शंकु खंड

में गणित , एक शांकव खंड (या बस शांकव ) एक है वक्र के चौराहे के रूप में प्राप्त की सतह एक के कोन एक साथ विमान । तीन प्रकार के शंकु खंड हैं अतिपरवलय , परवलय , और दीर्घवृत्त ; सर्कल अंडाकार का एक विशेष मामला है, हालांकि ऐतिहासिक रूप से यह कभी कभी एक चौथे प्रकार बुलाया गया था है। प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने शंक्वाकार वर्गों का अध्ययन किया, जो लगभग 200 ईसा पूर्व में पेर्गा के अपोलोनियस के उनके गुणों पर व्यवस्थित कार्य के साथ समाप्त हुआ ।

शंकु वर्गों के प्रकार:
१: वृत्त २: दीर्घवृत्त
३: परवलय ४: अतिपरवलय

शंकुओं की तालिका, साइक्लोपीडिया , 1728

यूक्लिडियन तल में शंकु वर्गों में विभिन्न विशिष्ट गुण होते हैं, जिनमें से कई को वैकल्पिक परिभाषाओं के रूप में उपयोग किया जा सकता है। ऐसा ही एक संपत्ति एक गैर परिपत्र शांकव को परिभाषित करता है ^[1] होने के लिए सेट जिसका कुछ खास बिंदु के लिए दूरी उन बिंदुओं, एक कहा जाता है की ध्यान केंद्रित है, और कुछ विशेष लाइन, एक बुलाया नियता , एक निश्चित अनुपात में हैं, कहा जाता सनक । शंकु का प्रकार विलक्षणता के मूल्य से निर्धारित होता है। में विश्लेषणात्मक ज्यामिति , एक शांकव एक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है विमान बीजीय वक्र डिग्री 2 की; अर्थात् , उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में जिनके निर्देशांक दो चरों में द्विघात समीकरण को संतुष्ट करते हैं , जिन्हें मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है । यह समीकरण शंकु वर्गों के ज्यामितीय गुणों को बीजगणितीय रूप से निकालने और व्यक्त करने की अनुमति देता है।

यूक्लिडियन तल में, तीन प्रकार के शंकु खंड काफी भिन्न दिखाई देते हैं, लेकिन कई गुण साझा करते हैं। अनंत पर एक रेखा को शामिल करने के लिए यूक्लिडियन विमान का विस्तार करने से, एक प्रक्षेपी विमान प्राप्त करने से , स्पष्ट अंतर गायब हो जाता है: हाइपरबोला की शाखाएं अनंत पर दो बिंदुओं में मिलती हैं, जिससे यह एक बंद वक्र बन जाता है; और एक परवलय के दो सिरे मिलते हैं, जिससे यह एक बंद वक्र बन जाता है जो अनंत पर रेखा की स्पर्शरेखा बनाता है। आगे का विस्तार, जटिल निर्देशांकों को स्वीकार करने के लिए वास्तविक निर्देशांक का विस्तार करके , इस एकीकरण को बीजगणितीय रूप से देखने का साधन प्रदान करता है।

यूक्लिडियन ज्यामिति

शंकु वर्गों का हजारों वर्षों से अध्ययन किया गया है और यूक्लिडियन ज्यामिति में दिलचस्प और सुंदर परिणामों का एक समृद्ध स्रोत प्रदान किया है ।

परिभाषा

रंगीन क्षेत्रों की काली सीमाएँ शंकु वर्ग हैं। हाइपरबोला का दूसरा आधा भाग नहीं दिखाया गया है, जो दोहरे शंकु के दूसरे आधे भाग पर है।

एक शंकु एक विमान के चौराहे के रूप में प्राप्त वक्र है , जिसे काटने वाला विमान कहा जाता है , जिसमें एक डबल शंकु (दो लंगोट वाला एक शंकु ) की सतह होती है । आमतौर पर यह माना जाता है कि शंकु आसान विवरण के उद्देश्य से एक सही गोलाकार शंकु है, लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं है; कुछ गोलाकार क्रॉस-सेक्शन वाला कोई भी डबल शंकु पर्याप्त होगा। शंकु के शीर्ष से गुजरने वाले तल शंकु को एक बिंदु, एक रेखा या प्रतिच्छेदी रेखाओं के एक जोड़े में काटेंगे। इन्हें अपक्षयी शांकव कहा जाता है और कुछ लेखक इन्हें शांकव बिल्कुल भी नहीं मानते हैं। जब तक अन्यथा न कहा गया हो, इस लेख में "शंकु" एक गैर-पतित शंकु को संदर्भित करेगा।

शंकु तीन प्रकार के होते हैं: दीर्घवृत्त , परवलय और अतिपरवलय । वृत्त हालांकि ऐतिहासिक रूप से अपोलोनियस एक चौथे प्रकार के रूप में माना जाता है, अंडाकार की एक विशेष प्रकार का है। दीर्घवृत्त तब उत्पन्न होते हैं जब शंकु और तल का प्रतिच्छेदन एक बंद वक्र होता है । सर्कल तब प्राप्त होता है जब कटिंग प्लेन शंकु के जेनरेटिंग सर्कल के प्लेन के समानांतर होता है; एक सही शंकु के लिए, इसका मतलब है कि काटने वाला विमान अक्ष के लंबवत है। यदि काटने का तल शंकु की एक उत्पन्न करने वाली रेखा के समानांतर है, तो शंकु असंबद्ध है और इसे परवलय कहा जाता है । शेष मामले में, आकृति एक अतिपरवलय है : विमान शंकु के दोनों हिस्सों को काटता है , जिससे दो अलग-अलग अनबाउंड वक्र बनते हैं।

विलक्षणता, फोकस और डायरेक्ट्रिक्स

दीर्घवृत्त ( ई = 1/2), परवलय ( ई = 1) और अतिपरवलय ( ई = 2) निश्चित फोकस एफ और डायरेक्ट्रिक्स ( ई = ) के साथ। लाल वृत्त ( e = 0) को संदर्भ के लिए शामिल किया गया है, इसमें समतल में कोई डायरेक्ट्रिक्स नहीं है।

वैकल्पिक रूप से, एक विमान ज्यामिति के मामले में पूरी तरह एक शांकव अनुभाग को परिभाषित कर सकते हैं: यह है ठिकाना सभी बिंदुओं का $पी$ जिसका दूरी एक निश्चित बिंदु करने के लिए $एफ$ (बुलाया फोकस ) एक निरंतर कई (कहा जाता है सनक $ई$ से दूरी की) $पी$ एक फिक्स्ड लाइन करने के लिए $एल$ (बुलाया नियता )। के लिए $0 < ई <1$ हम एक अंडाकार प्राप्त के लिए, $ई = 1$ , एक परवलय और के लिए $ई > 1$ एक अतिशयोक्ति।

एक सर्कल एक सीमित मामला है और यूक्लिडियन विमान में फोकस और डायरेक्ट्रिक्स द्वारा परिभाषित नहीं किया गया है। एक वृत्त की उत्केन्द्रता को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है और इसका फोकस वृत्त का केंद्र है, लेकिन इसकी दिशा को प्रक्षेप्य तल में अनंत पर रेखा के रूप में ही लिया जा सकता है। ^[2]

एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता को एक माप के रूप में देखा जा सकता है कि दीर्घवृत्त गोलाकार होने से कितनी दूर है। ^[३]^{: ८४४}

यदि शंकु की सतह और उसके अक्ष के बीच का कोण है $\बीटा$ और काटने वाले विमान और अक्ष के बीच का कोण है $\alpha ,$ विलक्षणता है ^[4] ${\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.$

एक सबूत है कि फोकस-डायरेक्ट्रिक्स संपत्ति द्वारा परिभाषित उपरोक्त वक्र वही हैं जो शंकु को छेड़छाड़ करने वाले विमानों द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, डैंडेलिन क्षेत्रों के उपयोग से सुगम होता है । ^[५]

शंकु पैरामीटर

दीर्घवृत्त के मामले में शंक्वाकार पैरामीटर

विलक्षणता ( ई ), फॉसी और डायरेक्ट्रिक्स के अलावा, विभिन्न ज्यामितीय विशेषताएं और लंबाई एक शंकु खंड से जुड़ी होती हैं।

मुख्य धुरी एक अंडाकार या अतिशयोक्ति की फोकी में शामिल होने लाइन है, और इसके मध्य की अवस्था का है केंद्र । एक परवलय का कोई केंद्र नहीं होता है।

रैखिक सनक ( $ग$ ) केंद्र और ध्यान देने के बीच की दूरी है।

Latus मलाशय है तार नियता और ध्यान देने के माध्यम से गुजर के समानांतर; इसकी आधी लंबाई सेमी-लैटस रेक्टम ( $ℓ$ ) है।

फोकल पैरामीटर ( $पी$ ) इसी नियता को ध्यान देने से दूरी है।

प्रमुख धुरी एक अंडाकार की सबसे लंबी तार, एक अतिशयोक्ति की शाखाओं के बीच सबसे कम तार: दो कोने के बीच तार है। इसकी आधी लंबाई अर्ध-प्रमुख अक्ष ( $a$ ) है। जब एक दीर्घवृत्त या अतिपरवलय नीचे दिए गए समीकरणों की तरह मानक स्थिति में होते हैं, $x-$ अक्ष पर फॉसी और मूल बिंदु पर केंद्र होता है, तो शंकु के शीर्षों में निर्देशांक $(- a, 0)$ और $(a, 0)$ होते हैं $।$ गैर-नकारात्मक।

गौण धुरी एक अंडाकार की कम से कम व्यास है, और इसकी आधी लंबाई (उप-गौण धुरी है $ख$ ), एक ही मूल्य $ख$ नीचे मानक समीकरण में के रूप में। सादृश्य से, हाइपरबोला के लिए हम मानक समीकरण में पैरामीटर $बी$ को अर्ध-लघु अक्ष भी कहते हैं।

निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं: ^[6]

$\ \ell=pe$
$\ c=ae$
$\ p+c={\frac {a}{e}}$

मानक स्थिति में शंकु के लिए, इन मापदंडों के निम्नलिखित मान हैं, ले रहे हैं $a,b>0$ .

शंकु खंड	समीकरण	विलक्षणता ( $ई$ )	रैखिक विलक्षणता ( $सी$ )	सेमी-लैटस रेक्टम ( $ℓ$ )	फोकल पैरामीटर ( $पी$ )
वृत्त	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$	${\डिस्प्लेस्टाइल 0\,}$	${\डिस्प्लेस्टाइल 0\,}$	${\डिस्प्लेस्टाइल ए\,}$	$\infty$
अंडाकार	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
परवलय	$y^{2}=4ax\,$	${\डिस्प्लेस्टाइल 1\,}$	एन/ए	$2a\,$	$2a\,$
अतिशयोक्ति	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

कार्टेशियन निर्देशांक में मानक रूप

एक दीर्घवृत्त के मानक रूप

एक परवलय के मानक रूप

अतिपरवलय के मानक रूप

कार्तीय निर्देशांकों को प्रस्तुत करने के बाद , फोकस-दिशा गुण का उपयोग शंकु खंड के बिंदुओं से संतुष्ट समीकरणों को उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। ^[७] निर्देशांकों के परिवर्तन ( कुल्हाड़ियों के रोटेशन और अनुवाद ) के माध्यम से इन समीकरणों को मानक रूपों में रखा जा सकता है । ^[८] दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के लिए एक मानक रूप में $x$ -अक्ष मुख्य अक्ष और मूल बिंदु (0,0) केंद्र के रूप में होता है। शीर्ष हैं $(\pm a, 0)$ और foci $(\pm c, 0)$ । एक दीर्घवृत्त के लिए $c$ $2$ $=$ $a$ $2$ $-$ $b$ $2$ समीकरणों द्वारा $b$ को परिभाषित करें और अतिपरवलय के लिए $c$ $2$ $=$ $a$ $2$ $+$ $b$ $2$ को परिभाषित करें । एक वृत्त के लिए, $c$ $= 0$ तो $a$ $2$ $=$ $b$ $2$ । परवलय के लिए, मानक रूप में बिंदु $($ $a$ $, 0)$ पर $x$ -अक्ष पर फ़ोकस होता है और समीकरण $x$ $= -$ $a$ वाली रेखा को निर्देशित $करता है$ । मानक रूप में परवलय हमेशा मूल से होकर गुजरेगा।

एक आयताकार या समबाहु अतिपरवलय के लिए , जिसके अनंतस्पर्शी लंबवत होते हैं, एक वैकल्पिक मानक रूप होता है जिसमें स्पर्शोन्मुख निर्देशांक अक्ष होते हैं और रेखा $x = y$ मुख्य अक्ष होती है। तब foci में निर्देशांक $(c, c)$ और $(- c, - c) होते हैं$ । ^[९]

वृत्त: $x 2 + y 2 = a 2$
अंडाकार: $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}एक्स 2/एक 2 + वाई 2/बी 2 = 1$
परवलय: $y 2 = 4 ax$ with $a > 0$
अतिपरवलय: $एक्स 2 / एक 2 - वाई 2 / बी 2 = 1$
आयताकार अतिपरवलय: ^[१०] $xy = सी 2 / 2$

इनमें से पहले चार रूप $x-$ अक्ष और $y-$ अक्ष (वृत्त, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के लिए), या केवल $x-$ अक्ष के बारे में (परवलय के लिए) सममित हैं । हालाँकि, आयताकार अतिपरवलय रेखाओं $y = x$ और $y = - x के प्रति$ सममित है ।

इन मानक रूपों को पैरामीट्रिक रूप से लिखा जा सकता है ,

सर्किल : $(एक क्योंकि θ, एक पाप θ)$ ,
दीर्घवृत्त : $(एक क्योंकि θ, ख पाप θ)$ ,
परवलय : $(पर 2, 2 पर)$ ,
अतिपरवलय : $(एक सेकंड θ, ख तन θ)$ या $(\pm एक सोंटा यू, ख सिंह यू)$ ,
आयताकार अतिपरवलय : $(dt,{\frac {d}{t}})$ कहां है $d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.$

सामान्य कार्टेशियन रूप

में कार्तीय निर्देशांक प्रणाली , ग्राफ एक की द्विघात समीकरण दो चरों में हमेशा एक शांकव खंड (हालांकि यह हो सकता है पतित ^[11] ), और सभी शांकव वर्गों को इस तरह से उत्पन्न होती हैं। सबसे सामान्य समीकरण ^{[12] के रूप का है}

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

सभी गुणांकों के साथ वास्तविक संख्याएँ और $A, B, C$ सभी शून्य नहीं।

मैट्रिक्स संकेतन

उपरोक्त समीकरण को मैट्रिक्स नोटेशन में ^{[13] के} रूप में लिखा जा सकता है

\बाएं({\शुरू{मैट्रिक्स}x&y\end{मैट्रिक्स}}\दाएं)\बाएं({\शुरू{मैट्रिक्स}A&B/2\\B/2&C\end{मैट्रिक्स}}\दाएं)\बाएं ({\ start {मैट्रिक्स} x \\ y \ end {मैट्रिक्स}} \ राइट) + \ लेफ्ट ({\ start {मैट्रिक्स} डी एंड ई \ एंड {मैट्रिक्स}} \ राइट) \ लेफ्ट ({\ start {मैट्रिक्स} x \\y\end{मैट्रिक्स}}\दाएं)+F=0.

सामान्य समीकरण को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

\बाएं({\शुरू{मैट्रिक्स}x&y&1\end{मैट्रिक्स}}\दाएं)\बाएं({\शुरू{मैट्रिक्स}ए&बी/2&डी/2\\बी/2&सी&ई/2\\D/2&E/2&F \end{मैट्रिक्स}}\दाएं)\बाएं({\शुरू{मैट्रिक्स}x\\y\\1\end{मैट्रिक्स}}\दाएं)=0.

यह प्रपत्र प्रक्षेपी ज्यामिति ( नीचे देखें ) की अधिक सामान्य सेटिंग में उपयोग किए जाने वाले सजातीय रूप की विशेषज्ञता है ।

विभेदक

इस समीकरण द्वारा वर्णित शंकु वर्गों को मान के संदर्भ में वर्गीकृत किया जा सकता है $बी^{2}-4AC$ , समीकरण का विवेचक कहा जाता है। ^[14] इस प्रकार, विभेदक है $- 4Δ$ जहां $Δ$ है मैट्रिक्स निर्धारक $\left|{\start{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.$

यदि शांकव गैर-पतित है , तो: ^[१५]

अगर बी ² -4 एसी < 0 , समीकरण एक अंडाकार का प्रतिनिधित्व करता है ;
- अगर $ए = सी$ और $बी = 0$ , समीकरण एक सर्कल का प्रतिनिधित्व करता है , जो एक अंडाकार का एक विशेष मामला है;
यदि $बी 2 - 4 एसी = 0$ , समीकरण एक परवलय का प्रतिनिधित्व करता है ;
यदि बी ² -4 एसी > 0 , समीकरण एक अतिपरवलय का प्रतिनिधित्व करता है ;
- यदि $A + C = 0 है$ , तो समीकरण एक आयताकार अतिपरवलय को निरूपित करता है ।

यहां इस्तेमाल किए गए अंकन में, $ए$ और $बी$ बहुपद गुणांक हैं, कुछ स्रोतों के विपरीत जो अर्ध-प्रमुख और अर्ध-अक्ष को $ए$ और $बी के$ रूप में दर्शाते हैं ।

अपरिवर्तनशीलताओं

विभेदक $बी 2 - 4 एसी$ शांकव खंड के द्विघात समीकरण के (या समतुल्य रूप निर्धारक $एसी - बी 2 /4$ 2 × 2 मैट्रिक्स के) और मात्रा $एक + सी$ ( ट्रेस 2 × 2 मैट्रिक्स के) अपरिवर्तनीय तहत कर रहे हैं निर्देशांक अक्षों के मनमाने घुमाव और अनुवाद, ^[१५]^[१६]^[१७] जैसा कि ऊपर ३ × ३ मैट्रिक्स का निर्धारक है । ^[१८]^{: पृ. ६०-६२} स्थिर पद $F$ और योग $D २ + E २$ केवल रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। ^[१८]^{: पीपी. ६०-६२}

गुणांक के संदर्भ में विलक्षणता

जब शंकु खंड को बीजगणितीय रूप में लिखा जाता है

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,

विलक्षणता को द्विघात समीकरण के गुणांकों के एक फलन के रूप में लिखा जा सकता है। ^[१९] यदि $४ एसी = बी २$ शंकु एक परवलय है और इसकी विलक्षणता १ के बराबर है (बशर्ते यह गैर-पतित हो)। अन्यथा, यह मानते हुए कि समीकरण या तो एक गैर-पतित अतिपरवलय या दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करता है, सनकीपन द्वारा दिया जाता है

e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(AC)^ {2}+बी^{2}}}}}},

जहां $= 1$ यदि उपरोक्त 3 × 3 मैट्रिक्स का सारणिक ऋणात्मक है और $= -1$ यदि वह सारणिक धनात्मक है।

यह भी दिखाया जा सकता है ^[१८]^{: पृ. 89} कि उत्केन्द्रता समीकरण का एक धनात्मक हल है

\Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,

फिर कहाँ $\Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.$ परवलय या दीर्घवृत्त के मामले में इसका एक सकारात्मक समाधान है- विलक्षणता- जबकि अतिपरवलय के मामले में इसके दो सकारात्मक समाधान होते हैं, जिनमें से एक विलक्षणता है।

विहित रूप में रूपांतरण

एक दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मामले में, समीकरण

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,

रूपांतरित चरों में विहित रूप में परिवर्तित किया जा सकता है $x',y'$ के रूप में ^[20]

{\frac {x'^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {y'^{2}} {-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,

या समकक्ष

{\frac {x'^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {y'^{2}}{-S/(\lambda _ {2}\डेल्टा )}}=1,

कहां है $\लैम्ब्डा _{1}$ तथा $\लैम्ब्डा _{2}$ मैट्रिक्स के eigenvalues हैं $\बाएं({\शुरू{मैट्रिक्स}A&B/2\\B/2&C\end{मैट्रिक्स}}\दाएं)$ - यानी, समीकरण के समाधान

\lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0

- तथा ${\डिस्प्लेस्टाइल एस}$ का निर्धारक है 3 × 3 मैट्रिक्स ऊपर , और $\डेल्टा =\लैम्ब्डा _{1}\लैम्ब्डा _{2}$ फिर से 2 × 2 मैट्रिक्स का निर्धारक है। एक दीर्घवृत्त के मामले में दो अर्ध-अक्षों के वर्ग विहित रूप में हरों द्वारा दिए गए हैं।

धुवीय निर्देशांक

शंक्वाकार खंड का विकास जैसे-जैसे विलक्षणता ई बढ़ती है

में ध्रुवीय निर्देशांक , पर मूल पर एक ध्यान और, यदि कोई हो, एक नकारात्मक मूल्य पर अन्य (एक अंडाकार के लिए) या एक सकारात्मक मूल्य (एक अति परवलय के लिए) के साथ एक शांकव खंड $एक्स$ अक्ष, समीकरण द्वारा दिया जाता है

r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},

जहां $ई$ विलक्षणता है और $एल$ अर्ध-लेटस रेक्टम है।

ऊपर के रूप में, $e = 0 के लिए$ , ग्राफ एक वृत्त है, $0 < e <1 के$ लिए ग्राफ एक दीर्घवृत्त है, $e = 1 के लिए$ एक परवलय, और $e > 1 के लिए$ एक अतिपरवलय है।

एक शंकु के समीकरण का ध्रुवीय रूप अक्सर गतिकी में प्रयोग किया जाता है ; उदाहरण के लिए, सूर्य के चारों ओर घूमने वाली वस्तुओं की कक्षाओं का निर्धारण करना। ^[21]

गुण

जैसे दो (अलग) बिंदु एक रेखा निर्धारित करते हैं, वैसे ही पांच बिंदु एक शंकु निर्धारित करते हैं । औपचारिक रूप से, सामान्य रेखीय स्थिति में समतल में किन्हीं पाँच बिंदुओं को देखते हुए , जिसका अर्थ है कि कोई तीन संरेख नहीं है , उनके बीच से गुजरने वाला एक अनूठा शंकु है, जो गैर-पतित होगा; यह यूक्लिडियन तल और उसके विस्तार, वास्तविक प्रक्षेपी तल, दोनों में सत्य है। वास्तव में, किन्हीं पांच बिंदुओं को देखते हुए उनके बीच से एक शंकु गुजर रहा है, लेकिन यदि तीन बिंदु संरेख हैं, तो शंकु पतित हो जाएगा (कम करने योग्य, क्योंकि इसमें एक रेखा होती है), और यह अद्वितीय नहीं हो सकता है; आगे की चर्चा देखें ।

सामान्य रेखीय स्थिति में समतल में चार बिंदु पहले तीन बिंदुओं से गुजरने वाले एक अद्वितीय शंकु को निर्धारित करते हैं और चौथा बिंदु इसके केंद्र के रूप में होता है। इस प्रकार केंद्र को जानना वक्र के निर्धारण के उद्देश्य से शंकु पर दो बिंदुओं को जानने के बराबर है। ^[22]

इसके अलावा, एक शंकु सामान्य स्थिति में k बिंदुओं के किसी भी संयोजन द्वारा निर्धारित किया जाता है जिससे यह गुजरता है और 5 - k रेखाएं जो इसके लिए स्पर्शरेखा हैं, 0≤ k 5 के लिए। ^[23]

समतल का कोई भी बिंदु एक शंकु की शून्य, एक या दो स्पर्श रेखाओं पर होता है। केवल एक स्पर्श रेखा पर एक बिंदु शांकव पर है। बिना स्पर्श रेखा पर एक बिंदु को शंकु का एक आंतरिक बिंदु (या आंतरिक बिंदु ) कहा जाता है , जबकि दो स्पर्श रेखाओं पर एक बिंदु एक बाहरी बिंदु (या बाहरी बिंदु ) होता है।

सभी शंकु खंड एक प्रतिबिंब गुण साझा करते हैं जिसे इस प्रकार कहा जा सकता है: एक गैर-पतित शंकु खंड के आकार में सभी दर्पण एक फोकस से आने वाले या दूसरे फोकस से दूर या दूर जाने वाले प्रकाश को प्रतिबिंबित करते हैं। परवलय के मामले में, दूसरे फोकस को असीम रूप से दूर माना जाना चाहिए, ताकि दूसरे फोकस की ओर जाने या आने वाली प्रकाश किरणें समानांतर हों। ^[24]^[25]

पास्कल का प्रमेय तीन बिंदुओं की संपार्श्विकता की चिंता करता है जो किसी भी गैर-पतित शंकु पर छह बिंदुओं के सेट से निर्मित होते हैं। प्रमेय भी दो पंक्तियों से युक्त पतित शंकुओं के लिए है, लेकिन उस स्थिति में इसे पप्पस के प्रमेय के रूप में जाना जाता है ।

गैर-पतित शंकु वर्ग हमेशा " चिकना " होते हैं। यह कई अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है, जैसे वायुगतिकी, जहां लामिना का प्रवाह सुनिश्चित करने और अशांति को रोकने के लिए एक चिकनी सतह की आवश्यकता होती है ।

इतिहास

मेनेचमुस और प्रारंभिक कार्य

ऐसा माना जाता है कि एक शंकु खंड की पहली परिभाषा मेनेचमुस (320 ईसा पूर्व में मृत्यु हो गई) ने डेलियन समस्या ( घन की नकल ) के अपने समाधान के हिस्से के रूप में दी थी । ^[२६]^[२७] उनका काम नहीं बचा, यहां तक कि इन वक्रों के लिए उन्होंने जिन नामों का इस्तेमाल किया, और केवल द्वितीयक खातों के माध्यम से जाना जाता है। ^[२८] उस समय इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा आज आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा से अलग है। शंकु का निर्माण उसके पैरों में से एक के बारे में एक समकोण त्रिभुज को घुमाकर किया गया था ताकि कर्ण शंकु की सतह को उत्पन्न करे (ऐसी रेखा को जेनेट्रिक्स कहा जाता है )। तीन प्रकार के शंकु उनके शीर्ष कोणों द्वारा निर्धारित किए गए थे (कर्ण द्वारा बनाए गए कोण के दोगुने और पैर को समकोण त्रिभुज में घुमाए जाने से मापा जाता है)। शंकु खंड तब इन शंकुओं में से एक को एक जेनरेट्रिक्स के लंबवत खींचे गए विमान के साथ काटकर निर्धारित किया गया था। शंकु का प्रकार शंकु के प्रकार से निर्धारित होता है, अर्थात शंकु के शीर्ष पर बने कोण द्वारा: यदि कोण न्यून है तो शंकु एक दीर्घवृत्त है; यदि कोण सही है तो शंकु एक परवलय है; और यदि कोण अधिक है तो शंकु एक अतिपरवलय है (लेकिन वक्र की केवल एक शाखा)। ^[29]

कहा जाता है कि यूक्लिड (फ्लोर 300 ईसा पूर्व) ने शांकवों पर चार किताबें लिखी थीं, लेकिन ये भी खो गई थीं। ^[30] आर्किमिडीज (मृत्यु हो गई सी। 212 ईसा पूर्व) का conics का अध्ययन किया है करने के लिए जाना जाता है एक परवलय और में एक तार से घिरा निर्धारित होने परवलय के वर्ग निकालना । उनकी मुख्य रुचि शंकुओं से संबंधित आंकड़ों के क्षेत्रों और मात्राओं को मापने के मामले में थी और इस काम का एक हिस्सा शंकुओं की क्रांति के ठोस, कॉनोइड्स और स्फेरॉइड्स पर उनकी पुस्तक में जीवित है । ^[31]

पेर्गा का अपोलोनियस

9वीं शताब्दी के अरबी अनुवाद में अपोलोनियस के कॉनिक्स से आरेख

प्राचीन यूनानियों द्वारा शंकुओं के अध्ययन में सबसे बड़ी प्रगति पेर्गा के एपोलोनियस (मृत्यु सी। 190 ईसा पूर्व) के कारण हुई है, जिसके आठ-खंड वाले कॉनिक सेक्शन या कॉनिक्स ने मौजूदा ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत किया और बहुत बढ़ाया। ^[३२] इन वक्रों के गुणों के एपोलोनियस के अध्ययन ने यह दिखाना संभव बना दिया कि कोई भी विमान एक निश्चित दोहरे शंकु (दो नुकीले) को काटता है, चाहे उसका कोण कुछ भी हो, पहले की परिभाषा के अनुसार एक शंकु का उत्पादन करेगा, जिससे आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा होगी। आज। पुराने तरीके से न बनने वाले वृत्त भी इस प्रकार प्राप्त होते हैं। इसका कारण यह हो सकता है कि अपोलोनियस ने सर्कल को चौथे प्रकार के शंकु खंड के रूप में क्यों माना, एक भेद जो अब नहीं बनाया गया है। अपोलोनियस ने इन वक्रों के लिए दीर्घवृत्त , परबोला और अतिपरवलय नामों का उपयोग किया , क्षेत्रों पर पहले पाइथागोरस के काम से शब्दावली उधार ली। ^[33]

अलेक्जेंड्रिया के पप्पस (मृत्यु सी। 350 सीई) को एक शंकु के फोकस की अवधारणा के महत्व पर व्याख्या करने और परबोला के मामले सहित एक डायरेक्ट्रिक्स की संबंधित अवधारणा का विवरण देने का श्रेय दिया जाता है (जिसमें अपोलोनियस के ज्ञात कार्यों में कमी है)। ^[34]

अल-कुहि

शंक्वाकार वर्गों को खींचने के लिए एक उपकरण का वर्णन पहली बार 1000 सीई में इस्लामी गणितज्ञ अल-कुही द्वारा किया गया था । ^[३५]^{: ३०}^[३६]

उमर खय्यामी

अपोलोनियस के काम का अरबी में अनुवाद किया गया था, और उनके अधिकांश काम केवल अरबी संस्करण के माध्यम से ही बचे हैं। फारसियों ने सिद्धांत के अनुप्रयोगों को पाया, विशेष रूप से फारसी ^[37] गणितज्ञ और कवि उमर खय्याम , जिन्होंने शंकु वर्गों का उपयोग करके घन समीकरणों को हल करने की एक ज्यामितीय विधि पाई । ^[38]^[39]

यूरोप

जोहान्स केप्लर ने " निरंतरता के सिद्धांत " के माध्यम से शंकु के सिद्धांत का विस्तार किया , जो सीमा की अवधारणा के अग्रदूत थे। केपलर पहले शब्द का प्रयोग किया फोकी में 1604 ^[40]

गिरार्ड डेसार्गेस और ब्लेज़ पास्कल ने प्रक्षेप्य ज्यामिति के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए शांकवों का एक सिद्धांत विकसित किया और इससे इस नए क्षेत्र के अध्ययन के लिए प्रोत्साहन प्रदान करने में मदद मिली। विशेष रूप से, पास्कल ने एक प्रमेय की खोज की जिसे हेक्साग्रामम मिस्टिकम के रूप में जाना जाता है, जिससे शंकु के कई अन्य गुण निकाले जा सकते हैं।

रेने डेसकार्टेस और पियरे फ़र्मेट दोनों ने शंकुओं के अध्ययन के लिए अपनी नई खोजी गई विश्लेषणात्मक ज्यामिति को लागू किया । इससे शंकुओं की ज्यामितीय समस्याओं को बीजगणित में समस्याओं तक कम करने का प्रभाव पड़ा। हालांकि, जॉन वालिस ने अपने 1655 के ग्रंथ ट्रैक्टैटस डी सेक्शनिबस कोनिसिस में पहली बार शंकु वर्गों को दूसरी डिग्री के समीकरणों के उदाहरणों के रूप में परिभाषित किया था। ^[41] लिखित पहले, लेकिन बाद में प्रकाशित किया, जनवरी डे विट के Elementa curvarum Linearum केपलर के साथ शुरू होता है विज्ञान सम्बन्धी conics के निर्माण और उसके बाद विकसित बीजीय समीकरणों। फ़र्मेट की कार्यप्रणाली और डेसकार्टेस के अंकन का उपयोग करने वाले इस काम को इस विषय पर पहली पाठ्यपुस्तक के रूप में वर्णित किया गया है। ^[४२] डी विट ने डायरेक्ट्रिक्स शब्द का आविष्कार किया । ^[42]

अनुप्रयोग

ठोस अनुवृत्त के आकार Archeocyathids रॉक चेहरों पर शांकव वर्गों का उत्पादन

खगोल विज्ञान में शंक्वाकार खंड महत्वपूर्ण हैं : न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार परस्पर क्रिया करने वाली दो विशाल वस्तुओं की कक्षाएँ शंक्वाकार खंड हैं यदि उनके द्रव्यमान के सामान्य केंद्र को आराम पर माना जाता है। यदि वे एक साथ बंधे हैं, तो वे दोनों दीर्घवृत्त का पता लगाएंगे; यदि वे अलग हो रहे हैं, तो वे दोनों परवलय या अतिपरवलय का अनुसरण करेंगे। दो-शरीर की समस्या देखें ।

शंकु वर्गों के परावर्तक गुणों का उपयोग सर्चलाइट, रेडियो-दूरबीन और कुछ ऑप्टिकल दूरबीनों के डिजाइन में किया जाता है। ^[४३] एक सर्चलाइट एक परवलयिक दर्पण का उपयोग परावर्तक के रूप में करता है, फोकस पर एक बल्ब के साथ; और इसी तरह के निर्माण का उपयोग परवलयिक माइक्रोफोन के लिए किया जाता है । कैनरी द्वीपों में ला पाल्मा पर 4.2 मीटर हर्शेल ऑप्टिकल टेलीस्कोप , एक माध्यमिक हाइपरबॉलिक दर्पण की ओर प्रकाश को प्रतिबिंबित करने के लिए प्राथमिक परवलयिक दर्पण का उपयोग करता है, जो इसे पहले दर्पण के पीछे एक फोकस के लिए फिर से दर्शाता है।

वास्तविक प्रक्षेप्य तल में

शंकु वर्गों में यूक्लिडियन तल में कुछ बहुत समान गुण होते हैं और इसके कारण स्पष्ट हो जाते हैं जब शंकुओं को एक बड़ी ज्यामिति के दृष्टिकोण से देखा जाता है। यूक्लिडियन विमान को वास्तविक प्रक्षेप्य तल में एम्बेड किया जा सकता है और शंकुओं को इस प्रक्षेपी ज्यामिति में वस्तुओं के रूप में माना जा सकता है। ऐसा करने का एक तरीका है सजातीय निर्देशांकों का परिचय देना और एक शंकु को उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित करना जिनके निर्देशांक तीन चरों (या समतुल्य रूप से, एक इरेड्यूसिबल द्विघात रूप के शून्य ) में एक इर्रेड्यूबल द्विघात समीकरण को संतुष्ट करते हैं । अधिक तकनीकी रूप से, बिंदुओं के समूह जो द्विघात रूप के शून्य होते हैं (किसी भी संख्या में चर में) को क्वाड्रिक कहा जाता है , और दो आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस (अर्थात तीन चर वाले) में इरेड्यूसिबल क्वाड्रिक्स को पारंपरिक रूप से शंकु कहा जाता है।

यूक्लिडियन समतल $R 2$ को वास्तविक प्रक्षेप्य तल में अनंत पर एक रेखा (और अनंत पर इसके संगत बिंदु ) से जोड़कर अंतःस्थापित किया जाता है ताकि एक समानांतर वर्ग की सभी रेखाएँ इस रेखा पर मिलें। दूसरी ओर, वास्तविक प्रक्षेप्य तल से शुरू करते हुए, एक यूक्लिडियन विमान किसी रेखा को अनंत पर रेखा के रूप में अलग करके और उसे और उसके सभी बिंदुओं को हटाकर प्राप्त किया जाता है।

अनंत पर चौराहा

किसी भी डिवीजन रिंग के ऊपर एक प्रोजेक्टिव स्पेस में, लेकिन विशेष रूप से या तो वास्तविक या जटिल संख्याओं पर, सभी गैर-पतित शंकु बराबर होते हैं, और इस प्रकार प्रोजेक्टिव ज्यामिति में कोई एक प्रकार निर्दिष्ट किए बिना "एक शंकु" की बात करता है। यही है, एक प्रक्षेपी परिवर्तन है जो किसी भी गैर-पतित शंकु को किसी अन्य गैर-पतित शंकु से मैप करेगा। ^[44]

तीन प्रकार के शंक्वाकार खंड अनंत पर रेखा होने के लिए प्रक्षेपी स्थान की एक रेखा को चुनकर प्राप्त किए गए एफ़िन विमान में फिर से प्रकट होंगे। तीन प्रकारों को तब निर्धारित किया जाता है कि अनंत पर यह रेखा शंकु को प्रक्षेप्य स्थान में कैसे काटती है। संबंधित एफ़िन स्पेस में, एक दीर्घवृत्त प्राप्त करता है यदि शंकु अनंत पर रेखा को नहीं काटता है, एक परवलय यदि शंकु अक्ष के अनुरूप एक दोहरे बिंदु में अनंत पर रेखा को काटता है, और एक हाइपरबोला यदि शंकु रेखा को पर काटता है स्पर्शोन्मुख के अनुरूप दो बिंदुओं में अनंत। ^[45]

सजातीय निर्देशांक

में सजातीय निर्देशांक एक शांकव खंड के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.

या मैट्रिक्स नोटेशन में

\left({\ start{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F \end{मैट्रिक्स}}\दाएं)\बाएं({\शुरू{मैट्रिक्स}x\\y\\z\end{मैट्रिक्स}}\दाएं)=0.

ऊपर दिए गए 3 × 3 मैट्रिक्स को शंकु खंड का मैट्रिक्स कहा जाता है ।

कुछ लेखक सामान्य सजातीय समीकरण को इस प्रकार लिखना पसंद करते हैं:

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,

(या इसका कुछ रूपांतर) ताकि शंकु खंड के मैट्रिक्स का सरल रूप हो,

M=\left({\ start{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),

लेकिन इस लेख में इस संकेतन का उपयोग नहीं किया गया है। ^[46]

यदि शंकु खंड के मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है, तो शंकु खंड पतित है ।

जैसा कि सभी छह गुणांकों को एक ही गैर-शून्य अदिश से गुणा करने पर शून्य के समान सेट के साथ एक समीकरण प्राप्त होता है, कोई व्यक्ति $(ए, बी, सी, डी, ई, एफ)$ द्वारा दर्शाए गए शंकुओं को पांच-आयामी प्रक्षेप्य में बिंदुओं के रूप में मान सकता है। अंतरिक्ष $\mathbf {पी} ^{5}.$

एक सर्कल की प्रोजेक्टिव परिभाषा

यूक्लिडियन ज्यामिति (लंबाई और कोणों को मापने से संबंधित अवधारणाएं) की मीट्रिक अवधारणाओं को वास्तविक प्रक्षेप्य विमान तक तुरंत विस्तारित नहीं किया जा सकता है। ^[४७] इस नई ज्यामिति में उन्हें फिर से परिभाषित (और सामान्यीकृत) किया जाना चाहिए। यह मनमाने ढंग से प्रक्षेपी विमानों के लिए किया जा सकता है , लेकिन वास्तविक प्रक्षेपी विमान को विस्तारित यूक्लिडियन विमान के रूप में प्राप्त करने के लिए, कुछ विशिष्ट विकल्प बनाने होंगे। ^[48]

प्रक्षेप्य तल में एक मनमानी रेखा को स्थिर करें जिसे निरपेक्ष रेखा कहा जाएगा । निरपेक्ष रेखा पर दो अलग-अलग बिंदुओं का चयन करें और उन्हें निरपेक्ष बिंदु के रूप में देखें । इन विकल्पों के संदर्भ में कई मीट्रिक अवधारणाओं को परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बिंदु $A$ और $B$ वाली एक रेखा दी गई है , रेखा खंड $AB$ के मध्य बिंदु को बिंदु $C के$ रूप में परिभाषित किया गया $है,$ जो $AB$ के प्रतिच्छेदन बिंदु और $A$ और $B के$ संबंध में निरपेक्ष रेखा का प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म है ।

एक प्रक्षेप्य तल में एक शंकु जिसमें दो निरपेक्ष बिंदु होते हैं, एक वृत्त कहलाता है । चूँकि पाँच बिंदु एक शंकु का निर्धारण करते हैं, एक वृत्त (जो पतित हो सकता है) तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। विस्तारित यूक्लिडियन विमान प्राप्त करने के लिए, निरपेक्ष रेखा को यूक्लिडियन विमान की अनंत पर रेखा के रूप में चुना जाता है और निरपेक्ष बिंदु उस रेखा पर दो विशेष बिंदु होते हैं जिन्हें अनंत पर वृत्ताकार बिंदु कहा जाता है । वास्तविक निर्देशांक वाले दो बिंदुओं वाली रेखाएं अनंत पर वृत्ताकार बिंदुओं से नहीं गुजरती हैं, इसलिए यूक्लिडियन तल में एक वृत्त, इस परिभाषा के तहत, तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है जो संरेख नहीं हैं । ^[४९]^{: ७२}

यह उल्लेख किया गया है कि यूक्लिडियन विमान में सर्कल को फोकस-डायरेक्ट्रिक्स संपत्ति द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। हालांकि, अगर कोई अनंत पर रेखा को डायरेक्ट्रिक्स के रूप में मानता है, तो ईकेंट्रिकिटी को $ई = 0$ मानकर एक सर्कल में फोकस-डायरेक्ट्रिक्स संपत्ति होगी, लेकिन यह अभी भी उस संपत्ति से परिभाषित नहीं है। ^[५०] इस स्थिति में सनकीपन की परिभाषा का सही ढंग से उपयोग करने के लिए सावधान रहना चाहिए क्योंकि सर्कल पर एक बिंदु की दूरी के फोकस (त्रिज्या की लंबाई) से उस बिंदु की दूरी से डायरेक्ट्रिक्स (यह दूरी) के अनुपात के रूप में उपयोग किया जाता है। अनंत है) जो शून्य का सीमित मान देता है।

स्टेनर की प्रक्षेपी शंकु परिभाषा

एक शंकु खंड की स्टीनर पीढ़ी की परिभाषा

एक प्रक्षेप्य तल में शंकु वर्गों को परिभाषित करने के लिए एक सिंथेटिक (समन्वय-मुक्त) दृष्टिकोण जैकब स्टेनर द्वारा १८६७ में दिया गया था।

दो पेंसिलें दीं $बी(यू),बी(वी)$ दो बिंदुओं पर रेखाओं का of $यू,वी$ (सभी पंक्तियाँ युक्त ${\डिस्प्लेस्टाइल यू}$ तथा ${\डिस्प्लेस्टाइल वी}$ सम्मान।) और एक प्रक्षेप्य लेकिन परिप्रेक्ष्य मानचित्रण नहीं ${\डिस्प्लेस्टाइल \pi }$ का $बी(यू)$ पर $बी(वी)$ . फिर संगत रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु एक गैर-अपक्षयी प्रक्षेप्य शंकु खंड बनाते हैं। ^[५१]^[५२]^[५३]^[५४]

एक परिप्रेक्ष्य मानचित्रण ${\डिस्प्लेस्टाइल \pi }$ एक पेंसिल का $बी(यू)$ एक पेंसिल पर $बी(वी)$ एक द्विभाजन (1-1 पत्राचार) है जैसे कि संबंधित रेखाएं एक निश्चित रेखा पर प्रतिच्छेद करती हैं ${\डिस्प्लेस्टाइल ए}$ , जिसे परिप्रेक्ष्य की धुरी कहा जाता है ${\डिस्प्लेस्टाइल \pi }$ .

एक प्रक्षेपीय मानचित्रण परिप्रेक्ष्य मैपिंग के एक परिमित अनुक्रम है।

एक क्षेत्र ( पैपियन प्लेन ) के ऊपर एक प्रोजेक्टिव प्लेन में प्रोजेक्टिव मैपिंग के रूप में दो बिंदुओं के अलावा, एक कॉनिक सेक्शन के स्टेनर जेनरेशन के लिए तीन लाइनों, ^[५५] की छवियों को निर्धारित करके विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। $यू,वी$ केवल 3 पंक्तियों के चित्र दिए जाने हैं। ये 5 आइटम (2 अंक, 3 पंक्तियाँ) विशिष्ट रूप से शंकु खंड का निर्धारण करते हैं।

रेखा शंकु

तक द्वंद्व का सिद्धांत एक प्रक्षेपीय विमान में, प्रत्येक बिंदु की दोहरी एक लाइन है, और अंक की एक ठिकाना (कुछ हालत संतोषजनक अंक का एक सेट) के दोहरे एक कहा जाता है लिफाफा लाइनों की। दो संबंधित पेंसिलों की संगत किरणों के मिलन के रूप में एक शंकु की स्टेनर की परिभाषा (बिंदुओं के इस स्थान को अब एक बिंदु शंकु के रूप में संदर्भित किया जाएगा ) का उपयोग करते हुए, इसके संबंधित बिंदुओं के जोड़ों से मिलकर संबंधित लिफाफे को दोहराना और प्राप्त करना आसान है अलग-अलग आधारों पर दो संबंधित श्रेणियां (एक रेखा पर बिंदु) (वे बिंदु जिस पर हैं)। ऐसे लिफाफे को रेखा शंकु (या द्विशंकु ) कहा जाता है ।

वास्तविक प्रक्षेप्य तल में, एक बिंदु शंकु में यह गुण होता है कि प्रत्येक रेखा दो बिंदुओं में मिलती है (जो संयोग हो सकता है, या जटिल हो सकता है) और इस संपत्ति के साथ बिंदुओं का कोई भी सेट एक बिंदु शंकु है। यह दोहरे रूप से अनुसरण करता है कि एक रेखा शंकु की प्रत्येक बिंदु से दो रेखाएँ होती हैं और इस संपत्ति के साथ रेखाओं का कोई भी लिफाफा एक रेखा शंकु होता है। एक बिंदु शंकु के प्रत्येक बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्श रेखा होती है, और दोहरी रूप से, एक रेखा शंकु की प्रत्येक रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु होता है जिसे संपर्क बिंदु कहा जाता है । एक महत्वपूर्ण प्रमेय में कहा गया है कि एक बिंदु शंकु की स्पर्शरेखा रेखाएं एक रेखा शंकु बनाती हैं, और दोहरी रूप से, एक रेखा शंकु के संपर्क बिंदु एक बिंदु शंकु बनाते हैं। ^[५६]^{: ४८-४९}

वॉन स्टॉड की परिभाषा

कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टॉड्ट ने एक शंकु को एक ध्रुवता के सभी निरपेक्ष बिंदुओं द्वारा दिए गए बिंदु के रूप में परिभाषित किया है जिसमें निरपेक्ष बिंदु हैं। वॉन स्टॉड्ट ने इस परिभाषा को जियोमेट्री डेर लेज (1847) में प्रक्षेपित ज्यामिति से सभी मीट्रिक अवधारणाओं को हटाने के अपने प्रयास के हिस्से के रूप में पेश किया।

एक ध्रुवता , $π$ , एक प्रक्षेपीय विमान, के $पी$ , एक involutory (यानी, आदेश दो की) है द्विभाजन अंक और की लाइनों के बीच $पी$ कि बरकरार रखता है घटना के संबंध । इस प्रकार, एक polarity एक बिंदु से संबंधित $प्रश्न$ एक लाइन के साथ $क्यू$ और, निम्नलिखित Gergonne , $क्ष$ कहा जाता है ध्रुवीय की $क्यू$ और $क्यू$ ध्रुव की $क्ष$ । ^[५७] एक ध्रुवता का एक निरपेक्ष बिंदु ( रेखा ) वह होता है जो अपने ध्रुवीय (ध्रुव) के साथ आपतित होता है। ^[58]

वास्तविक प्रक्षेप्य तल में एक वॉन स्टौड शंक्वाकार एक स्टेनर शंकु के बराबर है । ^[59]

कंस्ट्रक्शन

स्ट्रेटेज और कंपास के साथ एक शंकु के निरंतर चाप का निर्माण नहीं किया जा सकता है। हालांकि, चाप पर किसी भी संख्या में व्यक्तिगत बिंदुओं के लिए कई सीधा-और-कम्पास निर्माण होते हैं।

उनमें से एक पास्कल के प्रमेय के विलोम पर आधारित है, अर्थात्, यदि एक षट्भुज के विपरीत पक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु संरेख हैं, तो छह शीर्ष एक शंकु पर स्थित होते हैं। विशेष रूप से, पांच अंक, यह देखते हुए $एक, बी, सी, डी, ई$ और एक लाइन के माध्यम से गुजर $ई$ , कहते हैं कि $ईजी$ , एक बिंदु $एफ$ है कि इस लाइन पर झूठ और शांकव में पांच अंकों की निर्धारित पर है का निर्माण किया जा सकता है। चलो $एबी$ मिलने $डे$ में $एल$ , $बी सी$ मिलने $ईजी$ में $एम$ और जाने $सीडी$ मिलने $एलएम$ में $एन$ । तब $AN$ आवश्यक बिंदु $F$ पर $EG$ से मिलता है । ^[६०]^:^{५२-५३} $ई के$ माध्यम से रेखा को बदलकर , शंकु पर जितने चाहें उतने अतिरिक्त बिंदुओं का निर्माण किया जा सकता है।

एक दीर्घवृत्त के निर्माण के लिए समांतर चतुर्भुज विधि

स्टेनर के निर्माण पर आधारित एक अन्य विधि और जो इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में उपयोगी है, समांतर चतुर्भुज विधि है , जहां एक क्षैतिज रेखा और एक लंबवत रेखा पर कुछ समान दूरी वाले बिंदुओं को जोड़ने के माध्यम से बिंदु द्वारा एक शंकु का निर्माण किया जाता है। ^[६१] विशेष रूप से, समीकरण के साथ दीर्घवृत्त का निर्माण करने के लिए $एक्स 2 / एक 2 + वाई 2 / बी 2 = 1$ , पहले $शीर्ष$ $A$ $($ $a$ $, 0) ,$ $B$ $($ $a$ $, 2$ $b$ $),$ $C$ $(-$ $a$ $, 2$ $b$ $)$ और $D$ $(-$ $a$ $, 0) के$ साथ आयत $ABCD की$ रचना करें । भुजा $BC$ को $n$ समान खंडों में विभाजित करें और विकर्ण $AC के$ संबंध में समानांतर प्रक्षेपण का उपयोग करके $AB$ भुजा पर समान खंड $बनाएं$ (इन खंडों की लंबाई होगी $ख / ए$ $BC$ पर खंडों की लंबाई का गुणा )। $बीसी$ की तरफ $ए 1$ से $ए एन के$ साथ $बी$ से शुरू होने वाले और $सी की$ ओर जाने वाले खंडों के बाएं हाथ के अंत बिंदुओं को लेबल करें । किनारे $AB$ पर $A$ से शुरू होकर $B की$ ओर जाने वाले ऊपरी अंतिम बिंदुओं $D 1$ से $D n$ को लेबल करें । चौराहे के अंक, $ए.ए.$ $मैं$ $\cap$ $डीडी$ $मैं$ के लिए $1 \leq$ $मैं$ $\leq$ $n$ के बीच दीर्घवृत्त का अंक हो जाएगा $एक$ और $पी$ $(0,$ $ख$ $)$ । लेबलिंग पेंसिल की रेखाओं को $A के$ माध्यम से पेंसिल की रेखाओं के साथ $D से$ प्रक्षेपित रूप से जोड़ती है लेकिन परिप्रेक्ष्य में नहीं। इस निर्माण द्वारा शंकु की मांग प्राप्त की जाती है क्योंकि तीन बिंदु $ए$ $,$ $डी$ और $पी$ और दो स्पर्शरेखाएं ( $ए$ और $डी$ पर लंबवत रेखाएं ) विशिष्ट रूप से शंकु को निर्धारित करती हैं। यदि दीर्घवृत्त के बड़े और छोटे अक्षों के स्थान पर किसी अन्य व्यास (और उसके संयुग्मी व्यास) का उपयोग किया जाता है, तो निर्माण में एक समांतर चतुर्भुज का उपयोग किया जाता है, जो आयत नहीं है, विधि का नाम देता है। दीर्घवृत्त पर अन्य बिंदु प्राप्त करने के लिए पेंसिल की रेखाओं के जुड़ाव को बढ़ाया जा सकता है। अतिपरवलय ^[६२] और परवलय ^{[६३] के} लिए निर्माण समान हैं।

फिर भी एक अन्य सामान्य विधि एक शंकु (एक रेखा शंकु) के स्पर्शरेखा लिफाफे के निर्माण के लिए ध्रुवीयता संपत्ति का उपयोग करती है। ^[64]

जटिल प्रक्षेप्य तल में

जटिल विमान C ^{2 में} , दीर्घवृत्त और अतिपरवलय भिन्न नहीं हैं: कोई अतिपरवलय को एक काल्पनिक अक्ष लंबाई के साथ एक दीर्घवृत्त के रूप में मान सकता है। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ प्रतिस्थापन के तहत अतिपरवलय बन जाता है $y=iw,$ ज्यामितीय रूप से एक जटिल घूर्णन, उपज देने वाला $x^{2}-w^{2}=1$ . इस प्रकार दो-तरफा वर्गीकरण है: अंडाकार/हाइपरबोला और परबोला। वक्रों को जटिल प्रक्षेप्य तल तक विस्तारित करना, यह रेखा को अनंत पर 2 अलग-अलग बिंदुओं (दो स्पर्शोन्मुख के अनुरूप) या 1 दोहरे बिंदु (एक परवलय की धुरी के अनुरूप) में प्रतिच्छेद करने से मेल खाती है; इस प्रकार वास्तविक अतिपरवलय जटिल दीर्घवृत्त/हाइपरबोला के लिए एक अधिक विचारोत्तेजक वास्तविक छवि है, क्योंकि इसमें अनंत पर रेखा के साथ 2 (वास्तविक) प्रतिच्छेदन भी हैं।

आगे एकीकरण जटिल प्रक्षेपी विमान सीपी ^{2 में होता है} : गैर-पतित शंकुओं को एक दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी प्रक्षेपी रैखिक परिवर्तन द्वारा किसी अन्य को ले जाया जा सकता है ।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि CP ^{2 में} , दो शंकु वर्गों में चार बिंदु समान हैं (यदि एक बहुलता के लिए खाता है ), तो 1 और 4 प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच हैं । प्रतिच्छेदन संभावनाएं हैं: चार अलग-अलग बिंदु, दो एकवचन बिंदु और एक दोहरा बिंदु, दो दोहरे बिंदु, एक विलक्षण बिंदु और एक गुणन के साथ 3, एक बिंदु बहुलता के साथ 4. यदि किसी चौराहे बिंदु में बहुलता> 1 है, तो दो वक्र कहा जाता है स्पर्शरेखा होना । यदि बहुलता का प्रतिच्छेदन बिंदु कम से कम 3 हो, तो दो वक्रों को दोलन कहा जाता है । यदि केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु है, जिसकी बहुलता 4 है, तो दो वक्रों को सुपरऑस्कुलेटिंग कहा जाता है । ^[65]

इसके अलावा, प्रत्येक सीधी रेखा प्रत्येक शंकु खंड को दो बार काटती है। यदि प्रतिच्छेदन बिंदु दुगना है, तो रेखा एक स्पर्श रेखा है । रेखा के साथ अनंत पर प्रतिच्छेद करते हुए, प्रत्येक शंकु खंड में अनंत पर दो बिंदु होते हैं। यदि ये बिंदु वास्तविक हैं, तो वक्र एक अतिपरवलय है ; यदि वे काल्पनिक संयुग्म हैं, तो यह एक दीर्घवृत्त है ; यदि केवल एक दोहरा बिंदु है, तो यह एक परवलय है । यदि अनंत पर स्थित बिंदु चक्रीय बिंदु $(1, i, 0)$ और $(1, - i, 0) हैं$ , तो शंकु खंड एक वृत्त है । यदि एक शंकु खंड के गुणांक वास्तविक हैं, तो अनंत पर बिंदु या तो वास्तविक या जटिल संयुग्म हैं ।

पतित मामले

एक शंकु के अपक्षयी मामले के रूप में क्या माना जाना चाहिए, यह इस्तेमाल की जा रही परिभाषा और शंकु खंड के लिए ज्यामितीय सेटिंग पर निर्भर करता है। कुछ लेखक ऐसे हैं जो एक शंकु को द्वि-आयामी नॉनडिजेनरेट क्वाड्रिक के रूप में परिभाषित करते हैं। इस शब्दावली के साथ कोई पतित शंकु (केवल पतित क्वाड्रिक्स) नहीं हैं, लेकिन हम अधिक पारंपरिक शब्दावली का उपयोग करेंगे और उस परिभाषा से बचेंगे।

यूक्लिडियन तल में, ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करते हुए, एक अपक्षयी मामला तब उत्पन्न होता है जब काटने वाला विमान शंकु के शीर्ष से होकर गुजरता है । पतित शंकु या तो है: एक बिंदु , जब विमान केवल शीर्ष पर शंकु को काटता है; एक सीधी रेखा , जब विमान शंकु के स्पर्शरेखा होता है (इसमें शंकु का ठीक एक जनरेटर होता है); या प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक जोड़ा (शंकु के दो जनक)। ^[६६] ये क्रमशः दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय के सीमित रूपों के अनुरूप हैं।

यदि यूक्लिडियन तल में एक शंकु को द्विघात समीकरण (अर्थात, एक चतुर्भुज के रूप में) के शून्य द्वारा परिभाषित किया जा रहा है, तो पतित शंकु हैं: खाली सेट , एक बिंदु, या रेखाओं की एक जोड़ी जो समानांतर हो सकती है, प्रतिच्छेद कर सकती है एक बिंदु पर, या संयोग। खाली सेट केस या तो जटिल संयुग्म समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी के अनुरूप हो सकता है जैसे कि समीकरण के साथ $x^{2}+1=0,$ या एक काल्पनिक दीर्घवृत्त के लिए , जैसे कि समीकरण के साथ $x^{2}+y^{2}+1=0.$ एक काल्पनिक दीर्घवृत्त एक अध: पतन की सामान्य परिभाषा को संतुष्ट नहीं करता है , और इस प्रकार इसे सामान्य रूप से पतित नहीं माना जाता है। ^[६७] दो रेखाओं का मामला तब होता है जब द्विघात व्यंजक दो रैखिक गुणनखंडों, प्रत्येक के शून्य से एक रेखा देता है। इस मामले में कि कारक समान हैं, संबंधित रेखाएं मेल खाती हैं और हम रेखा को एक दोहरी रेखा ( बहुलता 2 के साथ एक रेखा ) के रूप में संदर्भित करते हैं और यह स्पर्शरेखा काटने वाले विमान का पिछला मामला है।

वास्तविक प्रक्षेप्य तल में, चूँकि समानांतर रेखाएँ रेखा पर अनंत पर एक बिंदु पर मिलती हैं, यूक्लिडियन विमान के समानांतर रेखा मामले को प्रतिच्छेदन रेखाओं के रूप में देखा जा सकता है। हालांकि, चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु शंकु का शीर्ष है, शंकु स्वयं एक बेलन में बदल जाता है , अर्थात अनंत पर शीर्ष के साथ। इस मामले में अन्य वर्गों को बेलनाकार खंड कहा जाता है । ^[६८] गैर-पतित बेलनाकार खंड दीर्घवृत्त (या वृत्त) हैं।

जब जटिल प्रक्षेप्य तल के परिप्रेक्ष्य से देखा जाता है, तो वास्तविक क्वाड्रिक (अर्थात, द्विघात समीकरण में वास्तविक गुणांक होते हैं) के पतित मामलों को संभवतः मेल खाने वाली रेखाओं की एक जोड़ी के रूप में माना जा सकता है। खाली सेट अनंत पर एक दोहरी रेखा के रूप में मानी जाने वाली रेखा हो सकती है, एक (वास्तविक) बिंदु दो जटिल संयुग्म रेखाओं का प्रतिच्छेदन है और अन्य मामले जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है।

मैट्रिक्स संकेतन का उपयोग करते हुए गैर-अपक्षयी मामलों (बाद वाले के साथ खाली सेट सहित) से पतित मामलों को अलग करने के लिए, $β$ को शंकु खंड के 3 × 3 मैट्रिक्स का निर्धारक होने दें-अर्थात, $β = (एसी - बी २ / 4) एफ + बिस्तर - सीडी 2 - एई 2 / 4$ ; और $मान$ लीजिए कि $α$ $=$ $B$ $2$ $- 4$ $AC$ विभेदक है। तब शंकु खंड गैर-पतित होता है यदि और केवल यदि $β 0$ । अगर $β = 0$ हमारे पास एक बिंदु है जब $α < 0$ , दो समानांतर रेखाएं (संभवतः मेल खाती हैं) जब $α = 0$ , या दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएं $α > 0 होती हैं$ । ^[69]

शंकु की पेंसिल

A (नॉन-डिजेनरेट) कॉनिक एक समतल में सामान्य स्थिति (कोई तीन संरेख नहीं ) में पांच बिंदुओं द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है और शंकुओं की प्रणाली जो चार बिंदुओं के एक निश्चित सेट (फिर से एक विमान में और कोई तीन संरेख नहीं) से गुजरती है, कहलाती है शंकु की एक पेंसिल । ^[७०]^:^६४ चार उभयनिष्ठ बिंदुओं को पेंसिल का आधार बिंदु कहा जाता है । आधार बिंदु के अलावा किसी भी बिंदु के माध्यम से, पेंसिल का एक ही शंकु गुजरता है। यह अवधारणा हलकों की एक पेंसिल को सामान्यीकृत करती है । ^[71]^:¹²⁷

दो शांकवों को प्रतिच्छेद करना

दो चरों में दो सेकंड डिग्री समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान को दो सामान्य शंकु वर्गों के चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से दो शांकवों में कोई नहीं हो सकता है, दो या चार संभवत: संपाती प्रतिच्छेदन बिंदु। इन समाधानों का पता लगाने की एक कुशल विधि शंकु वर्गों के सजातीय मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का शोषण करती है , अर्थात एक 3 × 3 सममित मैट्रिक्स जो छह मापदंडों पर निर्भर करता है।

प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाने की प्रक्रिया इन चरणों का अनुसरण करती है, जहां शंकु को आव्यूहों द्वारा दर्शाया जाता है: ^[72]

दो शांकव दिए गए $C_{1}$ तथा ${\डिस्प्लेस्टाइल सी_{2}}$ , उनके रैखिक संयोजन द्वारा दिए गए शंकुओं की पेंसिल पर विचार करें $\lambda C_{1}+\mu C_{2}.$
सजातीय मापदंडों की पहचान करें $(\lambda ,\mu )$ जो पेंसिल के पतित शंकु के अनुरूप है। यह शर्त लगाकर किया जा सकता है कि $\det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0$ और हल करने के लिए $\लैम्ब्डा$ तथा ${\डिस्प्लेस्टाइल \mu }$ . ये थर्ड डिग्री समीकरण के हल निकलते हैं।
पतित शांकव दिया गया ${\डिस्प्लेस्टाइल सी_{0}}$ , दो, संभवत: संपाती, इसे बनाने वाली रेखाओं की पहचान करें।
प्रत्येक पहचानी गई रेखा को दो मूल शांकवों में से किसी एक के साथ प्रतिच्छेद करें; इस चरण को के दोहरे शंक्वाकार निरूपण का उपयोग करके कुशलतापूर्वक किया जा सकता है ${\डिस्प्लेस्टाइल सी_{0}}$
चौराहे के बिंदु प्रारंभिक समीकरण प्रणाली के समाधान का प्रतिनिधित्व करेंगे।

सामान्यीकरण

कॉनिक्स को अन्य क्षेत्रों में परिभाषित किया जा सकता है (अर्थात अन्य पैपियन ज्यामिति में )। हालांकि, फ़ील्ड में विशेषता 2 होने पर कुछ सावधानी बरती जानी चाहिए , क्योंकि कुछ सूत्रों का उपयोग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर उपयोग किए गए मैट्रिक्स अभ्यावेदन को 2 से विभाजन की आवश्यकता होती है।

एक प्रक्षेपी तल में एक गैर-पतित शंकु का सामान्यीकरण एक अंडाकार होता है । अंडाकार एक बिंदु सेट होता है जिसमें निम्नलिखित गुण होते हैं, जो शंकुओं द्वारा धारण किए जाते हैं: 1) कोई भी रेखा अंडाकार को किसी में नहीं काटती है, एक या दो बिंदु, 2) अंडाकार के किसी भी बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्शरेखा रेखा मौजूद होती है।

शंकु के फोकस गुणों को उस मामले में सामान्यीकृत करना जहां दो से अधिक फॉसी उत्पन्न होते हैं जिन्हें सामान्यीकृत शंकु कहा जाता है ।

गणित के अन्य क्षेत्रों में

अण्डाकार, परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण में वर्गीकरण गणित में व्यापक है, और अक्सर एक क्षेत्र को तेजी से अलग उपक्षेत्रों में विभाजित करता है। वर्गीकरण ज्यादातर एक द्विघात प्रपत्र की उपस्थिति (दो चर संबद्ध करने के लिए इस मेल खाती में के कारण उत्पन्न होती विभेदक ), लेकिन यह भी सनक के अनुरूप कर सकते हैं।

द्विघात रूप वर्गीकरण:

द्विघात रूप

वास्तविक पर द्विघात रूपों को सिल्वेस्टर के जड़ता के नियम द्वारा वर्गीकृत किया जाता है , अर्थात् उनके सकारात्मक सूचकांक, शून्य सूचकांक और नकारात्मक सूचकांक द्वारा: n चर में एक द्विघात रूप को एक विकर्ण रूप में परिवर्तित किया जा सकता है , जैसा कि

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+ \ell }^{2},

जहां +1 गुणांक, की संख्या कश्मीर, सकारात्मक सूचकांक -1 गुणांक, की संख्या है ℓ , नकारात्मक सूचकांक है, और शेष चर शून्य सूचकांक हैं मी, तो

k+\ell +m=n.

गैर-शून्य द्विघात रूपों को दो चरों में वर्गीकृत किया गया है:

$x^{2}+y^{2}$ - सकारात्मक-निश्चित (नकारात्मक भी शामिल है), दीर्घवृत्त के अनुरूप,
$x^{2}$ - पतित, परवलय के अनुरूप, और
$x^{2}-y^{2}$ - अनिश्चित, अतिपरवलय के अनुरूप।

दो चरों में द्विघात रूपों को विवेचक द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, समान रूप से शंकु के रूप में, लेकिन उच्च आयामों में अधिक उपयोगी वर्गीकरण निश्चित, (सभी सकारात्मक या सभी नकारात्मक), पतित, (कुछ शून्य), या अनिश्चित (सकारात्मक और नकारात्मक का मिश्रण) के रूप में होता है। कोई शून्य नहीं)। यह वर्गीकरण अनुसरण करने वाले कई लोगों के अंतर्गत आता है।

वक्रता

एक सतह की गाऊसी वक्रता , अतिसूक्ष्म ज्यामिति का वर्णन करती है, और प्रत्येक बिंदु पर या तो धनात्मक - अण्डाकार ज्यामिति , शून्य - यूक्लिडियन ज्यामिति (समतल, परवलय), या ऋणात्मक - अतिपरवलयिक ज्यामिति हो सकती है ; असीम रूप से, दूसरे क्रम के लिए सतह के ग्राफ की तरह दिखती है

x^{2}+y^{2},

x^{2}

(या ०), या

x^{2}-y^{2}

. दरअसल, एकरूपता प्रमेय द्वारा प्रत्येक सतह को विश्व स्तर पर (हर बिंदु पर) सकारात्मक रूप से घुमावदार, सपाट या नकारात्मक रूप से घुमावदार माना जा सकता है। उच्च आयामों में रीमैन वक्रता टेंसर एक अधिक जटिल वस्तु है, लेकिन निरंतर अनुभागीय वक्रता के साथ कई गुना अध्ययन की दिलचस्प वस्तुएं हैं, और इसमें अलग-अलग गुण हैं, जैसा कि अनुभागीय वक्रता पर चर्चा की गई है ।

दूसरा क्रम पीडीई

दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) को प्रत्येक बिंदु पर अण्डाकार, परवलयिक, या अतिशयोक्ति के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, तदनुसार उनके दूसरे क्रम की शर्तें एक अण्डाकार, परवलयिक, या अतिशयोक्तिपूर्ण द्विघात रूप से मेल खाती हैं। इन विभिन्न प्रकार के पीडीई का व्यवहार और सिद्धांत आश्चर्यजनक रूप से भिन्न हैं - प्रतिनिधि उदाहरण यह है कि पॉइसन समीकरण अण्डाकार है, गर्मी समीकरण परवलयिक है, और तरंग समीकरण अतिपरवलयिक है।

सनकी वर्गीकरण में शामिल हैं:

मोबियस परिवर्तन: वास्तविक मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन ( पीएसएल 2 ( आर ) या इसके 2-गुना कवर, एसएल 2 ( आर ) के तत्व ) को अण्डाकार, परवलयिक या हाइपरबोलिक के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, क्योंकि उनका आधा निशान है $0\leq |\operatorname {tr} |/2<1,$ $|\operatorname {tr} |/2=1,$ या $|\operatorname {tr} |/2>1,$ विलक्षणता द्वारा वर्गीकरण को प्रतिबिंबित करना।
विचरण-से-माध्य अनुपात: विचरण-से-माध्य अनुपात असतत संभाव्यता वितरण के कई महत्वपूर्ण परिवारों को वर्गीकृत करता है : परिपत्र के रूप में निरंतर वितरण (सनकी 0), अण्डाकार के रूप में द्विपद वितरण , परवलयिक के रूप में पॉइसन वितरण , और अतिशयोक्तिपूर्ण के रूप में नकारात्मक द्विपद वितरण । यह कुछ असतत संभाव्यता वितरण के संचयकों पर विस्तृत है ।

में इस इंटरैक्टिव एसवीजी , चाल छोड़ दिया और सही एसवीजी छवि पर डबल शंकु को घुमाने के लिए

यह सभी देखें

सर्कमकोनिक और इनकॉनिक
शंकु वर्ग विद्रोह , येल विश्वविद्यालय के छात्रों द्वारा विरोध protests
निदेशक मंडल
अण्डाकार समन्वय प्रणाली
समदूरस्थ सेट
नौ सूत्री शांकव
परवलयिक निर्देशांक
द्विघात फंक्शन

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बाहरी कड़ियाँ

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विशेष समतल वक्रों पर शंक्वाकार खंड ।
वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "कॉनिक सेक्शन" । मैथवर्ल्ड ।
शंकुओं की घटना। प्रकृति में और अन्य जगहों पर शंकुधारी ।
देखें शांकव वर्गों में कट-गाँठ एक तेज सबूत है कि किसी भी परिमित शांकव खंड एक अंडाकार और है के लिए XAH ली अन्य conics की एक ऐसी ही इलाज के लिए।
डायनेमिक ज्योमेट्री स्केच में आठ प्वाइंट कॉनिक
दूसरा क्रम निहित समीकरण ठिकाना एक इंटरैक्टिव जावा शंकु ग्राफर; एक सामान्य दूसरे क्रम के निहित समीकरण का उपयोग करता है।

[1] ईव्स 1963 , पृ। 319

[2] ब्रैनन, एस्प्लेन एंड ग्रे 1999 , पृ. १३

[3] कोहेन, डी., प्रीकैलकुलस: यूनिट सर्कल ट्रिगोनोमेट्री के साथ ( स्टैमफोर्ड : थॉमसन ब्रूक्स/कोल , 2006), पी. 844 .

[4] थॉमस एंड फिन्नी १९७९ , पृ. 434

[5] ब्रैनन, एस्प्लेन एंड ग्रे 1999 , पृ. १९; केंडिग २००५ , पीपी ८६, १४१

[6] ब्रैनन, एस्प्लेन एंड ग्रे 1999 , पीपी. 13-16

[7] ब्रैनन, एस्प्लेन एंड ग्रे 1999 , पीपी. 11-16

[8] प्रोट्टर एंड मोरे 1970 , पीपी. 314–328, 585–589

[9] प्रोट्टर एंड मोरे 1970 , पीपी. 290–314

[10] विल्सन और ट्रेसी १९२५ , पृ. 130

[11] खाली सेट को एक पतित शंकु के रूप में शामिल किया गया है क्योंकि यह इस समीकरण के समाधान के रूप में उत्पन्न हो सकता है

[12] प्रोट्टर एंड मोरे 1970 , पृ. ३१६

[13] ब्रैनन, एस्प्लेन एंड ग्रे 1999 , पृ. 30

[14] फैंची, जॉन आर. (2006), वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए गणित पुनश्चर्या , जॉन विले एंड संस, पीपी. 44-45, आईएसबीएन 0-471-75715-2, धारा ३.२, पृष्ठ ४५

[Protter_1970_326-15] ए बी प्रोट्टर एंड मोरे 1970 , पृ. 326

[16] विल्सन और ट्रेसी १९२५ , पृ. १५३

[17] पेट्टोफ़्रेज़ो, एंथोनी, मैट्रिसेस एंड ट्रांसफ़ॉर्मेशन , डोवर पब्लिक., 1966, पृ. 110.

[Spain-18] ए बी सी स्पेन, बी., एनालिटिकल कॉनिक्स (माइनोला, एनवाई: डोवर, 2007)। मूल रूप से 1957 में पेर्गमोन द्वारा प्रकाशित ।

[19] अयूब, अयूब बी., "द एक्सेंट्रिकिटी ऑफ़ ए कोनिक सेक्शन," द कॉलेज मैथमेटिक्स जर्नल 34(2), मार्च 2003, 116-121।

[20] अयूब, एबी, "द सेंट्रल कॉनिक सेक्शनरिविज़िटेड", मैथमेटिक्स मैगज़ीन 66(5), 1993, 322–325।

[21] ब्रैनन, एस्प्लेन एंड ग्रे 1999 , पृ. 17

[WW-22] विटवर्थ, विलियम एलन . ट्रिलिनियर कोऑर्डिनेट्स एंड अदर मेथड्स ऑफ मॉडर्न एनालिटिकल ज्योमेट्री ऑफ टू डायमेंशन्स , फॉरगॉटन बुक्स, 2012 (मूल। डीइटन, बेल, एंड कंपनी, 1866), पी। 203.

[23] पेरिस पैम्फिलोस, "पांच तत्वों द्वारा शंकुओं की एक गैलरी", फोरम जियोमेट्रिकोरम 14, 2014, 295-348। http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201431.pdf

[24] ब्रैनन, एस्प्लेन एंड ग्रे 1999 , पृ. 28

[25] डाउंस 2003 , पीपी. 36ff.

[26] प्लूटार्क के अनुसारइस समाधान को प्लेटो ने इस आधार पर खारिज कर दिया था कि इसे केवल सीधा और कंपास का उपयोग करके हासिल नहीं किया जा सकता है, हालांकि प्लूटार्क के बयान की यह व्याख्या आलोचना के अधीन आ गई है। बॉयर २००४ , पृ.१४, फुटनोट १४

[27] बोयर २००४ , पीपी. १७-१८

[28] बोयर २००४ , पृ. १८

[29] काट्ज़ १९९८ , पृ. 117

[30] हीथ, टीएल, द थर्टीन बुक्स ऑफ यूक्लिड एलिमेंट्स , वॉल्यूम। आई, डोवर, १९५६, पृ.१६

[31] ईव्स 1963 , पृ। 28

[32] एपोलोनियस ऑफ़ पेर्गा, ट्रीटीज़ ऑन कॉनिक सेक्शन्स , टीएल हीथ द्वारा संपादित(कैम्ब्रिज: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2013)।

[33] ईव्स 1963 , पृ। 30

[34] बोयर २००४ , पृ. 36

[35] स्टिलवेल, जॉन (2010)। गणित और उसका इतिहास (तीसरा संस्करण)। न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर. पी 30 . आईएसबीएन 978-1-4419-6052-8.

[36] "अपोलोनियस ऑफ़ पेर्गा कॉनिक्स बुक्स वन टू सेवन" (पीडीएफ) । 10 जून 2011 को लिया गया ।

[37] टर्नर, हॉवर्ड आर। (1997)। मध्यकालीन इस्लाम में विज्ञान: एक सचित्र परिचय । टेक्सास विश्वविद्यालय प्रेस । पी 53. आईएसबीएन 0-292-78149-0.

[38] बॉयर, सीबी , और मर्ज़बैक, यूसी , गणित का इतिहास ( होबोकेन : जॉन विले एंड संस, इंक। , 1968), पी। २१९ .

[39] वैन डेर वेर्डन, बीएल , ज्योमेट्री एंड अलजेब्रा इन एन्सिएंट सिविलाइजेशन ( बर्लिन / हीडलबर्ग : स्प्रिंगर वेरलाग , 1983), पी। 73 .

[40] काट्ज़ १९९८ , पृ. १२६

[41] बोयर २००४ , पृ. 110

[BoyerDeWitt-42] ए बी बॉयर २००४ , पृ. 114

[43] ब्रैनन, एस्प्लेन एंड ग्रे 1999 , पृ. २७

[44] आर्टज़ी २००८ , पृ. १५८, थम ३-५.१

[45] आर्टज़ी २००८ , पृ. १५९

[46] समीकरण का यह रूप विशेषता दो के क्षेत्रों के लिए सामान्यीकृत नहीं है (नीचे देखें)

[47] अनंत पर रेखा पर एक समापन बिंदु के साथ एक रेखा खंड के मध्य बिंदु को खोजने पर विचार करें।

[48] Fa फॉल्कनर 1952 , पृ. ७१

[49] Fa फॉल्कनर 1952 , पृ. 72

[50] ईव्स 1963 , पृ। 320

[51] कॉक्सेटर १९९३ , पृ. 80

[Hartmann1-52] हार्टमैन , पृ. 38

[53] Merserve 1983 , पृ। 65

[54] जैकब स्टेनर का वोरलेसुंगेन über सिंथेटिस ज्योमेट्री , बीजी टुबनेर, लीपज़िग १८६७ (Google पुस्तकें से: (जर्मन) भाग II भाग I का अनुसरण करता है ) भाग II, पृष्ठ। ९६

[55] हार्टमैन , पृ. 19

[56] फॉल्कनर 1952 , पीपी 48-49 ।

[57] कॉक्सेटर १९६४ , पृ. 60

[58] कॉक्सेटर और कई अन्य लेखकनिरपेक्ष के बजाय स्व-संयुग्म शब्द का उपयोग करते हैं।

[59] कॉक्सेटर १९६४ , पृ. 80

[60] फॉल्कनर 1952 , पीपी. 52-53

[61] डाउन्स २००३ , पृ. 5

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