने हैं नियमित बहुभुज , जो भीतर उत्कीर्ण हैं इकाई चक्र जटिल समतल में।

गुणन और भाग

किसी सम्मिश्र संख्या को $i से$ गुणा करने पर प्राप्त होता है:

i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai~.

(यह जटिल विमान में मूल के बारे में एक वेक्टर के 90 ° काउंटर-क्लॉकवाइज रोटेशन के बराबर है।)

से विभाजित $मैं$ से गुणा करने के बराबर है पारस्परिक की $मैं$ :

{\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}} }={\frac {i}{-1}}=-i~.

सभी सम्मिश्र संख्याओं में $i$ से भाग को सामान्यीकृत करने के लिए इस पहचान का उपयोग करना देता है:

{\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai~.

(यह जटिल विमान में मूल के बारे में एक वेक्टर के 90 डिग्री दक्षिणावर्त घूर्णन के बराबर है।)

पॉवर्स

निम्नलिखित पैटर्न के साथ व्यक्त चक्र में $i$ की शक्तियाँ दोहराई जाती हैं, जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है:

i^{4n}=1

i^{4n+1}=i

i^{4n+2}=-1

i^{4n+3}=-i,

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि

i^{n}=i^{(n{\bmod {4}})}

जहां मॉड मोडुलो ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करता है । समान रूप से:

i^{n}=\cos(n\pi/2)+i\sin(n\pi/2)

$मैं$ की घात $मैं$

यूलर के सूत्र का उपयोग करना , $i i$ is

i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k \pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}

जहां $कश्मीर \in ℤ$ , के सेट integers ।

प्रमुख मूल्य (के लिए $कश्मीर = 0$ ) है $ई - π / 2$ , या लगभग .२०,७८,७९,५७६। ^[१०]

कारख़ाने का

भाज्य काल्पनिक इकाई की $मैं$ सबसे अधिक बार के संदर्भ में दी गई है गामा फ़ंक्शन पर मूल्यांकन किया जाता $1 + मैं$ :

i!=\Gamma (1+i)\लगभग 0.4980-0.1549i~.

साथ ही,

|i!|={\sqrt {{\frac {\pi }{\,\sinh \pi \,}}\,}}

^{[1 1]}

अन्य ऑपरेशन

कई गणितीय संक्रियाएँ जिन्हें वास्तविक संख्याओं के साथ किया जा सकता है , $i के$ साथ भी की जा सकती हैं , जैसे घातांक, मूल, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फलन। निम्नलिखित सभी फ़ंक्शन जटिल बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन हैं , और यह स्पष्ट रूप से कहा जाना चाहिए कि रिमेंन सतह की कौन सी शाखा व्यवहार में परिभाषित की गई है। सबसे अधिक चुनी गई शाखा के परिणाम नीचे सूचीबद्ध हैं।

$नी$ शक्ति के लिए उठाया गया एक नंबर है:

x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x)~.

$नी वें$ एक नंबर की जड़ है:

{\sqrt[{ni}]{x\,}}=\cos \left({\frac {\ln x}{n}}\right)-i\sin \left({\frac {\ एलएन x}{n}}\दाएं)~.

काल्पनिक आधार लघुगणक एक नंबर का है:

\log _{i}x={\frac {2\ln x}{i\pi }}~.

किसी भी जटिल लघुगणक की तरह , लॉग आधार $i$ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है।

कोज्या की $मैं$ एक वास्तविक संख्या है:

\cos i=\cosh 1={\frac {e+1/e}{2}}={\frac {e^{2}+1}{2e}}\लगभग 1.54308064\ldots

और साइन की $मैं$ विशुद्ध रूप से काल्पनिक है:

\sin i=i\sinh 1={\frac {e-1/e}{2}}i={\frac {e^{2}-1}{2e}}i\लगभग (1.17520119\ एलडॉट्स)मैं~.

इतिहास

देखें Complex_number#इतिहास

यह सभी देखें

यूलर की पहचान
गणितीय स्थिरांक
बहुलता (गणित)
एकता की जड़
इकाई सम्मिश्र संख्या

^ कुछ ग्रंथ^{[ कौन सा? ]} भ्रम से बचने के लिए, विशेष रूप से सूचकांकों और सबस्क्रिप्ट के साथ, काल्पनिक इकाई के लिएग्रीक अक्षर आयोटा ( $ι$ ) काउपयोग करें।

में इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और संबंधित क्षेत्रों, काल्पनिक इकाई सामान्य रूप से से दर्शाया जाता है $जे$ के साथ भ्रम से बचने के विद्युत प्रवाह समय के एक समारोह है, जो पारंपरिक का प्रतिनिधित्व करती है के रूप में $मैं (टी)$ या सिर्फ $मैं$ । ^[1] अजगर प्रोग्रामिंग भाषा भी उपयोग करता है $j$ एक जटिल संख्या के काल्पनिक हिस्सा चिह्नित करने के लिए। MATLAB $i$ और $j$ दोनोंको काल्पनिक इकाई से जोड़ता है, हालांकिगति और अधिक मजबूत अभिव्यक्ति पार्सिंग केलिए इनपुट $1$ $i$ या $1$ $j$ बेहतर है। ^[2] में quaternions , से प्रत्येक $मैं$ , $जे$ , और $कश्मीर$ एक अलग काल्पनिक इकाई है। में bivectors और biquaternions , एक अतिरिक्त काल्पनिक इकाई $ज$ या $ℓ$ प्रयोग किया जाता है।
^ ऐसी संख्या ज्ञात करने के लिए, समीकरण को हल किया जा सकता है
$(एक्स + आईई) 2 = आई$
जहां $x$ और $y$ निर्धारित किए जाने वाले वास्तविक पैरामीटर हैं, या समकक्ष
$x 2 + 2 ixy - y 2 = i$ ।
क्योंकि वास्तविक और काल्पनिक भाग हमेशा अलग-अलग होते हैं, हम शब्दों को फिर से समूहित करते हैं:
$x 2 - y 2 + 2 ixy = 0 + i$
और काल्पनिक भाग के गुणांक , वास्तविक भाग और वास्तविक गुणांक को अलग-अलग करके, हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
$एक्स 2 - वाई 2 = 0$
$२ xy = १$ .
स्थानापन्न $y = ½ x$ पहले समीकरण में, हम पाते हैं
$x 2 -¼ x 2 = 0$
$एक्स 2 = ¼ एक्स 2$
$4 x 4 = 1$
क्योंकि $एक्स$ एक वास्तविक संख्या है, इस समीकरण के लिए दो वास्तविक समाधान है $एक्स$ : $एक्स = 1 / \sqrt 2$ और $एक्स = -1 / \sqrt 2$ । इन परिणामों में से किसी एक को समीकरण $2 xy = 1$ में बदले में, हम $y के$ लिए संगत परिणाम प्राप्त करेंगे । इस प्रकार, के वर्ग जड़ों $मैं$ नंबर दिए गए हैं $1 / \sqrt 2 + मैं / \sqrt 2$ और $-1 / \sqrt 2 - मैं / \sqrt 2$ । ^[९]

संदर्भ

^ बोअस, मैरी एल (2006)। भौतिक विज्ञान में गणितीय तरीके (तीसरा संस्करण)। न्यूयॉर्क [यूए]: विली। पी 49 . आईएसबीएन ०-४७१-१९८२६-९.
^ "MATLAB उत्पाद प्रलेखन" ।
^ ए बी वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "काल्पनिक इकाई" । मैथवर्ल्ड.वोल्फ्राम.कॉम । 10 अगस्त 2020 को लिया गया ।
^ Doxiads, Apostolos K.; मजूर, बैरी (2012)। सर्किल डिस्टर्ब्ड: द इंटरप्ले ऑफ मैथमेटिक्स एंड नैरेटिव (सचित्र संस्करण)। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस। पी 225 । आईएसबीएन 978-0-691-14904-2 - गूगल बुक्स के जरिए।
^ बंच, ब्रायन (2012)। गणितीय भ्रम और विरोधाभास (सचित्र संस्करण)। कूरियर कॉर्पोरेशन। पी 31 -34। आईएसबीएन 978-0-486-13793-3 - गूगल बुक्स के जरिए।
^ क्रेमर, आर्थर (2012)। बिजली और इलेक्ट्रॉनिक्स के लिए गणित (चौथा संस्करण)। सेनगेज लर्निंग। पी 81 . आईएसबीएन 978-1-133-70753-0 - गूगल बुक्स के जरिए।
^ Picciotto, हेनरी; वाह, अनीता (1994)। बीजगणित: विषय-वस्तु, उपकरण, अवधारणाएँ (शिक्षक संस्करण)। हेनरी पिकासोटो। पी 424 . आईएसबीएन 978-1-56107-252-1 - गूगल बुक्स के जरिए।
^ नहीं, पॉल जे। (2010)। एक इमेजिनरी टेल: " i " [माइनस वन का वर्गमूल] की कहानी । प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस। पी 12 . आईएसबीएन 978-1-4008-3029-9 - गूगल बुक्स के जरिए।
^ " i का वर्गमूल क्या है ?" . टोरंटो विश्वविद्यालय गणित नेटवर्क । 26 मार्च 2007 को पुनःप्राप्त .
^ वेल्स, डेविड (1997) [1986]। द पेंगुइन डिक्शनरी ऑफ क्यूरियस एंड इंटरेस्टिंग नंबर्स (संशोधित संस्करण)। यूके: पेंगुइन बुक्स। पी 26. आईएसबीएन 0-14-026149-4.
^ "एब्स (आई!)" । वोल्फ्राम अल्फा ।

अग्रिम पठन

नहीं, पॉल जे। (1998)। एक इमेजिनरी टेल: द स्टोरी ऑफ़ आई [माइनस वन का वर्गमूल] । चिचेस्टर: प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस. आईएसबीएन 0-691-02795-1 - Archive.org के माध्यम से।

बाहरी कड़ियाँ

यूलर, लियोनहार्ड । "बहुपदों की काल्पनिक जड़ें" । पर "अभिसरण" । mathdl.maa.org । अमेरिका का गणितीय संघ। से संग्रहीत मूल 13 जुलाई, 2007 को।

[3] कुछ ग्रंथ^{[ कौन सा? ]} भ्रम से बचने के लिए, विशेष रूप से सूचकांकों और सबस्क्रिप्ट के साथ, काल्पनिक इकाई के लिएग्रीक अक्षर आयोटा ( $ι$ ) काउपयोग करें।

में इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और संबंधित क्षेत्रों, काल्पनिक इकाई सामान्य रूप से से दर्शाया जाता है $जे$ के साथ भ्रम से बचने के विद्युत प्रवाह समय के एक समारोह है, जो पारंपरिक का प्रतिनिधित्व करती है के रूप में $मैं (टी)$ या सिर्फ $मैं$ । ^[1] अजगर प्रोग्रामिंग भाषा भी उपयोग करता है $j$ एक जटिल संख्या के काल्पनिक हिस्सा चिह्नित करने के लिए। MATLAB $i$ और $j$ दोनोंको काल्पनिक इकाई से जोड़ता है, हालांकिगति और अधिक मजबूत अभिव्यक्ति पार्सिंग केलिए इनपुट $1$ $i$ या $1$ $j$ बेहतर है। ^[2] में quaternions , से प्रत्येक $मैं$ , $जे$ , और $कश्मीर$ एक अलग काल्पनिक इकाई है। में bivectors और biquaternions , एक अतिरिक्त काल्पनिक इकाई $ज$ या $ℓ$ प्रयोग किया जाता है।

[11] ऐसी संख्या ज्ञात करने के लिए, समीकरण को हल किया जा सकता है
$(एक्स + आईई) 2 = आई$
जहां $x$ और $y$ निर्धारित किए जाने वाले वास्तविक पैरामीटर हैं, या समकक्ष
$x 2 + 2 ixy - y 2 = i$ ।
क्योंकि वास्तविक और काल्पनिक भाग हमेशा अलग-अलग होते हैं, हम शब्दों को फिर से समूहित करते हैं:
$x 2 - y 2 + 2 ixy = 0 + i$
और काल्पनिक भाग के गुणांक , वास्तविक भाग और वास्तविक गुणांक को अलग-अलग करके, हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
$एक्स 2 - वाई 2 = 0$
$२ xy = १$ .
स्थानापन्न $y = ½ x$ पहले समीकरण में, हम पाते हैं
$x 2 -¼ x 2 = 0$
$एक्स 2 = ¼ एक्स 2$
$4 x 4 = 1$
क्योंकि $एक्स$ एक वास्तविक संख्या है, इस समीकरण के लिए दो वास्तविक समाधान है $एक्स$ : $एक्स = 1 / \sqrt 2$ और $एक्स = -1 / \sqrt 2$ । इन परिणामों में से किसी एक को समीकरण $2 xy = 1$ में बदले में, हम $y के$ लिए संगत परिणाम प्राप्त करेंगे । इस प्रकार, के वर्ग जड़ों $मैं$ नंबर दिए गए हैं $1 / \sqrt 2 + मैं / \sqrt 2$ और $-1 / \sqrt 2 - मैं / \sqrt 2$ । ^[९]

[1] बोअस, मैरी एल (2006)। भौतिक विज्ञान में गणितीय तरीके (तीसरा संस्करण)। न्यूयॉर्क [यूए]: विली। पी 49 . आईएसबीएन ०-४७१-१९८२६-९.

[2] "MATLAB उत्पाद प्रलेखन" ।

[:0-4] ए बी वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "काल्पनिक इकाई" । मैथवर्ल्ड.वोल्फ्राम.कॉम । 10 अगस्त 2020 को लिया गया ।

[5] Doxiads, Apostolos K.; मजूर, बैरी (2012)। सर्किल डिस्टर्ब्ड: द इंटरप्ले ऑफ मैथमेटिक्स एंड नैरेटिव (सचित्र संस्करण)। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस। पी 225 । आईएसबीएन 978-0-691-14904-2 - गूगल बुक्स के जरिए।

[6] बंच, ब्रायन (2012)। गणितीय भ्रम और विरोधाभास (सचित्र संस्करण)। कूरियर कॉर्पोरेशन। पी 31 -34। आईएसबीएन 978-0-486-13793-3 - गूगल बुक्स के जरिए।

[7] क्रेमर, आर्थर (2012)। बिजली और इलेक्ट्रॉनिक्स के लिए गणित (चौथा संस्करण)। सेनगेज लर्निंग। पी 81 . आईएसबीएन 978-1-133-70753-0 - गूगल बुक्स के जरिए।

[8] Picciotto, हेनरी; वाह, अनीता (1994)। बीजगणित: विषय-वस्तु, उपकरण, अवधारणाएँ (शिक्षक संस्करण)। हेनरी पिकासोटो। पी 424 . आईएसबीएन 978-1-56107-252-1 - गूगल बुक्स के जरिए।

[9] नहीं, पॉल जे। (2010)। एक इमेजिनरी टेल: " i " [माइनस वन का वर्गमूल] की कहानी । प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस। पी 12 . आईएसबीएन 978-1-4008-3029-9 - गूगल बुक्स के जरिए।

[10] " i का वर्गमूल क्या है ?" . टोरंटो विश्वविद्यालय गणित नेटवर्क । 26 मार्च 2007 को पुनःप्राप्त .

[12] वेल्स, डेविड (1997) [1986]। द पेंगुइन डिक्शनरी ऑफ क्यूरियस एंड इंटरेस्टिंग नंबर्स (संशोधित संस्करण)। यूके: पेंगुइन बुक्स। पी 26. आईएसबीएन 0-14-026149-4.

[13] "एब्स (आई!)" । वोल्फ्राम अल्फा ।

[ए]