डिस्क (गणित)

ज्यामिति में , एक डिस्क ( वर्तनी डिस्क भी ) [1] एक वृत्त से घिरे हुए समतल का क्षेत्र है एक डिस्क को बंद कहा जाता है यदि इसमें वह वृत्त होता है जो उसकी सीमा बनाता है, और यदि वह नहीं है तो खुला है। [2]

त्रिज्या के लिए एक खुली डिस्क को आमतौर पर दर्शाया जाता है और एक बंद डिस्क है हालाँकि टोपोलॉजी के क्षेत्र में क्लोज्ड डिस्क को आमतौर पर ओपन डिस्क के रूप में दर्शाया जाता है

कार्तीय निर्देशांक में , केंद्र और त्रिज्या R की खुली डिस्क सूत्र द्वारा दी जाती है [1]

खुली डिस्क और बंद डिस्क टोपोलॉजिकल रूप से समतुल्य नहीं हैं (अर्थात, वे होमोमोर्फिक नहीं हैं ), क्योंकि उनके पास एक दूसरे से भिन्न टोपोलॉजिकल गुण हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बंद डिस्क कॉम्पैक्ट होती है जबकि प्रत्येक खुली डिस्क कॉम्पैक्ट नहीं होती है। [5] हालांकि बीजगणितीय टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से वे कई गुणों को साझा करते हैं: ये दोनों अनुबंधीय हैं [6] और इसलिए एक बिंदु के बराबर समरूप हैं। इसका तात्पर्य यह है कि उनके मौलिक समूह तुच्छ हैं, और सभी समरूपता समूह 0 वें को छोड़कर तुच्छ हैं, जो कि Z के लिए समरूप है । यूलर विशेषताएक बिंदु का (और इसलिए एक बंद या खुली डिस्क का भी) 1 है। [7]

बंद डिस्क से स्वयं तक प्रत्येक निरंतर मानचित्र में कम से कम एक निश्चित बिंदु होता है (हमें मानचित्र को विशेषण या यहां तक ​​कि विशेषण होने की आवश्यकता नहीं है ); यह ब्रौवर नियत बिंदु प्रमेय का मामला n = 2 है [8] ओपन डिस्क के लिए स्टेटमेंट गलत है: [9]

उदाहरण के लिए उस फ़ंक्शन पर विचार करें जो ओपन यूनिट डिस्क के प्रत्येक बिंदु को दिए गए के दाईं ओर ओपन यूनिट डिस्क पर दूसरे बिंदु पर मैप करता है। लेकिन क्लोज्ड यूनिट डिस्क के लिए यह हाफ सर्कल के हर पॉइंट को फिक्स करता है


डिस्क के साथ
  परिधि सी
  व्यास डी
  त्रिज्या आर
  केंद्र या मूल O
डिस्क पर बिंदुओं से किसी स्थान की औसत दूरी
डिस्क से आंतरिक बिंदु तक की औसत दूरी
डिस्क से बाहरी बिंदु तक की औसत दूरी
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