अतिशयोक्ति

में गणित , एक अतिशयोक्ति ( सुनने ) (विशेषण रूप अतिशयोक्तिपूर्ण , सुन ) (बहुवचन hyperbolas , या अति परवलय ( सुनने )) का एक प्रकार है चिकनी एक विमान में झूठ बोल रही वक्र , अपने ज्यामितीय गुण द्वारा या द्वारा परिभाषित समीकरणों जिसके लिए यह समाधान है सेट। एक अतिपरवलय के दो भाग होते हैं, जो जुड़े हुए घटक या शाखाएँ कहलाते हैं, जो एक दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब होते हैं और दो अनंत धनुषों के समान होते हैं हाइपरबोला तीन प्रकार के शंकु खंड में से एक है, जो एक विमान के चौराहे से बनता हैइस ध्वनि के बारे मेंइस ध्वनि के बारे मेंइस ध्वनि के बारे में और एक डबल शंकु(अन्य शंकु खंड परवलय और दीर्घवृत्त हैं । एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है।) यदि विमान दोहरे शंकु के दोनों हिस्सों को काटता है, लेकिन शंकु के शीर्ष से नहीं गुजरता है, तो शंकु एक अतिपरवलय है .

छवि एक डबल शंकु दिखाती है जिसमें एक ज्यामितीय विमान ने ऊपर और नीचे के आधे हिस्से को काट दिया है; शंकु पर टुकड़े की सीमा वक्र अतिपरवलय है। एक डबल शंकु में दो शंकु होते हैं जो बिंदु से बिंदु तक खड़े होते हैं और घूर्णन की एक ही धुरी साझा करते हैं; यह रेखा के एक बिंदु से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर एक रेखा को घुमाकर उत्पन्न किया जा सकता है।
हाइपरबोला दो शाखाओं वाला एक खुला वक्र होता है, जो एक विमान का प्रतिच्छेदन होता है जिसमें एक डबल शंकु के दोनों भाग होते हैं विमान को शंकु की धुरी के समानांतर होना जरूरी नहीं है; अतिपरवलय किसी भी स्थिति में सममित होगा।
हाइपरबोला (लाल): विशेषताएं

हाइपरबोलस कई तरह से उत्पन्न होते हैं:

  • फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने वाले वक्र के रूप में में कार्तीय तल , [1]
  • जिस तरह धूपघड़ी की नोक की छाया के बाद पथ ,
  • एक खुली कक्षा के आकार के रूप में (एक बंद अण्डाकार कक्षा से अलग), जैसे कि गुरुत्वाकर्षण के दौरान एक अंतरिक्ष यान की कक्षा किसी ग्रह के स्विंग-बाय या अधिक सामान्यतः, निकटतम ग्रह के पलायन वेग से अधिक कोई अंतरिक्ष यान ,
  • एकल-प्रेत धूमकेतु के मार्ग के रूप में (सौर मंडल में लौटने के लिए बहुत तेजी से यात्रा करने वाला),
  • एक उप-परमाणु कण के प्रकीर्णन पथ के रूप में (आकर्षक बलों के बजाय प्रतिकारक द्वारा कार्य किया जाता है लेकिन सिद्धांत समान है),
  • में रेडियो नेविगेशन , जब दो अंक के लिए दूरी के बीच का अंतर है, लेकिन दूरी खुद को, निर्धारित किया जा सकता है,

और इसी तरह।

अतिपरवलय की प्रत्येक शाखा में दो भुजाएँ होती हैं जो अतिपरवलय के केंद्र से और अधिक सख्त (निचली वक्रता) बन जाती हैं। तिरछे विपरीत भुजाएँ, प्रत्येक शाखा से एक, एक सामान्य रेखा की सीमा में होती हैं, जिसे उन दो भुजाओं का स्पर्शोन्मुख कहा जाता है तो दो स्पर्शोन्मुख हैं, जिनका प्रतिच्छेदन अतिपरवलय की सममिति के केंद्र में है , जिसे दर्पण बिंदु के रूप में माना जा सकता है जिसके बारे में प्रत्येक शाखा दूसरी शाखा बनाने के लिए प्रतिबिंबित करती है। वक्र के मामले मेंस्पर्शोन्मुख दो समन्वय अक्ष हैं[2]

हाइपरबोलस कई दीर्घवृत्त के विश्लेषणात्मक गुणों को साझा करते हैं जैसे कि विलक्षणता , फ़ोकस और डायरेक्ट्रिक्सआम तौर पर पत्राचार कुछ अवधि में संकेत के परिवर्तन से ज्यादा कुछ नहीं किया जा सकता है। कई अन्य गणितीय वस्तुओं की उत्पत्ति हाइपरबोला में होती है, जैसे कि हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड्स (काठी की सतहें), हाइपरबोलॉइड्स ("वेस्टबास्केट्स"), हाइपरबोलिक ज्योमेट्री ( लोबचेव्स्की की मनाई गई गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति ), हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस (सिंह, कोश, टैन, आदि ।), और जाइरोवेक्टर रिक्त स्थान ( सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में उपयोग के लिए प्रस्तावित एक ज्यामिति जो यूक्लिडियन नहीं है )।

शब्द "हाइपरबोला" ग्रीक ὑπερβολή से निकला है , जिसका अर्थ है "ओवर-थ्रो" या "अत्यधिक", जिससे अंग्रेजी शब्द हाइपरबोले भी निकला है। अति परवलय से खोज रहे थे Menaechmus की समस्या के बारे में उनकी जांच में घन दोहरीकरण , लेकिन फिर कुंठित शंकु के वर्गों कहा जाता था। [3] अवधि अतिशयोक्ति में गढ़ा गया है माना जाता है Apollonius के पिरगा पर अपने निश्चित काम में (सी। 262-सी। 190 ईसा पूर्व) शांकव वर्गों , Conics[४] अन्य दो सामान्य शंकु वर्गों के नाम, दीर्घवृत्त और परवलय , "कमी" और "लागू" के लिए संबंधित ग्रीक शब्दों से प्राप्त हुए हैं; सभी तीन नाम पहले की पाइथागोरस शब्दावली से लिए गए हैं, जो एक निश्चित रेखा खंड के साथ निश्चित क्षेत्र के आयतों के पक्ष की तुलना को संदर्भित करता है। आयत को खंड पर "लागू" किया जा सकता है (अर्थात, एक समान लंबाई है), खंड से छोटा हो या खंड से अधिक हो। [५]

बिंदुओं के स्थान के रूप में

हाइपरबोला: दो निश्चित बिंदुओं के लिए बिंदुओं की दूरी की परिभाषा (foci)
हाइपरबोला: सर्कुलर डायरेक्ट्रिक्स के साथ परिभाषा

एक अतिशयोक्ति एक के रूप में ज्यामितीय परिभाषित किया जा सकता सेट अंक (के अंक की ठिकाना इयूक्लिडियन विमान में):

एक अतिशयोक्ति अंक का एक सेट है, ऐसी है कि किसी भी बिंदु के लिए सेट का, दूरियों का पूर्ण अंतर दो निश्चित बिंदुओं के लिए ( foci ) स्थिर है, जिसे आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है [6]

मध्यबिंदु नाभियों को मिलाने वाले रेखाखंड को अतिपरवलय का केंद्र कहते हैं [७] नाभियों से गुजरने वाली रेखा को दीर्घ अक्ष कहा जाता हैइसमें कोने , जिनकी दूरी है केंद्र को। दूरीकेंद्र के लिए फॉसी को फोकल दूरी या रैखिक उत्केंद्रता कहा जाता है भागफलहै सनक .

समीकरण एक अलग तरीके से देखा जा सकता है (आरेख देखें):
यदि मध्यबिंदु वाला वृत्त है और त्रिज्या , तो एक बिंदु की दूरी वृत्त की दाहिनी शाखा से फोकस की दूरी के बराबर होती है :

वृत्ताकार दिशा कहलाती है (फोकस से संबंधित)) अतिपरवलय का। [८] [९] अतिपरवलय की बायीं शाखा प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को संबंधित वृत्ताकार निदेशिका का उपयोग करना पड़ता है. नीचे दी गई डायरेक्ट्रिक्स (लाइन) की मदद से इस गुण को हाइपरबोला की परिभाषा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

समीकरण y = A / x . के साथ अतिपरवलय

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में एक आयताकार अतिपरवलय का वर्णन करने के लिए समन्वय प्रणाली को घुमाना
तीन आयताकार अतिपरवलय निर्देशांक अक्षों के साथ स्पर्शोन्मुख
लाल के रूप में : = 1; मैजेंटा: = 4; नीला: = 9

यदि xy -coordinate प्रणाली है घुमाया उत्पत्ति के बारे में कोण से और नए निर्देशांक सौंपा गया है, तो .
आयताकार अतिपरवलय (जिसकी अर्ध-अक्ष बराबर हैं) में नया समीकरण है . के लिए हल करना पैदावार

इस प्रकार, एक में xy -coordinate प्रणाली एक समारोह का ग्राफ समीकरण के साथ

एक आयताकार अतिपरवलय है जो पूरी तरह से पहले और तीसरे चतुर्थांश में है
  • निर्देशांक अक्षों को स्पर्शोन्मुख के रूप में ,
  • रेखा प्रमुख धुरी के रूप में ,
  • केंद्र और अर्ध-अक्ष
  • कोने
  • अर्द्ध Latus मलाशय और वक्रता त्रिज्या कोने में
  • रैखिक सनक और विलक्षणता
  • स्पर्शरेखा बिंदु पर

द्वारा मूल अतिपरवलय का घूर्णन एक आयताकार हाइपरबोला पूरी तरह से दूसरे और चौथे चतुर्थांश में, समान स्पर्शोन्मुख, केंद्र, अर्ध-लेटस मलाशय, कोने पर वक्रता की त्रिज्या, रैखिक विलक्षणता और विलक्षणता के मामले में परिणाम के रूप में होता है रोटेशन, समीकरण के साथ

  • अर्द्ध कुल्हाड़ियों
  • रेखा प्रमुख धुरी के रूप में,
  • कोने

अतिपरवलय को समीकरण के साथ स्थानांतरित करना ताकि नया केंद्र हो , नया समीकरण उत्पन्न करता है

और नए स्पर्शोन्मुख हैं तथा .
आकार पैरामीटर कोई बदलाव नहीं।

डायरेक्ट्रिक्स प्रॉपर्टी द्वारा

हाइपरबोला: डायरेक्ट्रिक्स प्रॉपर्टी
हाइपरबोला: डायरेक्ट्रिक्स प्रॉपर्टी के साथ परिभाषा

दूरी पर दो पंक्तियाँ केंद्र और मामूली अक्ष कहा जाता है के समानांतर से directrices अतिपरवलय (चित्र देखें)।

एक मनमाना बिंदु के लिए हाइपरबोला का एक फोकस और संबंधित डायरेक्ट्रिक्स की दूरी का भागफल (आरेख देखें) विलक्षणता के बराबर है:

जोड़ी के लिए सबूत इस तथ्य से अनुसरण करता है कि तथा समीकरण को संतुष्ट करें

दूसरा मामला इसी तरह साबित होता है।

एक उभयनिष्ठ शीर्ष और उभयनिष्ठ अर्ध अक्षांशीय मलाशय के साथ शंकुओं की पेंसिल

उलटा बयान भी सही है और (एक तरह से एक परवलय की परिभाषा के समान) एक अतिशयोक्ति परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता:

किसी भी बिंदु के लिए (फोकस), कोई भी लाइन (डायरेक्ट्रिक्स) के माध्यम से नहीं और कोई वास्तविक संख्या साथ से बिंदुओं का समूह (बिंदुओं का स्थान), जिसके लिए बिंदु और रेखा की दूरी का भागफल है

एक अतिपरवलय है।

(विकल्प एक परवलय उत्पन्न करता है और यदिएक अंडाकार ।)

सबूत

लश्कर और मान लो वक्र पर एक बिंदु है। डायरेक्ट्रिक्स समीकरण है . साथ में, सम्बन्ध समीकरण उत्पन्न करता है

तथा

प्रतिस्थापन पैदावार

यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है () या एक परवलय () या अतिपरवलय () इन सभी गैर-अपक्षयी शांकवों में, सामान्य रूप से, एक शीर्ष के रूप में उत्पत्ति होती है (आरेख देखें)।

अगर , नए पैरामीटर पेश करें ताकि , और फिर उपरोक्त समीकरण बन जाता है

जो केंद्र के साथ एक अतिपरवलय का समीकरण है , x -अक्ष प्रमुख अक्ष के रूप में और प्रमुख/लघु अर्ध अक्ष.

हाइपरबोला: एक डायरेक्ट्रिक्स का निर्माण
एक डायरेक्ट्री का निर्माण

वजह से बिंदु डायरेक्ट्रिक्स का (आरेख देखें) और फोकस वृत्त पर वृत्त के व्युत्क्रम के संबंध में व्युत्क्रम होते हैं(आरेख हरे रंग में)। इसलिए बिंदुथेल्स के प्रमेय का उपयोग करके बनाया जा सकता है (आरेख में नहीं दिखाया गया है)। डायरेक्ट्रिक्स रेखा के लंबवत है बिंदु के माध्यम से .
का वैकल्पिक निर्माण: गणना से पता चलता है, वह बिंदु अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन है जिसके लंब से होकर जाता है (आरेख देखें)।

शंकु के समतल भाग के रूप में

अतिपरवलय (लाल): एक शंकु के दो दृश्य और दो डंडेलिन गोले d , d

एक समतल डबल शंकु का प्रतिच्छेदन एक ऐसे विमान द्वारा किया जाता है जो शंकु पर रेखाओं के ढलान से अधिक ढलान वाले शीर्ष के माध्यम से नहीं होता है (आरेख देखें: लाल वक्र)। हाइपरबोला (ऊपर देखें) की परिभाषित संपत्ति को साबित करने के लिए दो डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग करता है , जो गोले हैं जो शंकु को वृत्तों के अनुदिश स्पर्श करते हैं , और बिंदुओं पर प्रतिच्छेद (हाइपरबोला) तल तथा . यह पता चला है:हैं फोकी अतिपरवलय।

  1. लश्कर प्रतिच्छेदन वक्र का एक मनमाना बिंदु हो।
  2. Generatrix शंकु के युक्त प्रतिच्छेद वृत्त बिंदु पर और सर्कल एक बिंदु पर .
  3. रेखा खंड तथा गोले के स्पर्शरेखा हैं और, इसलिए, समान लंबाई के हैं।
  4. रेखा खंड तथा गोले के स्पर्शरेखा हैं और, इसलिए, समान लंबाई के हैं।
  5. परिणाम है: अतिपरवलय बिंदु से स्वतंत्र है , क्योंकि कोई बात नहीं जहां बिंदु है, मंडलियों पर होना चाहिए , , और रेखा खंड शिखर को पार करना है। इसलिए, बिंदु के रूप में लाल वक्र (हाइपरबोला), रेखा खंड के साथ चलता है बस अपनी लंबाई को बदले बिना एपेक्स के बारे में घूमता है।

पिन और स्ट्रिंग निर्माण

हाइपरबोला: पिन और स्ट्रिंग निर्माण

हाइपरबोला की परिभाषा इसके फॉसी और इसकी गोलाकार दिशाओं (ऊपर देखें) द्वारा पिन, एक स्ट्रिंग और एक शासक की मदद से इसका एक चाप खींचने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है: [10]

(0) फोकस चुनें , कोने और वृत्ताकार निर्देशों में से एक , उदाहरण के लिए (त्रिज्या के साथ वृत्त )
(१) एक रूलर बिंदु . पर स्थिर होता है घूमने के लिए स्वतंत्र . बिंदु दूरी पर चिह्नित है .
(२) लंबाई के साथ एक स्ट्रिंगतैयार है।
(३) डोरी के एक सिरे को बिंदु . पर पिन किया जाता है शासक पर, दूसरे छोर को इंगित करने के लिए पिन किया गया है .
(४) एक पेन लें और स्ट्रिंग को रूलर के किनारे से कसकर पकड़ें।
(५) शासक को चारों ओर घुमाना हाइपरबोला की दाहिनी शाखा का चाप खींचने के लिए पेन को प्रेरित करता है, क्योंकि ( वृत्ताकार दिशाओं द्वारा अतिपरवलय की परिभाषा देखें )।

हाइपरबोला की स्टेनर पीढ़ी

हाइपरबोला: स्टेनर पीढ़ी
अतिपरवलय y = 1/ x : स्टेनर पीढ़ी

हाइपरबोला के एकल बिंदुओं के निर्माण के लिए निम्नलिखित विधि एक गैर पतित शंकु खंड की स्टीनर पीढ़ी पर निर्भर करती है :

दो पेंसिलें दीं दो बिंदुओं पर रेखाओं का of (सभी पंक्तियाँ युक्त तथा , क्रमशः) और एक प्रक्षेपी लेकिन परिप्रेक्ष्य मानचित्रण नहीं का पर , तो संगत रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु एक गैर-अपक्षयी प्रक्षेपी शंकु खंड बनाते हैं।

अतिपरवलय के अंक उत्पन्न करने के लिए कोने में पेंसिल का उपयोग करता है . लश्कर अतिपरवलय का एक बिंदु हो और . रेखा खंड n समान दूरी वाले खंडों में विभाजित है और इस विभाजन को विकर्ण के समानांतर प्रक्षेपित किया गया है रेखा खंड पर दिशा के रूप में (आरेख देखें)। समानांतर प्रक्षेपण पेंसिलों के बीच प्रक्षेपी मानचित्रण का हिस्सा है तथा आवश्यकता है। किन्हीं दो संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु तथा विशिष्ट रूप से परिभाषित अतिपरवलय के बिंदु हैं।

टिप्पणी: उपखंड को बिंदुओं से आगे बढ़ाया जा सकता है तथा अधिक अंक प्राप्त करने के लिए, लेकिन प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्धारण अधिक गलत हो जाएगा। एक बेहतर विचार समरूपता द्वारा पहले से निर्मित बिंदुओं का विस्तार कर रहा है (एनीमेशन देखें)।

टिप्पणी:

  1. स्टीनर पीढ़ी दीर्घवृत्त और परवलयों के लिए भी मौजूद है।
  2. स्टीनर पीढ़ी को कभी-कभी एक समांतर चतुर्भुज विधि कहा जाता है क्योंकि कोई भी कोने के बजाय अन्य बिंदुओं का उपयोग कर सकता है, जो एक आयत के बजाय समांतर चतुर्भुज से शुरू होता है।

अतिपरवलय y = a /( x - b ) + c और 3-बिंदु-रूप . के लिए उत्कीर्ण कोण

अतिपरवलय: उत्कीर्ण कोण प्रमेय

समीकरण के साथ एक अतिपरवलय विशिष्ट रूप से तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है विभिन्न x - और y -निर्देशांकों के साथ। आकार मापदंडों को निर्धारित करने का एक सरल तरीकाअतिपरवलय के लिए उत्कीर्ण कोण प्रमेय का उपयोग करता है :

समीकरणों वाली दो रेखाओं के बीच के कोण को मापने के लिए इस संदर्भ में कोई भागफल का उपयोग करता है

वृत्तों के लिए उत्कीर्ण कोण प्रमेय के अनुरूप व्यक्ति को प्राप्त होता है

अतिपरवलय के लिए उत्कीर्ण कोण प्रमेय: ,: [११] [१२]

चार बिंदुओं के लिए (आरेख देखें) निम्नलिखित कथन सत्य है:
चार बिंदु समीकरण के साथ एक अतिपरवलय पर हैं यदि और केवल यदि कोण पर हैं तथा उपरोक्त माप के अर्थ में समान हैं। इसका मतलब है कि अगर

(सबूत: सीधी गणना। यदि अंक हाइपरबोला पर हैं, तो कोई मान सकता है कि हाइपरबोला का समीकरण है ।)

अतिपरवलय के लिए उत्कीर्ण कोण प्रमेय का एक परिणाम है

हाइपरबोला के समीकरण का 3-बिंदु-रूप:

अतिपरवलय का समीकरण 3 बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है समीकरण का हल है
के लिये .

इकाई अतिपरवलय x ² - y ² = 1 unit की एक affine छवि के रूप में

हाइपरबोला यूनिट हाइपरबोला की एक एफाइन इमेज के रूप में

हाइपरबोला की एक अन्य परिभाषा एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन का उपयोग करती है :

कोई भी अतिपरवलय , समीकरण के साथ अतिपरवलय इकाई की एफाइन छवि है .
पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व

यूक्लिडियन प्लेन के एक एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन का रूप है , कहां है है एक नियमित रूप से मैट्रिक्स (अपने निर्धारक 0 नहीं है) औरएक मनमाना वेक्टर है। अगर मैट्रिक्स के कॉलम वैक्टर हैं , इकाई अतिपरवलय हाइपरबोला पर मैप किया जाता है

केंद्र है, अतिपरवलय का एक बिंदु और इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर।

कोने

सामान्य तौर पर वैक्टर लंबवत नहीं हैं। इसका मतलब है, सामान्य तौर परहैं अतिशयोक्ति के कोने। परंतुasymptotes की दिशाओं में इंगित करें। बिंदु . पर स्पर्शरेखा सदिश है

क्योंकि एक शीर्ष पर स्पर्शरेखा अतिपरवलय के प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है, इसलिए पैरामीटर प्राप्त होता है समीकरण से एक शीर्ष का

और इसलिए से

कौन सी पैदावार

(सूत्र इस्तेमाल किया गया।)

दो कोने अतिशयोक्ति के हैं

निहित प्रतिनिधित्व

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व को हल करना द्वारा क्रेमर के शासन और का उपयोग कर, किसी को निहित प्रतिनिधित्व मिलता है

.
अंतरिक्ष में अतिपरवलय

इस खंड में एक अतिपरवलय की परिभाषा अंतरिक्ष में भी एक मनमाना अतिपरवलय का एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व देती है, यदि कोई अनुमति देता है अंतरिक्ष में वेक्टर होने के लिए।

अतिपरवलय y = 1/ x . की एक सजातीय छवि के रूप में

हाइपरबोला y = 1/ x . की एफ़िन छवि के रूप में

क्योंकि इकाई अतिपरवलय अतिपरवलय के बराबर है , एक मनमाना हाइपरबोला को हाइपरबोला की एफाइन इमेज (पिछला भाग देखें) के रूप में माना जा सकता है

अतिपरवलय का केंद्र है, सदिश स्पर्शोन्मुख की दिशा है और अतिपरवलय का एक बिंदु है। स्पर्शरेखा सदिश है

किसी शीर्ष पर स्पर्श रेखा दीर्घ अक्ष के लंबवत होती है। इसलिये

और एक शीर्ष का पैरामीटर है

के बराबर है तथा अतिपरवलय के शीर्ष हैं।

हाइपरबोला के निम्नलिखित गुण इस खंड में पेश किए गए हाइपरबोला के प्रतिनिधित्व का उपयोग करके आसानी से सिद्ध होते हैं।

स्पर्शरेखा निर्माण

स्पर्शरेखा निर्माण: स्पर्शोन्मुख और P दिया गया → स्पर्शरेखा

स्पर्शरेखा वेक्टर को गुणनखंड द्वारा फिर से लिखा जा सकता है:

इस का मतलब है कि

विकर्ण समांतर चतुर्भुज का अतिपरवलय बिंदु पर स्पर्शरेखा के समानांतर है (आरेख देखें)।

यह गुण अतिपरवलय पर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा बनाने का एक तरीका प्रदान करता है।

हाइपरबोला का यह गुण पास्कल के प्रमेय के 3-बिंदु-विघटन का एक सम्बद्ध संस्करण है[13]

धूसर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

धूसर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उपरोक्त आरेख में है

और इसलिए बिंदु से स्वतंत्र . अंतिम समीकरण मामले की गणना से अनुसरण करता है, जहां अपने विहित रूप में एक शीर्ष और अतिपरवलय है

बिंदु निर्माण

बिंदु निर्माण: स्पर्शोन्मुख और P 1 दिए गए हैं → P 2

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व वाले हाइपरबोला के लिए (सादगी के लिए केंद्र मूल है) निम्नलिखित सत्य है:

किन्हीं दो बिंदुओं के लिए बिंदु
अतिपरवलय के केंद्र के साथ संरेख हैं (आरेख देखें)।

सरल प्रमाण समीकरण का परिणाम है .

यह गुण एक अतिपरवलय के बिंदुओं के निर्माण की संभावना प्रदान करता है यदि स्पर्शोन्मुख और एक बिंदु दिया गया हो।

हाइपरबोला का यह गुण पास्कल के प्रमेय के 4-बिंदु-विघटन का एक सम्बद्ध संस्करण है[14]

स्पर्शरेखा-स्पर्शी-त्रिकोण

अतिपरवलय: स्पर्शरेखा-स्पर्शी-त्रिकोण

सरलता के लिए अतिपरवलय का केंद्र मूल और सदिश हो सकता है समान लंबाई है। यदि अंतिम धारणा पूरी नहीं होती है, तो धारणा को सच करने के लिए पहले एक पैरामीटर परिवर्तन (ऊपर देखें) लागू किया जा सकता है। इसलिये शिखर हैं, छोटी धुरी को फैलाओ और एक हो जाता है तथा .

बिंदु पर स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए स्पर्शोन्मुख के साथ एक अंक प्राप्त करता है

त्रिभुज का क्षेत्रफल 2 × 2 निर्धारक द्वारा गणना की जा सकती है:

( निर्धारकों के लिए नियम देखें )। द्वारा उत्पन्न समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है area . एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल के आधे के बराबर होता है। विकर्ण अर्ध-अक्ष हैंअतिपरवलय का। इसलिये:

त्रिभुज का क्षेत्रफल हाइपरबोला के बिंदु से स्वतंत्र है:

एक वृत्त का पारस्परिक

विनिमय एक के वृत्त बी एक सर्कल में सी हमेशा इस तरह के एक अति परवलय के रूप में एक शांकव खंड अर्जित करता है। "एक सर्कल सी में पारस्परिकता" की प्रक्रिया में प्रत्येक रेखा और बिंदु को एक ज्यामितीय आकृति में क्रमशः उनके संबंधित ध्रुव और ध्रुवीय के साथ बदलना शामिल है ध्रुव एक लाइन की है उलट सर्कल के अपने निकटतम बिंदु के सी , जबकि एक बिंदु के ध्रुवीय बातचीत, अर्थात्, एक लाइन जिसका निकटतम बिंदु है सी बिंदु के उलट है।

पारस्परिकता द्वारा प्राप्त शंकु खंड की उत्केन्द्रता दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी का अनुपात है जो पारस्परिक वृत्त C की त्रिज्या r हैयदि B और C संगत वृत्तों के केंद्रों पर बिंदुओं को निरूपित करते हैं, तो

चूँकि अतिपरवलय की उत्केन्द्रता हमेशा एक से अधिक होती है, केंद्र B को पारस्परिक वृत्त C के बाहर स्थित होना चाहिए

इस परिभाषा का तात्पर्य है कि अतिशयोक्ति दोनों है ठिकाना सर्कल के स्पर्श रेखाओं के ध्रुवों की बी , साथ ही लिफाफा पर अंक के ध्रुवीय लाइनों के बीइसके विपरीत, सर्कल बी हाइपरबोला पर बिंदुओं के ध्रुवों का लिफाफा है, और हाइपरबोला के स्पर्शरेखा रेखाओं के ध्रुवों का स्थान है। B की दो स्पर्श रेखाओं में कोई (परिमित) ध्रुव नहीं है क्योंकि वे पारस्परिक वृत्त C के केंद्र C से होकर गुजरती हैं ; B पर संबंधित स्पर्शरेखा बिंदुओं के ध्रुव अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख हैं। अतिपरवलय की दो शाखाएं वृत्त B के उन दो भागों के संगत हैं जो इन स्पर्श रेखाओं से अलग होते हैं।

द्विघात समीकरण

एक हाइपरबोला को विमान में कार्टेशियन निर्देशांक ( x , y ) में द्वितीय-डिग्री समीकरण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है ,

बशर्ते कि स्थिरांक A xx , A xy , A yy , B x , B y , और C सारणिक शर्त को पूरा करते हों

यह निर्धारक पारंपरिक कहा जाता है विभेदक शांकव खंड के। [15]

एक अतिपरवलय का एक विशेष मामला- दो प्रतिच्छेदन रेखाओं से युक्त पतित अतिपरवलय -तब होता है जब दूसरा निर्धारक शून्य होता है:

इस निर्धारक Δ को कभी-कभी शंकु खंड का विभेदक कहा जाता है। [16]

कार्टेशियन निर्देशांक में हाइपरबोला के उपरोक्त सामान्य पैरामीट्रिजेशन को देखते हुए, गुणांक के संदर्भ में कॉनिक सेक्शन # एक्सेंट्रिकिटी में सूत्र का उपयोग करके सनकीपन पाया जा सकता है

अतिपरवलय का केंद्र ( x c , y c ) सूत्रों से निर्धारित किया जा सकता है

नई निर्देशांक, के संदर्भ में ξ = एक्स - एक्स सी और η = y - y , अतिशयोक्ति के निर्णायक समीकरण लिखा जा सकता है

अतिशयोक्ति के प्रमुख कुल्हाड़ियों एक कोण बनाने φ सकारात्मक एक्स अक्ष कि द्वारा दी जाती है

निर्देशांक अक्षों को घुमाते हुए ताकि x -अक्ष अनुप्रस्थ अक्ष के साथ संरेखित हो, समीकरण को उसके विहित रूप में लाता है

प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष a और b को समीकरणों द्वारा परिभाषित किया गया है

जहां λ 1 और λ 2 हैं जड़ों की द्विघात समीकरण

तुलना के लिए, एक पतित अतिपरवलय (दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से मिलकर) के लिए संगत समीकरण है

अतिपरवलय पर किसी दिए गए बिंदु ( x 0 , y 0 ) की स्पर्श रेखा को समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है

जहां E , F और G को . द्वारा परिभाषित किया गया है

सामान्य लाइन एक ही बिंदु पर अतिशयोक्ति के लिए समीकरण द्वारा दिया जाता है

सामान्य रेखा स्पर्शरेखा के लंबवत होती है, और दोनों एक ही बिंदु ( x 0 , y 0 ) से होकर गुजरती हैं

समीकरण से

बायां फोकस है और सही फोकस है जहां विलक्षणता है। एक बिंदु ( x, y ) से बाएँ और दाएँ फ़ॉसी की दूरियों को इस प्रकार निरूपित करें तथा दाहिनी शाखा पर एक बिंदु के लिए,

और बाईं शाखा पर एक बिंदु के लिए,

इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है:

यदि ( x , y ) अतिपरवलय पर एक बिंदु है तो बाएं केंद्र बिंदु की दूरी है

दायीं फोकल बिंदु के लिए दूरी है

यदि ( x , y ) अतिपरवलय की दाहिनी शाखा पर एक बिंदु है तो तथा

इन समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होता है

यदि ( x,y ) अतिपरवलय की बाईं शाखा पर एक बिंदु है तो तथा

इन समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होता है

समीकरण

यदि कार्टेशियन निर्देशांक इस तरह पेश किए जाते हैं कि मूल अतिपरवलय का केंद्र है और x- अक्ष प्रमुख अक्ष है, तो अतिपरवलय को पूर्व-पश्चिम-उद्घाटन कहा जाता है और

फोकी अंक हैं , [17]
कोने हैं . [18]

एक मनमाना बिंदु के लिए फोकस की दूरी है और दूसरे फोकस के लिए . इसलिए बिंदु यदि निम्न शर्त पूरी होती है तो अतिपरवलय पर है

उपयुक्त वर्गों द्वारा वर्गमूल निकालें और संबंध का उपयोग करें अतिपरवलय का समीकरण प्राप्त करने के लिए:

इस समीकरण को हाइपरबोला का विहित रूप कहा जाता है , क्योंकि कोई भी हाइपरबोला, कार्टेशियन अक्षों के सापेक्ष इसके अभिविन्यास की परवाह किए बिना और इसके केंद्र के स्थान की परवाह किए बिना, चर के परिवर्तन से इस रूप में परिवर्तित हो सकता है, एक हाइपरबोला देता है जो है मूल के अनुरूप ( नीचे देखें )।

की कुल्हाड़ियों समरूपता या प्रिंसिपल कुल्हाड़ियों हैं अनुप्रस्थ अक्ष (लंबाई 2 के खंड युक्त एक कोने में अंतिम बिंदु के साथ) और संयुग्म अक्ष (की लंबाई 2 खंड युक्त अनुप्रस्थ अक्ष के लम्बवत और अतिशयोक्ति के केंद्र में मध्य के साथ) . [१९] दीर्घवृत्त के विपरीत, अतिपरवलय में केवल दो शीर्ष होते हैं:. दो बिंदुसंयुग्म कुल्हाड़ियों पर अतिपरवलय पर नहीं हैं

यह समीकरण से इस प्रकार है कि अतिशयोक्ति है सममित समन्वय दो अक्षों के और इसलिए मूल के संबंध में सममित के संबंध में।

सनक

उपरोक्त विहित रूप में एक अतिपरवलय के लिए, उत्केंद्रता किसके द्वारा दी गई है

दो अतिपरवलय ज्यामितीय रूप से एक दूसरे के समान होते हैं - जिसका अर्थ है कि उनका आकार समान होता है, ताकि एक को कठोर बाएँ और दाएँ आंदोलनों , रोटेशन , एक दर्पण छवि लेने और स्केलिंग (आवर्धन) द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जा सके - यदि और केवल यदि उनमें एक ही विलक्षणता है।

स्पर्शोन्मुख

अतिपरवलय: अर्ध-अक्ष a , b , रैखिक उत्केंद्रता c , अर्ध अक्षांश मलाशय p
अतिपरवलय: 3 गुण

हाइपरबोला के समीकरण (ऊपर) को हल करना पैदावार

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अतिपरवलय दो रेखाओं तक पहुंचता है

के बड़े मूल्यों के लिए . ये दो रेखाएँ केंद्र (मूल) पर प्रतिच्छेद करती हैं और अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख कहलाती हैं[20]

दूसरी आकृति की सहायता से कोई यह देख सकता है कि

फोकस से किसी भी स्पर्शोन्मुख की लंबवत दूरी है (अर्ध-मामूली धुरी)।

से हेस्से सामान्य रूप स्पर्शोन्मुख और अतिपरवलय के समीकरण से प्राप्त होता है: [२१]

अतिपरवलय पर एक बिंदु से दोनों अनंतस्पर्शियों तक की दूरी का गुणनफल स्थिर होता है जिसे सनकीपन ई के रूप में भी लिखा जा सकता है

समीकरण से हाइपरबोला (ऊपर) से कोई प्राप्त कर सकता है:

दो कोने करने के लिए एक बिंदु पी से लाइनों की ढलानों के उत्पाद स्थिर है

इसके अलावा, ऊपर (2) से यह दिखाया जा सकता है कि [२१]

हाइपरबोला पर एक बिंदु से अनंतस्पर्शियों के समानांतर रेखाओं के साथ की दूरी का गुणनफल स्थिर होता है

सेमी-लेटस रेक्टम

अतिपरवलय के प्रमुख अक्ष के लंबवत, किसी एक नाभिका से होकर जीवा की लंबाई को लेटस रेक्टम कहा जाता हैइसका आधा भाग सेमी-लैटस रेक्टम है . एक गणना दिखाता है

सेमी-लेटस रेक्टम कोने पर वक्रता त्रिज्या के रूप में भी देखा जा सकता है

स्पर्शरेखा

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा के समीकरण को निर्धारित करने का सबसे सरल तरीका समीकरण को स्पष्ट रूप से अलग करना हैअतिपरवलय का। dy/dx को y′ के रूप में निरूपित करते हुए , यह उत्पन्न करता है

इसके संबंध में , बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण है

एक विशेष स्पर्शरेखा रेखा हाइपरबोला को अन्य शंकु वर्गों से अलग करती है। [२२] मान लें कि f शीर्ष V से (अतिपरवलय और उसकी धुरी दोनों पर दो नाभियों के माध्यम से) निकट फोकस की दूरी है तब उस अक्ष के लंबवत रेखा के अनुदिश, उस फोकस से अतिपरवलय पर एक बिंदु P तक की दूरी 2 f से अधिक होती है P पर अतिपरवलय की स्पर्शरेखा उस अक्ष को बिंदु Q पर PQV के 45° से अधिक कोण पर प्रतिच्छेद करती है।

आयताकार अतिपरवलय

यदि अतिपरवलय को आयताकार (या समबाहु ) कहा जाता है , क्योंकि इसके स्पर्शोन्मुख समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस मामले के लिए, रैखिक विलक्षणता है, विलक्षणता और सेमी-लेटस रेक्टम . समीकरण का ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय है।

अतिपरवलयिक ज्या/कोज्या के साथ पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व

अतिपरवलयिक ज्या और कोज्या कार्यों का उपयोग करना , अतिपरवलय का एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है, जो एक अंडाकार के पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व के समान है:

जो कार्तीय समीकरण को संतुष्ट करता है क्योंकि

आगे पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व नीचे पैरामीट्रिक समीकरण अनुभाग में दिए गए हैं।

यहाँ एक = = 1 देने इकाई अतिशयोक्ति नीले रंग में और हरे रंग में संयुग्म अतिशयोक्ति, एक ही लाल asymptotes साझा करने।

संयुग्म अतिपरवलय

अदला बदली तथा संयुग्म अतिपरवलय का समीकरण प्राप्त करने के लिए (आरेख देखें):

के रूप में भी लिखा है

अतिपरवलय: ध्रुव के साथ ध्रुवीय निर्देशांक = फोकस
अतिपरवलय: ध्रुव के साथ ध्रुवीय निर्देशांक = केंद्र

ध्रुव के लिए = फोकस:

हाइपरबोला के लिए सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले ध्रुवीय निर्देशांक को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है जिसका मूल फोकस में होता है और इसकी एक्स-अक्ष "कैनोनिकल समन्वय प्रणाली" की उत्पत्ति की ओर इशारा करती है जैसा कि पहले आरेख में दिखाया गया है।
इस मामले में कोणवास्तविक विसंगति कहा जाता है

इस समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक है कि

तथा

ध्रुव के लिए = केंद्र:

"विहित समन्वय प्रणाली" के सापेक्ष ध्रुवीय निर्देशांक के साथ (दूसरा आरेख देखें) किसी के पास है कि

अतिपरवलय की दाहिनी शाखा के लिए की सीमा है

समीकरण के साथ एक अतिपरवलय कई पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

  1. ( तर्कसंगत प्रतिनिधित्व)।
  2. पैरामीटर के रूप में स्पर्शरेखा ढलान:
    एक पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व, जो ढलान का उपयोग करता है हाइपरबोला के एक बिंदु पर स्पर्शरेखा को दीर्घवृत्त के मामले में समान रूप से प्राप्त किया जा सकता है: दीर्घवृत्त मामले में बदलें द्वारा द्वारा और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के लिए सूत्रों का उपयोग करें एक हो जाता है
    ऊपरी है, और हाइपरबोला का निचला आधा भाग। लंबवत स्पर्शरेखा वाले बिंदु (कोने .) ) प्रतिनिधित्व द्वारा कवर नहीं किया जाता है।
    बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण है
    हाइपरबोला की स्पर्शरेखा का यह विवरण हाइपरबोला के ऑर्थोप्टिक के निर्धारण के लिए एक आवश्यक उपकरण है

यूनिट हाइपरबोला के माध्यम से एक किरण बिंदु पर , कहां है किरण, अतिपरवलय, और के बीच के क्षेत्र का दोगुना है -एक्सिस। हाइपरबोला के नीचे के बिंदुओं के लिए -अक्ष, क्षेत्र को नकारात्मक माना जाता है।

जिस प्रकार त्रिकोणमितीय फलनों को इकाई वृत्त के रूप में परिभाषित किया जाता है , उसी प्रकार अतिपरवलयिक फलनों को भी इकाई अतिपरवलय के रूप में परिभाषित किया जाता है , जैसा कि इस आरेख में दिखाया गया है। एक इकाई वृत्त में, कोण (रेडियन में) उस वृत्तीय त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर होता है जिसे वह कोण अन्तरित करता है। अनुरूप अतिशयोक्तिपूर्ण कोण वैसे ही एक दो बार क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र

लश्कर के बीच के क्षेत्रफल का दुगुना हो धुरी और एक किरण मूल बिंदु के माध्यम से इकाई हाइपरबोला को काटती है, और परिभाषित करती है चौराहे बिंदु के निर्देशांक के रूप में। फिर अतिपरवलयिक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर शीर्ष के पिछले वक्र क्षेत्र को . पर है:

जो हाइपरबोलिक कोसाइन क्षेत्र को सरल करता है

के लिए हल करना हाइपरबोलिक कोसाइन का घातीय रूप देता है:

से एक हो जाता है

और इसका प्रतिलोम क्षेत्र अतिपरवलयिक ज्या है :

अन्य अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या के अनुसार परिभाषित किया जाता है, इसलिए उदाहरण के लिए

स्पर्शरेखा रेखाओं के बीच के कोण को foci . को समद्विभाजित करती है

अतिपरवलय: स्पर्शरेखा फोकस के माध्यम से रेखाओं को समद्विभाजित करती है

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है .

सबूत

लश्कर लाइन पर बिंदु बनें दूरी के साथ फोकस करने के लिए (आरेख देखें, अतिपरवलय का अर्ध प्रमुख अक्ष है)। लाइन रेखाओं के बीच के कोण का समद्विभाजक है . यह सिद्ध करने के लिए बिंदु पर स्पर्श रेखा है , कोई जाँचता है कि कोई बिंदु लाइन पर जो से अलग है अतिपरवलय पर नहीं हो सकता। इसलिये केवल बिंदु है हाइपरबोला के समान है और इसलिए, बिंदु पर स्पर्शरेखा है .
आरेख और त्रिभुज असमानता से कोई यह पहचानता है कि धारण करता है, जिसका अर्थ है: . लेकिन अगर अतिपरवलय का एक बिंदु है, अंतर होना चाहिए .

समानांतर जीवाओं के मध्यबिंदुpoint

अतिपरवलय: समांतर जीवाओं के मध्यबिंदु एक रेखा पर स्थित होते हैं।
अतिपरवलय: किसी जीवा का मध्यबिंदु स्पर्शोन्मुख जीवा का मध्यबिंदु होता है।

एक अतिपरवलय की समानांतर जीवाओं के मध्य बिंदु केंद्र से होकर जाने वाली एक रेखा पर स्थित होते हैं (आरेख देखें)।

किसी भी जीवा के बिंदु अतिपरवलय की विभिन्न शाखाओं पर स्थित हो सकते हैं।

हाइपरबोला के लिए मध्य बिंदुओं पर संपत्ति का सबूत सबसे अच्छा किया जाता है . क्योंकि कोई भी अतिपरवलय अतिपरवलय की एक सम्बद्ध प्रतिबिम्ब है(नीचे अनुभाग देखें) और एक affine परिवर्तन समानांतरता और रेखा खंडों के मध्य बिंदुओं को संरक्षित करता है, संपत्ति सभी अतिपरवलय के लिए सही है:
दो बिंदुओं के लिए अतिपरवलय का

जीवा का मध्यबिंदु है
जीवा का ढलान है

समानांतर जीवाओं के लिए ढलान स्थिर है और समानांतर जीवाओं के मध्य बिंदु रेखा पर स्थित हैं

परिणाम: अंकों के किसी भी जोड़े के लिए एक जीवा में अतिपरवलय के केंद्र से गुजरने वाली धुरी (स्थिर बिंदुओं का सेट) के साथ एक तिरछा प्रतिबिंब मौजूद होता है , जो बिंदुओं का आदान-प्रदान करता हैऔर अतिपरवलय (पूरी तरह से) को स्थिर छोड़ देता है। एक तिरछा परावर्तन एक रेखा के पार एक साधारण प्रतिबिंब का सामान्यीकरण है, जहां सभी बिंदु-छवि जोड़े एक रेखा पर लंबवत हैं perpendicular .

चूँकि तिरछा परावर्तन अतिपरवलय को स्थिर छोड़ देता है, स्पर्शोन्मुख युग्म भी स्थिर हो जाता है। इसलिए मध्यबिंदु एक राग का संबंधित रेखा खंड को विभाजित करता है स्पर्शोन्मुख के बीच भी हिस्सों में। इस का मतलब है कि. इस संपत्ति का उपयोग आगे के बिंदुओं के निर्माण के लिए किया जा सकता है अतिपरवलय का यदि एक बिंदु और स्पर्शोन्मुख दिए गए हैं।

यदि जीवा एक स्पर्शरेखा में बदल जाती है , तो स्पर्श बिंदु स्पर्शोन्मुख के बीच के रेखा खंड को दो हिस्सों में विभाजित करता है।

ओर्थोगोनल टेंगेंट - ऑर्थोप्टिक

इसके ऑर्थोप्टिक (मैजेंटा) के साथ हाइपरबोला

अतिपरवलय के लिए ओर्थोगोनल टेंगेंट के चौराहे बिंदु सर्कल पर स्थित हैं.
इस सर्कल को दिए गए हाइपरबोला का ऑर्थोप्टिक कहा जाता है

स्पर्शरेखा हाइपरबोला की विभिन्न शाखाओं पर बिंदुओं से संबंधित हो सकती हैं।

के मामले में ओर्थोगोनल टेंगेंट के कोई जोड़े नहीं हैं।

अतिपरवलय के लिए ध्रुव-ध्रुवीय संबंध

अतिपरवलय: ध्रुव-ध्रुवीय संबंध

किसी भी अतिपरवलय को समीकरण द्वारा उपयुक्त समन्वय प्रणाली में वर्णित किया जा सकता है . एक बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण अतिपरवलय का है