एक समारोह के विभेदक

में पथरी , अंतर का प्रतिनिधित्व करता है प्रमुख भाग में एक परिवर्तन के समारोह y  =  च ( एक्स स्वतंत्र चर में परिवर्तन के संबंध में)। अंतर डाई द्वारा परिभाषित किया गया है

${[प्रदर्शन डाई = f '(x) \, dx,}$

जहाँ x के संबंध में f का व्युत्पन्न है , और dx एक अतिरिक्त वास्तविक चर है (ताकि डाई x और dx का कार्य हो )। संकेतन ऐसा है जो समीकरण है${[डिस्प्लेस्टाइल f '(x)}$

${# प्रदर्शन शैली डाई = {\ frac {डाई} {dx}} \, dx}$

धारण करता है, जहां लिबनिज नोटेशन डाई / डीएक्स में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व किया जाता है , और यह व्युत्पन्न के अंतर के भाग के रूप में संगत है। एक भी लिखता है

${{प्रदर्शनशास्त्र df (x) = f '(x) \, dx। "$

चर डाई और डीएक्स का सटीक अर्थ आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। यदि अंतर को किसी फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के लिए रैखिक सन्निकटन के रूप में माना जाता है, तो इन चरों के डोमेन एक विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले जा सकते हैं, यदि अंतर को एक विशेष अंतर रूप या विश्लेषणात्मक महत्व के रूप में माना जाता है । परंपरागत रूप से, वैरिएबल dx और डाई को बहुत छोटा माना जाता है ( infinitesimal ), और इस व्याख्या को गैर-मानक विश्लेषण में कठोर बनाया जाता है ।

इतिहास और उपयोग [ संपादित करें ]

अंतर पहले से एक सहज ज्ञान युक्त या अनुमानी परिभाषा के माध्यम से पेश किया गया था आइजैक न्यूटन और से भी आगे बढ़ाया है गोटफ्राइड लीबनीज , जो अंतर के बारे में सोचा  डीवाई एक असीम छोटे (या के रूप में अत्यल्प मूल्य में) परिवर्तन  y समारोह की, एक असीम छोटा सा परिवर्तन करने के लिए इसी  dx फ़ंक्शन के तर्क में  x । उस कारण से, x के संबंध में y के परिवर्तन की तात्कालिक दर , जो फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मूल्य है , को अंश द्वारा निरूपित किया जाता है

${[प्रदर्शन {{frac {dy} {dx}}}$

जिसे डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज नोटेशन कहा जाता है । भागफल डाई / dx असीम रूप से छोटा नहीं है; बल्कि यह एक वास्तविक संख्या है ।

इस रूप में infinitesimals के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट द एनालिस्ट । ऑगस्टिन-लुई कॉची ( 1823 ) ने लीबनीज के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना अंतर को परिभाषित किया। ^{[१] [२]} इसके बजाय, कैची, डिलेबर्ट के बाद , लीबनिज़ और उसके उत्तराधिकारियों के तार्किक आदेश को उलट दिया: व्युत्पन्न स्वयं मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अंतर उद्धरणों की एक सीमा के रूप में परिभाषित किया गया था , और अंतर तब परिभाषित किए गए थे यह। यही है, एक अभिव्यक्ति द्वारा अंतर डाई को परिभाषित करने के लिए स्वतंत्र था

${[डिस्प्लेस्टाइल डाई = f '(x) \, dx}$

जिसमें डाई और dx केवल नए वैरिएबल हैं जो परिमित वास्तविक मूल्य लेते हैं, ^[3] इनफिनिटिमल्स तय नहीं किए गए क्योंकि वे लीबनिज के लिए थे। ^[४]

के अनुसार बोयर (1959 , पृ। 12), कॉची के दृष्टिकोण लाइबनिट्स की अत्यल्प दृष्टिकोण है क्योंकि, बजाय infinitesimals के आध्यात्मिक धारणा लागू की एक महत्वपूर्ण तार्किक सुधार, मात्रा था वि और dx अब बिल्कुल के रूप में एक ही तरीके से चालाकी से किया जा सकता है सार्थक तरीके से कोई अन्य वास्तविक मात्रा। कॉची के समग्र वैचारिक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक एक है, ^[5] हालांकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः कार्ल वेइरस्ट्रास के कारण था । ^[६]

भौतिक उपचारों में, जैसे कि ऊष्मप्रवैगिकी के सिद्धांत पर लागू किया जाता है , असीम दृश्य अभी भी प्रबल है। कौरेंट एंड जॉन (1999 , पृष्ठ 184) के रूप में निम्नानुसार गणितीय असंभावना के साथ इनफिनिटिमल डिफरेंशियल के भौतिक उपयोग को समेट लेते हैं। विभेदक परिमित गैर-शून्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो उस विशेष उद्देश्य के लिए आवश्यक सटीकता की डिग्री से छोटे होते हैं जिसके लिए उनका उद्देश्य होता है। इस प्रकार "भौतिक infinitesimals" एक सटीक गणितीय अर्थ के लिए एक इसी गणितीय infinitesimal अपील की जरूरत नहीं है।

गणितीय विश्लेषण और अंतर ज्यामिति में बीसवीं सदी के घटनाक्रम के बाद , यह स्पष्ट हो गया कि किसी फ़ंक्शन के अंतर की धारणा को विभिन्न तरीकों से बढ़ाया जा सकता है। में वास्तविक विश्लेषण , यह एक समारोह के वेतन वृद्धि का मुख्य भाग के रूप में अंतर के साथ सीधे निपटने के लिए अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अंतर एक वृद्धि । X का रैखिक कार्यात्मक है । यह दृष्टिकोण विभेदक (एक रेखीय मानचित्र के रूप में) को अधिक परिष्कृत रिक्त स्थान के लिए विकसित करने की अनुमति देता है, अंततः फ्रैक्च या गैटॉक्स व्युत्पन्न के रूप में ऐसी धारणाओं को जन्म देता है । इसी तरह, मेंविभेदक ज्यामिति , एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अंतर एक स्पर्शरेखा वेक्टर (एक "असीम रूप से छोटे विस्थापन") का एक रैखिक कार्य है , जो इसे एक प्रकार के एक-रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फ़ंक्शन का बाहरी व्युत्पन्न । में अमानक पथरी (देखें, भिन्नता जो खुद एक कठोर स्तर पर रखा जा सकता है, infinitesimals रूप में माना जाता अंतर (अत्यल्प) )।

परिभाषा [ संपादित करें ]

विभेदकों को विभेदक पथरी के आधुनिक उपचार में परिभाषित किया गया है। ^[7] एक समारोह का अंतर च ( एक्स ) की एक एकल वास्तविक चर एक्स समारोह है df दो स्वतंत्र असली चर के एक्स और Δ x द्वारा दिए गए

${{प्रदर्शनशाला df (x, \ Delta x) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f '(x) \, \ Delta x।}$

एक या दोनों तर्कों को दबाया जा सकता है, अर्थात, एक df ( x ) या बस df देख सकता है । यदि y  =  f ( x ), अंतर को डाई के रूप में भी लिखा जा सकता है । चूंकि dx ( x , Δ x ) = is x यह dx  = , x लिखने के लिए पारंपरिक है , ताकि निम्नलिखित समतुल्य धारण हो:

${# प्रदर्शन शैली df (x) = f '(x) \, dx}$

अंतर की यह धारणा मोटे तौर पर तब लागू होती है जब किसी फ़ंक्शन के लिए रैखिक सन्निकटन मांगा जाता है, जिसमें वेतन वृद्धि का मान। X काफी छोटा होता है। दरअसल, अगर च एक है जो विभेदक समारोह में एक्स , तो में अंतर y -values

${[प्रदर्शन \ _ \ _ y \ _ \ _ ढेर {\ rm {def}} {=}} f (x + \ Delta x) -f (x)}$

संतुष्ट

${\ displaystyle \ Delta y = f '(x) \, \ Delta x + \ varepsilon = df (x) + \ varepsilon \,}$

जहां सन्निकटन में त्रुटि ε संतुष्ट ε / Δ एक्स  → 0 के रूप में Δ एक्स  → 0. दूसरे शब्दों में, एक अनुमानित पहचान है

${# प्रदर्शन शैली \ डेल्टा y \ लगभग डाई}$

जिसमें त्रुटि को const x के सापेक्ष छोटा करके वांछित के रूप में छोटा किया जा सकता है, x को पर्याप्त रूप से छोटा करने के लिए विवश किया जाता है ; यानी,

${\$

as  of x → 0. इस कारण से, किसी फ़ंक्शन का अंतर एक फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि में प्रमुख (रैखिक) भाग के रूप में जाना जाता है : अंतर वेतन वृद्धि x का एक रैखिक कार्य है , और हालांकि त्रुटि 0. हो सकती है nonlinear, यह शून्य तक तेजी से जाता है क्योंकि to x शून्य पर जाता है।

कई चर में अंतर [ संपादित करें ]

संचालक \ _ फंक्शन	${{प्रदर्शनशास्त्र f (x)}$	${{प्रदर्शनशास्त्र f (x, y, u (x, y), v (x, y))}$
अंतर	1: ${[डिस्प्लेस्टाइल df \ _, {\ ओवरसेट {\ अंडरस्सेट {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$	2: ${\displaystyle d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$ 3: d f = d e f f x ′ d x + f y ′ d y + f u ′ d u + f v ′ d v {\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv}
आंशिक व्युत्पन्न	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}}$	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$
कुल व्युत्पन्न	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0)}$

बाद Goursat (1904 , मैं, §15), एक से अधिक स्वतंत्र चर के कार्यों के लिए,

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

चर x ₁ में से किसी एक के संबंध  में y का आंशिक अंतर उस एक चर में परिवर्तन dx _{1 के} परिणामस्वरूप  y में परिवर्तन का मुख्य भाग है । आंशिक अंतर इसलिए है

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$

x _{1 के} संबंध  में y के आंशिक व्युत्पन्न को शामिल करना । सभी स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक अंतर का योग कुल अंतर है

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$

जो स्वतंत्र चर x _i में परिवर्तन के परिणामस्वरूप  y में परिवर्तन का प्रमुख हिस्सा है ।

अधिक सटीक रूप से, बहुपरत कलन के संदर्भ में, कर्टन (1937 बी) के बाद , यदि च एक अलग कार्य है, तो भिन्नता की परिभाषा से , वृद्धि।

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$

जहां त्रुटि की शर्तें tend _मैं वेतन वृद्धि के रूप में शून्य होती हैं jointly x _i संयुक्त रूप से शून्य हो जाती हैं। कुल अंतर तब कड़ाई से परिभाषित किया गया है 

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$

चूंकि, इस परिभाषा के साथ,

${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$

किसी के पास

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$

जैसा कि एक चर के मामले में, अनुमानित पहचान रखती है

${\displaystyle dy\approx \Delta y}$

जिसमें पर्याप्त रूप से छोटे वेतन वृद्धि पर ध्यान देते हुए कुल त्रुटि को वांछित रिश्तेदार के रूप में छोटा किया जा सकता है ।${\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$

त्रुटि आकलन के कुल अंतर का अनुप्रयोग [ संपादित करें ]

माप में, कुल अंतर में प्रयोग किया जाता है त्रुटि का आकलन Δ च एक समारोह के च त्रुटियों के आधार पर Δ एक्स , Δ y , ... मापदंडों के एक्स , वाई , ...। यह मानते हुए कि परिवर्तन लगभग रैखिक होने के लिए अंतराल काफी कम है:

Δ f ( x ) = f ' ( x ) ×। X

और सभी चर स्वतंत्र हैं, फिर सभी चर के लिए,

${\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$

इसका कारण यह है व्युत्पन्न है च _x विशेष पैरामीटर के संबंध में एक्स समारोह की संवेदनशीलता देता है च में बदलाव के एक्स , त्रुटि Δ विशेष रूप से एक्स । जैसा कि उन्हें स्वतंत्र माना जाता है, विश्लेषण सबसे खराब स्थिति का वर्णन करता है। घटक त्रुटियों के पूर्ण मूल्यों का उपयोग किया जाता है, क्योंकि सरल गणना के बाद, व्युत्पन्न का नकारात्मक संकेत हो सकता है। इस सिद्धांत से संक्षेपण, गुणन आदि के त्रुटि नियम व्युत्पन्न हैं, जैसे:

एफ ( ए , बी ) = एक × बी ;

Δ च = च _एक Δ एक + च _ख Δ ख ; डेरिवेटिव का मूल्यांकन

Δ एफ = बी Δ ए + ए Δ बी ; f से विभाजित करना , जो एक × b है

Δ च / च = Δ एक / एक + Δ ख / ख

यह कहना है, गुणा में, कुल सापेक्ष त्रुटि मापदंडों के सापेक्ष त्रुटियों का योग है।

इसे समझने के लिए कि यह कैसे समारोह माना जाता पर निर्भर करता है, इस मामले में जहां समारोह है पर विचार च ( एक , ख ) = एक ln ख बजाय। फिर, यह गणना की जा सकती है कि त्रुटि का अनुमान है

Δ च / च = Δ एक / एक + Δ ख / ( ख ln ख )

एक साधारण उत्पाद के मामले में एक अतिरिक्त ' ln b ' कारक नहीं मिला। यह अतिरिक्त कारक त्रुटि को छोटा बनाता है, क्योंकि ln b नंगे b जितना बड़ा नहीं है  ।

उच्च-क्रम के अंतर [ संपादित करें ]

किसी एकल चर x के किसी फ़ंक्शन y  =  f ( x ) के उच्च-क्रम के अंतर को इसके माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है: ^[8]

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},}$

और, सामान्य तौर पर,

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$

अनौपचारिक रूप से, यह उच्च-क्रम डेरिवेटिव के लिए लिबनीज की धारणा को प्रेरित करता है

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$

जब स्वतंत्र चर x को अन्य चर पर निर्भर करने की अनुमति दी जाती है, तो अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो जाती है, क्योंकि इसमें x में ही उच्चतर क्रम अंतर भी शामिल होना चाहिए । इस प्रकार, उदाहरण के लिए,

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}$

इत्यादि।

इसी तरह के विचार कई चर के कार्यों के उच्च क्रम के अंतर को परिभाषित करने के लिए लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि f दो चर x और y का कार्य है , तो

${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$

जहाँ एक द्विपद गुणांक है । अधिक चर में, एक अनुरूप अभिव्यक्ति होती है, लेकिन द्विपद विस्तार के बजाय एक उपयुक्त बहुराष्ट्रीय विस्तार के साथ । ^[९]${\textstyle {\binom {n}{k}}}$

कई चर में उच्चतर क्रम अंतर तब और जटिल हो जाता है जब स्वतंत्र चर स्वयं दूसरे चर पर निर्भर होने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, एक समारोह के लिए च के एक्स और वाई जो सहायक चर पर निर्भर करने की अनुमति है, एक है

${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$

इस उल्लेखनीय विशिष्टता के कारण, उच्च क्रम के अंतर के उपयोग की हदैमार्ड 1935 द्वारा काफी आलोचना की गई , जिसने निष्कर्ष निकाला:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$

एक मोन एविस, रीएन डू टाउट।

वह है: अंत में, क्या मतलब है, या समानता द्वारा प्रतिनिधित्व किया [...]? मेरी राय में, कुछ भी नहीं। इस संदेह के बावजूद, उच्चतर क्रम अंतर विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में उभरा। ^[१०]

इन संदर्भों में, एक वृद्धि is x पर लागू फ़ंक्शन च का n वें क्रम अंतर द्वारा परिभाषित किया गया है

${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$

या समकक्ष अभिव्यक्ति, जैसे कि

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$

जहां एक है n वें आगे अंतर के साथ वेतन वृद्धि टी Δ एक्स ।${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$

यह परिभाषा और भी समझ में आती है अगर f कई प्रकारों का एक फ़ंक्शन है (वेक्टर तर्क के रूप में यहां ली गई सरलता के लिए)। तब इस तरह से परिभाषित n वें अंतर वेक्टर वेतन वृद्धि । X में डिग्री n का एक सजातीय कार्य है । इसके अलावा, टेलर श्रृंखला की च पर बिंदु एक्स द्वारा दिया जाता है

${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$

उच्च क्रम गैटुओ व्युत्पन्न इन विचारों को अनंत आयामी स्थानों के लिए सामान्यीकृत करता है।

गुण [ संपादित करें ]

विभेदक के गुणों की संख्या व्युत्पन्न, आंशिक व्युत्पन्न और कुल व्युत्पन्न के संबंधित गुणों से एक सरल तरीके से अनुसरण करती है। इनमें शामिल हैं: ^[११]

• रैखिकता : स्थिरांक के लिए a और b और विभिन्न प्रकार के कार्य f और g ,

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$

• उत्पाद नियम : दो भिन्न कार्यों के लिए f और g ,

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$

इन दो गुणों के साथ एक ऑपरेशन d को सार बीजगणित में एक व्युत्पत्ति के रूप में जाना जाता है । वे पावर नियम का अर्थ करते हैं

${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$

इसके अलावा, चेन नियम के विभिन्न रूप सामान्यता के बढ़ते स्तर में हैं: ^[१२]

• यदि y  =  च ( यू ) अलग-अलग की एक विभेदक समारोह है यू और यू  =  जी ( एक्स ) के एक विभेदक समारोह है एक्स , तो

${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$

• यदि y = f ( x ₁ , ..., x _n ) और सभी चर  x ₁ , ...,  x _n किसी अन्य चर t पर निर्भर करते हैं  , तो आंशिक व्युत्पन्न के लिए श्रृंखला नियम से , एक है

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$

स्वाभाविक रूप से, कई चर के लिए श्रृंखला नियम को इस समीकरण के दोनों पक्षों को असीम रूप से छोटी मात्रा dt द्वारा विभाजित करके ही समझा जा सकता है ।

• अधिक सामान्य अनुरूप अभिव्यक्तियाँ होती हैं, जिसमें मध्यवर्ती चर x _i एक से अधिक चर पर निर्भर करता है।

सामान्य सूत्रीकरण [ संपादित करें ]

अंतर की एक सुसंगत धारणा एक फ़ंक्शन के लिए विकसित की जा सकती है f  : R ⁿ → R ^m दो यूक्लिडियन रिक्त स्थान के बीच । चलो एक्स , Δ एक्स  ∈  आर ^एन की एक जोड़ी हो इयूक्लिडियन वैक्टर । समारोह f में वृद्धि है

${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$

अगर वहाँ मौजूद है एक m  ×  n मैट्रिक्स ए ऐसा

${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

जिसमें वेक्टर ε  → 0 Δ के रूप में एक्स  → 0 है, तो च पर बिंदु परिभाषा विभेदक कर रहा है एक्स । मैट्रिक्स एक कभी कभी के रूप में जाना जाता है मैट्रिक्स Jacobian , और रैखिक परिवर्तन है कि वेतन वृद्धि Δ के सहयोगियों एक्स  ∈  आर ^एन वेक्टर एक Δ एक्स  ∈  आर ^मीटर है, यह सामान्य सेटिंग, अंतर के रूप में जाना में df ( एक्स ) की च बिंदु x पर । यह ठीक Fréchet व्युत्पन्न है, और एक ही निर्माण किसी भी Banach रिक्त स्थान के बीच एक समारोह के लिए काम करने के लिए बनाया जा सकता है ।

एक और फलदायी बात यह है कि अंतर को सीधे दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित करना है :

${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$

जो पहले से ही उच्च क्रम के अंतर को परिभाषित करने के लिए लिया गया है (और कॉची द्वारा निर्धारित परिभाषा के अनुसार सबसे अधिक है)। यदि t समय और x स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है , तो h एक विस्थापन के बजाय एक वेग का प्रतिनिधित्व करता है जैसा कि हमारे पास हेटोफोर माना जाता है। यह अंतर की धारणा का एक और परिशोधन करता है: कि यह एक गतिज वेग का रैखिक कार्य होना चाहिए। किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से सभी वेगों के सेट को स्पर्शरेखा स्थान के रूप में जाना जाता है , और इसलिए df स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक कार्य करता है: एक विभेदक रूप । इस व्याख्या के साथ, एफ के अंतर को बाहरी व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है, और विभेदक ज्यामिति में व्यापक अनुप्रयोग है क्योंकि वेग की धारणा और स्पर्शरेखा स्थान किसी भी अलग-अलग कई गुना पर समझ में आता है । यदि, इसके अतिरिक्त, f का आउटपुट मान भी एक स्थिति (एक यूक्लिडियन स्पेस में) का प्रतिनिधित्व करता है, तो एक आयामी विश्लेषण यह पुष्टि करता है कि df का आउटपुट मान एक वेग होना चाहिए। यदि कोई इस तरह से अंतर का इलाज करता है, तो इसे पुष्पक के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह एक स्रोत अंतरिक्ष से एक लक्ष्य अंतरिक्ष में वेग में "धक्का" देता है।

अन्य दृष्टिकोण [ संपादित करें ]

यद्यपि एक असीम वृद्धिशील dx होने की धारणा आधुनिक गणितीय विश्लेषण में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं की गई है , फिर भी विभिन्न प्रकार की तकनीकें असीम अंतर को परिभाषित करने के लिए मौजूद हैं ताकि एक फ़ंक्शन के अंतर को इस तरह से संभाला जा सके कि लिबनिज संकेतन के साथ टकराव न हो । इसमे शामिल है:

• विभेदक को एक प्रकार के विभेदक रूप के रूप में परिभाषित करना , विशेष रूप से किसी फ़ंक्शन का बाहरी व्युत्पन्न । फिर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में वैक्टर के साथ शिशु की वृद्धि की पहचान की जाती है । यह दृष्टिकोण विभेदक ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में लोकप्रिय है , क्योंकि यह आसानी से विभेदीकृत कई गुना के बीच मैपिंग को सामान्य करता है ।
• कम्यूटेटिव रिंगों के शून्यपोषी तत्वों के रूप में अंतर । यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है । ^[१३]
• सेट सिद्धांत के सुचारू मॉडल में अंतर। इस दृष्टिकोण को सिंथेटिक डिफरेंशियल ज्योमेट्री या स्मूथ इन्फिनिटिसिमल एनालिसिस के रूप में जाना जाता है और यह बीजीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, सिवाय इसके कि टोपोस सिद्धांत के विचारों का उपयोग उन तंत्रों को छिपाने के लिए किया जाता है जिनके द्वारा निपल्सेंट इनफिनिटिमल्स पेश किए जाते हैं। ^[१४]
• हाइपरल नम्बर सिस्टम में इनफिनिटिमल्स के रूप में अंतर , जो कि वास्तविक संख्याओं का विस्तार है, जिसमें इनवर्टेबल इन्फिनिटिमल्स और असीम रूप से बड़ी संख्याएँ होती हैं। यह अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा अग्रणी गैर-मानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है । ^[१५]

उदाहरण और अनुप्रयोग [ संपादित करें ]

विभेदकों को एक गणना में प्रयोगात्मक त्रुटियों के प्रसार का अध्ययन करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण में प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है , और इस तरह एक समस्या का समग्र संख्यात्मक स्थिरता ( कोर्टेंट 1937 ए )। मान लीजिए कि चर x प्रयोग के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है और y , x पर लागू संख्यात्मक गणना का परिणाम है । प्रश्न यह है कि x की माप में त्रुटियां किस हद तक y की गणना के परिणाम को प्रभावित करती हैं । यदि x अपने वास्तविक मान के to x के भीतर जाना जाता है , तो टेलर का प्रमेय त्रुटि Δ पर निम्नलिखित अनुमान देता हैy की गणना में y :

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$

जहां ξ = एक्स + θ Δ एक्स के लिए कुछ 0 < θ <1 । यदि is x छोटा है, तो दूसरा क्रम शब्द नगण्य है, इसलिए, y व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, डाई = f ' ( x ) । X द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है ।

विभेदक समीकरण को फिर से लिखने के लिए अंतर अक्सर उपयोगी होता है

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$

प्रपत्र में

${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$

विशेष रूप से जब कोई चरों को अलग करना चाहता है ।

नोट्स [ संपादित करें ]

सन्दर्भ [ संपादित करें ]

• बोयर, कार्ल बी (1959), कैलकुलस का इतिहास और इसके वैचारिक विकास , न्यूयॉर्क: डोवर प्रकाशन , एमआर  0124178।
• कॉची, ऑगस्टिन लुइस (1823), रिज्यूम des Leçons données à ल इकोले Royale पॉलीटेक्निक सुर लेस अनुप्रयोगों calcul अत्यल्प du , से संग्रहीत मूल 2009-05-04 पर , पुनः प्राप्त 2009-08-19।
• कोर्टेंट , रिचर्ड (1937 ए), डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस। Vol। मैं , विले क्लासिक्स लाइब्रेरी, न्यूयॉर्क: जॉन विली एंड संस (1988 प्रकाशित), आईएसबीएन 978-0-471-60842-4, एमआर  1009558।
• कोर्टेंट , रिचर्ड (1937 बी), डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस। Vol। II , विली क्लासिक्स लाइब्रेरी, न्यूयॉर्क: जॉन विली एंड संस (1988 प्रकाशित), आईएसबीएन 978-0-471-60840-0, एमआर  1009559।
• केंटन, रिचर्ड ; जॉन, फ्रिट्ज (1999), कैलकुलस एंड एनालिसिस वॉल्यूम 1 का परिचय , गणित, बर्लिन, न्यूयॉर्क में क्लासिक्स: स्प्रिंगर-वर्लाग , आईएसबीएन 3-540-65058-एक्स, एमआर  1746554
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बाहरी लिंक [ संपादित करें ]

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