जटिल संख्या

में गणित , एक जटिल संख्या एक है संख्या उस रूप में व्यक्त किया जा सकता $एक + द्वि$ , जहां $एक$ और $ख$ हैं वास्तविक संख्या , और $मैं$ एक है प्रतीक कहा जाता है काल्पनिक इकाई , और समीकरण को संतोषजनक $मैं 2 = -1$ । क्योंकि कोई भी "वास्तविक" संख्या इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है, $मुझे$ रेने डेसकार्टेस द्वारा एक काल्पनिक संख्या कहा गया था । सम्मिश्र संख्या $a$ $+$ $bi के लिए$ , $a$ को the कहा जाता हैवास्तविक भाग और $b$ को कहा जाता हैकाल्पनिक भाग । सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को इनमें से किसी एक प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है $\mathbb {सी}$ या $सी$ । ऐतिहासिक नामकरण "काल्पनिक" के बावजूद, गणितीय विज्ञान में जटिल संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के रूप में "वास्तविक" माना जाता है और प्राकृतिक दुनिया के वैज्ञानिक विवरण के कई पहलुओं में मौलिक हैं। ^[१]^[२]^[३]^[४]^[ए]

एक जटिल संख्या को संख्याओं की एक जोड़ी

(ए, बी) के

रूप में दिखाया जा सकता है , जो एक आरेख पर एक वेक्टर बनाते हैं

,

जिसे आर्गैंड आरेख कहा जाता है , जो जटिल विमान का प्रतिनिधित्व करता है । Re वास्तविक अक्ष है, Im काल्पनिक अक्ष है, और

i

" काल्पनिक इकाई " है जो

i 2 = -1 को

संतुष्ट करती है ।

सम्मिश्र संख्याएँ सभी बहुपद समीकरणों को हल करने की अनुमति देती हैं , यहाँ तक कि वे भी जिनका वास्तविक संख्याओं में कोई हल नहीं है। अधिक सटीक रूप से, बीजगणित का मूल प्रमेय दावा करता है कि वास्तविक या जटिल गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद समीकरण का एक समाधान होता है जो एक जटिल संख्या होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण $(x+1)^{2}=-9$ इसका कोई वास्तविक हल नहीं है, क्योंकि एक वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, लेकिन इसके दो अवास्तविक जटिल हल $-1 + 3 i$ और $-1 - 3 i होते हैं$ ।

सम्मिश्र संख्याओं के योग, घटाव और गुणा को साहचर्य , क्रमविनिमेय और वितरणात्मक नियमों के साथ संयुक्त नियम $i 2 = -1$ का उपयोग करके स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है । प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या का एक गुणनात्मक प्रतिलोम होता है । यह सम्मिश्र संख्याओं को एक ऐसा क्षेत्र बनाता है जिसमें उपक्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएँ होती हैं। सम्मिश्र संख्याएं एक मानक आधार के रूप में ${1,$ $i$ $} के$ साथ आयाम दो का एक वास्तविक सदिश स्थान भी बनाती हैं ।

यह मानक आधार सम्मिश्र संख्याओं को कार्तीय तल बनाता है , जिसे सम्मिश्र तल कहते हैं । यह जटिल संख्याओं और उनके संचालन की एक ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देता है, और इसके विपरीत जटिल संख्याओं के संदर्भ में कुछ ज्यामितीय गुणों और निर्माणों को व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ वास्तविक रेखा का निर्माण करती हैं जिसे जटिल तल के क्षैतिज अक्ष से पहचाना जाता है। के जटिल संख्या निरपेक्ष मूल्य एक फार्म इकाई चक्र । एक सम्मिश्र संख्या का योग सम्मिश्र तल में एक अनुवाद है, और एक सम्मिश्र संख्या से गुणा मूल पर केंद्रित एक समानता है। जटिल विकार है प्रतिबिंब समरूपता असली धुरी के संबंध में। जटिल निरपेक्ष मान एक यूक्लिडियन मानदंड है ।

संक्षेप में, जटिल संख्याएं एक समृद्ध संरचना बनाती हैं जो एक साथ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है , वास्तविक पर एक कम्यूटेटिव बीजगणित , और आयाम दो का एक यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस है।

परिभाषा

सम्मिश्र तल पर सम्मिश्र संख्या

z = x + iy

का चित्रण । वास्तविक भाग

x है

, और इसका काल्पनिक भाग

y है

।

एक जटिल संख्या प्रपत्र की एक संख्या है $एक + द्वि$ जहां, $एक$ और $ख$ हैं वास्तविक संख्या , और $मैं$ एक अनिश्चित संतोषजनक है $मैं 2 = -1$ । उदाहरण के लिए, $2 + 3 i$ एक सम्मिश्र संख्या है। ^[6]^[3]

इस प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या को एकल अनिश्चित $i$ में वास्तविक गुणांक वाले बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है , जिसके लिए संबंध $i$ $2$ $+ 1 = 0$ लगाया जाता है। इस परिभाषा के आधार पर, बहुपद के लिए जोड़ और गुणा का उपयोग करके जटिल संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। संबंध $i$ $2$ $+ 1 = 0$ समानताएं $i$ $4$ $k$ $= 1,$ $i$ $4$ $k$ $+1$ $=$ $i$ $,$ $i$ $4$ $k$ $+2$ $= -1,$ और $i$ $4$ $k$ $+3$ $= -$ $i$ उत्पन्न करता है $,$ जो सभी पूर्णांक $k के$ लिए धारण करता है। ; ये किसी भी बहुपद को कम करने की अनुमति देते हैं जो जटिल संख्याओं के जोड़ और गुणा के परिणामस्वरूप $i$ में एक रैखिक बहुपद में होता है , फिर से वास्तविक गुणांक $a, b के$ साथ $a$ $+$ $bi$ के रूप में $।$

वास्तविक संख्या $a$ को सम्मिश्र संख्या $a$ $+$ $bi$ का वास्तविक भाग कहा जाता है ; वास्तविक संख्या $b$ को इसका काल्पनिक भाग कहते हैं । जोर देने के लिए, काल्पनिक भाग में एक कारक शामिल नहीं है $i$ ; अर्थात्, काल्पनिक भाग $b है$ , न कि $द्वि$ । ^[7]^[8]^[3]

औपचारिक रूप से, जटिल संख्याओं को बहुपद $i$ $2$ $+ 1$ ( नीचे देखें ) द्वारा उत्पन्न आदर्श द्वारा अनिश्चित $i$ में बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है । ^[९]

नोटेशन

एक वास्तविक संख्या $a$ को एक सम्मिश्र संख्या $a + 0 i$ माना जा सकता है , जिसका काल्पनिक भाग $0$ है। विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या $द्वि$ एक सम्मिश्र संख्या $0 + द्वि है$ , जिसका वास्तविक भाग शून्य है। बहुआयामी पद के साथ के रूप में, यह लिखने के लिए आम बात है $एक$ के लिए $एक + 0 मैं$ और $द्वि$ के लिए $0 + द्वि$ । इसके अलावा, जब काल्पनिक भाग ऋणात्मक होता है, अर्थात $b = - |b| < 0$ , $a$ $+ (-$ $|b|$ $)$ $i के$ बजाय $a - |b|i$ लिखना आम बात है ; उदाहरण के लिए, के लिए $ख$ $= -4$ , $3 - 4$ $मैं$ के बजाय लिखा जा सकता है $3 + (-4)$ $मैं$ ।

चूँकि अनिश्चित $i$ और एक का गुणन वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों में क्रमविनिमेय होता है, बहुपद $a + bi$ को $a + ib के$ रूप में लिखा जा सकता है $।$ यह अक्सर भावों द्वारा निरूपित काल्पनिक भागों के लिए समीचीन होता है, उदाहरण के लिए, जब $b$ एक मूलांक हो। ^[10]

एक सम्मिश्र संख्या $z के$ वास्तविक भाग को $Re(z)$ द्वारा निरूपित किया जाता है , ${\mathcal {Re}}(z)$ , या ${\mathfrak {R}}(z)$ ; एक सम्मिश्र संख्या $z$ के काल्पनिक भाग को $Im(z)$ द्वारा निरूपित किया जाता है , ${\mathcal {Im}}(z)$ , या ${\mathfrak {I}}(z).$ ^[२] उदाहरण के लिए,

\operatorname {Re} (2+3i)=2\quad {\text{ और }}\quad \operatorname {Im} (2+3i)=3~.

सेट सभी जटिल संख्या के द्वारा दिखाया जाता है $\mathbb {सी}$ ( ब्लैकबोर्ड बोल्ड ) या $सी$ (ईमानदार बोल्ड)। ^[2]

कुछ विषयों में, विशेष रूप से विद्युत चुंबकत्व और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में , $i के$ बजाय $j$ का उपयोग किया जाता है क्योंकि $i$ का उपयोग अक्सर विद्युत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है । ^[११] इन मामलों में, सम्मिश्र संख्याएँ $a$ $+$ $bj$ , या $a$ $+$ $jb के$ रूप में लिखी जाती हैं ।

VISUALIZATION

एक जटिल संख्या

z

, एक बिंदु के रूप में (काला) और इसकी स्थिति वेक्टर (नीला)

इस प्रकार एक सम्मिश्र संख्या $z$ को क्रमित युग्म से पहचाना जा सकता है $(\Re (z),\Im (z))$ वास्तविक संख्याओं की, जिन्हें बदले में द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। सबसे तात्कालिक स्थान उपयुक्त निर्देशांक के साथ यूक्लिडियन विमान है, जिसे तब जटिल विमान या अरगैंड आरेख कहा जाता है , ^[१२]^[बी]^[१३] जिसका नाम जीन-रॉबर्ट अरगैंड के नाम पर रखा गया है । एक अन्य प्रमुख स्थान जिस पर निर्देशांक प्रक्षेपित किए जा सकते हैं, एक गोले की द्वि-आयामी सतह है, जिसे तब रीमैन क्षेत्र कहा जाता है ।

कार्टेशियन जटिल विमान

दो मनमानी वास्तविक मूल्यों को शामिल करने वाली जटिल संख्याओं की परिभाषा तुरंत जटिल विमान में कार्टेशियन निर्देशांक के उपयोग का सुझाव देती है। क्षैतिज ( वास्तविक ) अक्ष का उपयोग आम तौर पर वास्तविक भाग को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, जिसमें दाईं ओर बढ़ते हुए मान होते हैं, और काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर ( काल्पनिक ) अक्ष को ऊपर की ओर बढ़ते हुए मूल्यों के साथ चिह्नित करता है।

एक चार्टेड संख्या को या तो समन्वित बिंदु के रूप में या मूल से इस बिंदु तक स्थिति वेक्टर के रूप में देखा जा सकता है । इसलिए एक सम्मिश्र संख्या $z के$ निर्देशांक मान उसके कार्तीय , आयताकार , या बीजगणितीय रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं ।

विशेष रूप से, जोड़ और गुणा का संचालन एक बहुत ही प्राकृतिक ज्यामितीय चरित्र पर होता है, जब जटिल संख्याओं को स्थिति वैक्टर के रूप में देखा जाता है: जोड़ वेक्टर जोड़ से मेल खाता है , जबकि गुणा ( नीचे देखें ) उनके परिमाण को गुणा करने और उनके द्वारा बनाए गए कोणों को जोड़ने से मेल खाता है। वास्तविक धुरी। इस तरह से देखा जाए तो, एक सम्मिश्र संख्या का $i$ से गुणा , स्थिति वेक्टर को वामावर्त घुमाने के लिए मूल के बारे में एक चौथाई मोड़ ( 90° ) से मेल खाती है —एक ऐसा तथ्य जिसे बीजगणितीय रूप से निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

(a+bi)\cdot i=ai+b(i)^{2}=-b+ai.

ध्रुवीय जटिल विमान

तर्क

φ

और मापांक

आर

जटिल विमान में एक बिंदु का पता लगाने।

मापांक और तर्क

जटिल तल में निर्देशांक के लिए एक वैकल्पिक विकल्प ध्रुवीय समन्वय प्रणाली है जो मूल ( $O$ ) से बिंदु $z$ की दूरी का उपयोग करता है , और सकारात्मक वास्तविक अक्ष और रेखा खंड $Oz के$ बीच अंतरित कोण वामावर्त अर्थ में उपयोग करता है। यह सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप की ओर ले जाता है।

निरपेक्ष मूल्य (या मापांक या परिमाण एक जटिल संख्या की) $z = x + यी$ है ^[14]

r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

यदि $z$ एक वास्तविक संख्या है (अर्थात यदि $y = 0 है$ ), तो $r = | एक्स |$ . अर्थात्, एक वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान एक सम्मिश्र संख्या के रूप में उसके निरपेक्ष मान के बराबर होता है।

द्वारा पाइथागोरस प्रमेय , एक जटिल संख्या का निरपेक्ष मान बिंदु में जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व करने की उत्पत्ति के दूरी है जटिल विमान ।

तर्क की $जेड$ (कई "चरण" के रूप में भेजा अनुप्रयोगों में $φ$ ) ^[13] का कोण है त्रिज्या $ओज$ धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ है, और के रूप में लिखा है $आर्ग जेड$ । मापांक के साथ, तर्क को आयताकार रूप $x + yi$ ^[15] से पाया जा सकता है - काल्पनिक-दर-वास्तविक भागों के भागफल के प्रतिलोम स्पर्शरेखा को लागू करके। अर्ध-कोण पहचान का उपयोग करके, आर्कटन की एक शाखा $arg$ -function, $(- π, π]$ की सीमा को कवर करने के लिए पर्याप्त है , और अधिक सूक्ष्म केस-दर-मामला विश्लेषण से बचाती है।

\varphi =\arg(x+yi)={\begin{cases}2\arctan \left({\dfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}} +x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ या }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ और }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ और }}y=0.\end{cases}}

आम तौर पर, के रूप में ऊपर दिए गए, प्रमुख मूल्य में अंतराल $(- π, π]$ । सीमा में चुना जाता है मान $[0, 2 π)$ जोड़कर प्राप्त कर रहे हैं $2 π$ अगर मान ऋणात्मक है -। का मूल्य $φ$ में व्यक्त किया है रेडियंस इस लेख में। यह किसी भी पूर्णांक गुणज तक बढ़ा सकते हैं $2 π$ और अभी भी उसी कोण, के रूप में सकारात्मक असली धुरी की किरणों से और के माध्यम से मूल से subtended देखी देना $जेड$ । इसलिए, arg फ़ंक्शन को कभी-कभी बहुमान के रूप में माना जाता है । सम्मिश्र संख्या 0 के लिए ध्रुवीय कोण अनिश्चित है, लेकिन ध्रुवीय कोण 0 का मनमाना चुनाव सामान्य है।

$φ$ का मान atan2 के परिणाम के बराबर होता है :

\varphi =\operatorname {atan2} \left(\operatorname {Im} (z),\operatorname {Re} (z)\right).

साथ में, $r$ और $φ$ जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका देते हैं, ध्रुवीय रूप , क्योंकि मापांक और तर्क का संयोजन विमान पर एक बिंदु की स्थिति को पूरी तरह से निर्दिष्ट करता है। मूल आयताकार निर्देशांक को ध्रुवीय रूप से पुनर्प्राप्त करना त्रिकोणमितीय रूप नामक सूत्र द्वारा किया जाता है

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi)

यूलर के सूत्र का प्रयोग करके इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

z=re^{i\varphi }{\text{ या }}z=r\exp i\varphi ।

$सीआईएस$ फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए , इसे कभी-कभी संक्षिप्त किया जाता है

z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi ।

में कोण अंकन , अक्सर में प्रयोग किया जाता इलेक्ट्रॉनिक्स एक प्रतिनिधित्व करने के लिए phasor आयाम के साथ $आर$ और चरण $φ$ , यह रूप में लिखा है ^[16]

z=r\angle \varphi ।

जटिल रेखांकन

व्यंजक का एक रंग पहिया ग्राफ

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}( z 2 - 1)( z - 2 - i ) 2/जेड 2 + 2 + 2 आई

जटिल कार्यों की कल्पना करते समय , एक जटिल इनपुट और आउटपुट दोनों की आवश्यकता होती है। चूँकि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को दो आयामों में दर्शाया जाता है, एक जटिल फलन को दृष्टिगत रूप से रेखांकन करने के लिए चार आयामी स्थान की धारणा की आवश्यकता होगी , जो केवल अनुमानों में ही संभव है। इस वजह से, जटिल कार्यों को देखने के अन्य तरीके तैयार किए गए हैं।

में डोमेन रंग उत्पादन आयाम रंग और चमक, के प्रतिनिधित्व वाले क्रमशः रहे हैं। डोमेन के रूप में जटिल विमान में प्रत्येक बिंदु अलंकृत है , आमतौर पर रंग जटिल संख्या के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और चमक परिमाण का प्रतिनिधित्व करती है। डार्क स्पॉट मोडुली को शून्य के पास चिह्नित करते हैं, चमकीले धब्बे मूल से बहुत दूर होते हैं, ग्रेडेशन बंद हो सकता है, लेकिन इसे नीरस माना जाता है। रंग अक्सर के चरणों में भिन्न होते हैं $π$ /3के लिए $0$ करने के लिए $2 π$ लाल, पीले, हरे, सियान, नीले रंग से, मैजेंटा करने के लिए। इन भूखंडों को कलर व्हील ग्राफ कहा जाता है । यह जानकारी खोए बिना कार्यों की कल्पना करने का एक आसान तरीका प्रदान करता है। के लिए चित्र से पता चलता है शून्य $\pm 1, (2 + मैं)$ और ध्रुवों पर $\pm \sqrt -2 -2 मैं ।$

रिमेंन सतह जटिल कार्यों की कल्पना करने का एक और तरीका है। ^{[ आगे की व्याख्या की जरूरत है ]} रिमेंन सतहों को जटिल विमान के विकृति के रूप में माना जा सकता है; जबकि क्षैतिज अक्ष वास्तविक और काल्पनिक इनपुट का प्रतिनिधित्व करते हैं, एकल ऊर्ध्वाधर अक्ष केवल वास्तविक या काल्पनिक आउटपुट का प्रतिनिधित्व करता है। हालांकि, रीमैन सतहों को इस तरह से बनाया गया है कि उन्हें 180 डिग्री घुमाने से काल्पनिक आउटपुट दिखाई देता है, और इसके विपरीत। डोमेन रंग के विपरीत, Riemann सतहों का प्रतिनिधित्व करते हैं कर सकते हैं multivalued कार्यों की तरह $\sqrt जेड$ ।

इतिहास

एक सामान्य क्यूबिक समीकरण के रेडिकल ( त्रिकोणमितीय कार्यों के बिना ) में समाधान में ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल होते हैं, जब सभी तीन जड़ें वास्तविक संख्या होती हैं, एक ऐसी स्थिति जिसे तर्कसंगत रूट परीक्षण द्वारा सहायता प्राप्त फैक्टरिंग द्वारा ठीक नहीं किया जा सकता है यदि क्यूब इरेड्यूसेबल है ( तथाकथित कैसस इरेड्यूसिबिलिस )। इस पहेली ने इतालवी गणितज्ञ गेरोलामो कार्डानो को लगभग १५४५ में जटिल संख्याओं की कल्पना करने के लिए प्रेरित किया , ^[१७] हालांकि उनकी समझ अल्पविकसित थी।

सामान्य बहुपदों की समस्या पर काम करने से अंततः बीजगणित के मौलिक प्रमेय का जन्म हुआ , जो दर्शाता है कि जटिल संख्याओं के साथ, डिग्री एक या उच्चतर के प्रत्येक बहुपद समीकरण का एक समाधान मौजूद होता है। इस प्रकार सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र बनाती हैं , जहाँ किसी भी बहुपद समीकरण का एक मूल होता है ।

अनेक गणितज्ञों ने सम्मिश्र संख्याओं के विकास में योगदान दिया। जटिल संख्याओं के जोड़, घटाव, गुणा और मूल निष्कर्षण के नियम इतालवी गणितज्ञ राफेल बॉम्बेली द्वारा विकसित किए गए थे । ^[१८] जटिल संख्याओं के लिए एक अधिक अमूर्त औपचारिकता को आयरिश गणितज्ञ विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा विकसित किया गया , जिन्होंने इस अमूर्तता को चतुर्धातुक सिद्धांत तक बढ़ाया । ^[19]

करने के लिए जल्द से जल्द क्षणभंगुर संदर्भ वर्ग जड़ों की ऋणात्मक संख्याओं शायद के काम में होने के लिये कहा जा सकता है यूनानी गणितज्ञ अलेक्जेंड्रिया के हीरो 1 शताब्दी में ई , जहां उनके में Stereometrica वह समझता है, जाहिरा तौर पर गलती से, एक असंभव की मात्रा छिन्नक की एक पिरामिड अवधि पर पहुंचने के लिए $\sqrt 144 - 81 = 3 मैं \sqrt 7$ , उनकी गणना में हालांकि नकारात्मक मात्रा में की कल्पना नहीं कर रहे थे यूनानी गणित और हीरो को केवल उसके सकारात्मक द्वारा बदल दिया $(\sqrt 144 - 81 = 3 \sqrt 7)$ । ^[20]

अपने आप में एक विषय के रूप में जटिल संख्याओं का अध्ययन करने की प्रेरणा पहली बार 16 वीं शताब्दी में उठी जब क्यूबिक और क्वार्टिक बहुपद की जड़ों के लिए बीजीय समाधान इतालवी गणितज्ञों द्वारा खोजे गए थे ( निकोलो फोंटाना टार्टाग्लिया , गेरोलामो कार्डानो देखें )। यह जल्द ही महसूस किया गया (लेकिन बहुत बाद में साबित हुआ) ^[२१] कि ये सूत्र, भले ही कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता हो, कभी-कभी ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल के हेरफेर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, प्रपत्र की एक घन समीकरण के लिए Tartaglia के फार्मूले $x$ $3$ $=$ $पिक्सल$ $+$ $क्ष$ ^[सी] समीकरण का हल देता $एक्स$ $3$ $=$ $एक्स$ के रूप में

{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\बाएं(\बाएं({\sqrt {-1}}\दाएं)^{1/3}+\बाएं({\sqrt {-1 }}\दाएं)^{-1/3}\दाएं)।

पहली नजर में यह बात बेमानी लगती है। तथापि, सम्मिश्र संख्याओं के साथ औपचारिक गणना दर्शाती है कि समीकरण $z 3 = i$ के हल हैं $- i$ , $\sqrt 3 + मैं / 2$ तथा $- \sqrt 3 + मैं / 2$ . के लिए बदले में इन स्थानापन्न $\sqrt -1 1/3$ Tartaglia के घन सूत्र में और सरल बनाने, एक 0, 1 हो जाता है और -1 के समाधान के रूप में $एक्स 3 - एक्स = 0$ । बेशक इस विशेष समीकरण को देखते ही हल किया जा सकता है लेकिन यह स्पष्ट करता है कि जब वास्तविक मूल के साथ घन समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जैसा कि बाद के गणितज्ञों ने सख्ती से दिखाया, ^[डी] जटिल संख्याओं का उपयोग अपरिहार्य है । राफेल बॉम्बेली क्यूबिक समीकरणों के इन प्रतीत होने वाले विरोधाभासी समाधानों को स्पष्ट रूप से संबोधित करने वाले पहले व्यक्ति थे और इन मुद्दों को हल करने की कोशिश कर रहे जटिल अंकगणित के नियमों को विकसित किया।

इन मात्राओं के लिए "काल्पनिक" शब्द 1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया था , जो अपने अवास्तविक स्वभाव पर जोर देने के लिए दर्द में थे ^[22]

... कभी-कभी केवल काल्पनिक, यानी कोई भी कल्पना कर सकता है जितना मैंने प्रत्येक समीकरण में कहा था, लेकिन कभी-कभी ऐसी कोई मात्रा नहीं होती है जो हमारी कल्पना से मेल खाती हो।
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imager autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui कॉरेस्पोन्ड सेले क्वॉन कल्पना कीजिए। ]

भ्रम का एक और स्रोत था कि समीकरण $\sqrt -1 2 = \sqrt -1 \sqrt -1 = -1$ बीजीय पहचान के साथ चंचलता से असंगत लग रहा था $\sqrt एक \sqrt ख = \sqrt अब$ , जिसके लिए गैर नकारात्मक वास्तविक संख्या मान्य है $एक$ और $b$ , और जिसका उपयोग जटिल संख्या गणनाओं में भी किया गया था जिसमें से $एक a$ , $b$ धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक था। इस पहचान का गलत उपयोग (और संबंधित पहचान $1 / \sqrt एक = \sqrt 1 / ए$ ) उस स्थिति में जब $a$ और $b$ दोनों ऋणात्मक हों, यहां तक कि विक्षिप्त यूलर भी। इस कठिनाई ने अंततः इस गलती से बचाव के लिए √ -1 के स्थान पर विशेष प्रतीक $i$ का उपयोग करने की परंपरा को जन्म दिया । ^[^{उद्धरण वांछित}^] फिर भी, यूलर ने आज की तुलना में छात्रों को जटिल संख्याओं से परिचित कराना स्वाभाविक समझा। अपनी प्रारंभिक बीजगणित पाठ्य पुस्तक, एलिमेंट्स ऑफ अलजेब्रा में , वह लगभग एक ही बार में इन नंबरों का परिचय देता है और फिर उनका प्राकृतिक तरीके से उपयोग करता है।

18 वीं शताब्दी में जटिल संख्याओं का व्यापक उपयोग हुआ, क्योंकि यह देखा गया कि त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़ी गणनाओं को सरल बनाने के लिए जटिल अभिव्यक्तियों के औपचारिक हेरफेर का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, १७३० में इब्राहीम डी मोइवर ने उल्लेख किया कि उस कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों के लिए एक कोण के एक पूर्णांक गुणक के त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित जटिल पहचान को निम्नलिखित प्रसिद्ध सूत्र द्वारा फिर से व्यक्त किया जा सकता है जो उसका नाम है, डी मोइवर का सूत्र :

(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta ।

1748 में लिओनहार्ड यूलर आगे ले गया और प्राप्त यूलर सूत्र के जटिल विश्लेषण : ^[23]

\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }

औपचारिक रूप से जटिल शक्ति श्रृंखला में हेरफेर करके और देखा कि इस सूत्र का उपयोग किसी भी त्रिकोणमितीय पहचान को बहुत सरल घातीय पहचान को कम करने के लिए किया जा सकता है।

जटिल विमान ( ऊपर ) में एक बिंदु के रूप में एक जटिल संख्या का विचार पहली बार 1799 में डेनिश - नार्वे के गणितज्ञ कैस्पर वेसल द्वारा वर्णित किया गया था , ^[२४] हालांकि वालिस के बीजगणित के ए ट्रीटीज़ में १६८५ के शुरू में इसका अनुमान लगाया गया था । ^[25]

वेसल का संस्मरण प्रोसीडिंग्स ऑफ द कोपेनहेगन एकेडमी में छपा लेकिन काफी हद तक किसी का ध्यान नहीं गया। १८०६ में जीन-रॉबर्ट अरगंड ने स्वतंत्र रूप से जटिल संख्याओं पर एक पुस्तिका जारी की और बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक कठोर प्रमाण प्रदान किया । ^[२६] कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने पहले १७९७ में प्रमेय का एक अनिवार्य रूप से टोपोलॉजिकल सबूत प्रकाशित किया था, लेकिन उस समय "-1 के वर्गमूल के सच्चे तत्वमीमांसा" के बारे में अपना संदेह व्यक्त किया था। ^[२७] यह १८३१ तक नहीं था कि उन्होंने इन संदेहों पर काबू पा लिया और विमान में बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं पर अपना ग्रंथ प्रकाशित किया, ^[२८]^[२९]^{( पी ६३८ )} बड़े पैमाने पर आधुनिक संकेतन और शब्दावली की स्थापना की।

यदि किसी ने पहले इस विषय पर एक मिथ्या दृष्टिकोण से विचार किया और इसलिए एक रहस्यमय अंधकार पाया, तो यह काफी हद तक अनाड़ी शब्दावली के कारण है। एक नहीं बुलाया था +1, -1, √ -1 सकारात्मक, नकारात्मक या काल्पनिक (या असंभव) इकाइयों, लेकिन इसके बजाय, कहते हैं, प्रत्यक्ष, उलटा, या पार्श्व इकाइयों, तो शायद ही इस तरह के अंधेरे की बात हो सकती थी। - गॉस (१८३१) ^[२९]^{( पी ६३८ )}^[२८]

Buée,: 19 वीं सदी की शुरुआत में, अन्य गणितज्ञों स्वतंत्र रूप से जटिल संख्याओं के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व की खोज की ^[30]^[31] Mourey , ^[32] वॉरेन , ^[33] Français और उसके भाई, Bellavitis । ^[34]^[35]

अंग्रेजी गणितज्ञ जीएच हार्डी ने टिप्पणी की कि गॉस पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने 'वास्तव में आत्मविश्वास और वैज्ञानिक तरीके' में जटिल संख्याओं का उपयोग किया था, हालांकि नॉर्वेजियन नील्स हेनरिक एबेल और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी जैसे गणितज्ञ गॉस द्वारा अपना 1831 का ग्रंथ प्रकाशित करने से पहले नियमित रूप से उनका उपयोग कर रहे थे। ^[36]

ऑगस्टिन लुई कॉची और बर्नहार्ड रीमैन ने मिलकर जटिल विश्लेषण के मौलिक विचारों को पूर्णता की उच्च अवस्था में लाया , 1825 के आसपास कॉची के मामले में शुरू हुआ।

सिद्धांत में प्रयुक्त सामान्य शब्द मुख्यतः संस्थापकों के कारण हैं। Argand कहा जाता है $क्योंकि φ + मैं पाप φ$ दिशा कारक है, और $आर = \sqrt एक 2 + ख 2$ मापांक ; ^[ई]^[38] कॉची (1821) नामक $क्योंकि φ + मैं पाप φ$ कम प्रपत्र (ल अभिव्यक्ति réduite) ^[39] और जाहिरा तौर पर शुरू की अवधि तर्क ; गॉस इस्तेमाल किया $मैं$ के लिए $\sqrt -1$ , ^[च] अवधि शुरू की जटिल संख्या के लिए $एक + द्वि$ , ^[जी] और कहा जाता है $एक 2 + ख 2$ आदर्श । ^{[घंटा]} अभिव्यक्ति दिशा गुणांक , अक्सर के लिए इस्तेमाल किया $क्योंकि φ + मैं पाप φ$ , हेंकल (1867) की वजह से है, ^[40] और निरपेक्ष मान, के लिए मापांक, विअरस्ट्रास के कारण है।

सामान्य सिद्धांत पर बाद के शास्त्रीय लेखकों में रिचर्ड डेडेकिंड , ओटो होल्डर , फेलिक्स क्लेन , हेनरी पोंकारे , हरमन श्वार्ज़ , कार्ल वीयरस्ट्रैस और कई अन्य शामिल हैं। जटिल बहुभिन्नरूपी कलन में महत्वपूर्ण कार्य (एक व्यवस्थितकरण सहित) 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में शुरू किया गया है। 1927 में विल्हेम विर्टिंगर द्वारा महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए गए हैं ।

संबंध और संचालन

समानता

सम्मिश्र संख्याओं में वास्तविक संख्याओं के समान समानता की परिभाषा होती है; दो सम्मिश्र संख्याएँ $a 1 + b 1 i$ और $a 2 + b 2 i$ समान हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग समान हैं, अर्थात यदि $a 1 = a 2$ और $b 1 = b 2$ । अशून्य परिसर में लिखा संख्या ध्रुवीय प्रपत्र बराबर यदि और केवल यदि वे उसी परिमाण है और उनके तर्कों के एक पूर्णांक एकाधिक से भिन्न होते हैं $2 π$ ।

आदेश

वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं का कोई प्राकृतिक क्रम नहीं होता है। विशेष रूप से, जटिल संख्याओं पर कोई रैखिक क्रम नहीं है जो कि जोड़ और गुणा के साथ संगत है - जटिल संख्याओं में एक आदेशित क्षेत्र की संरचना नहीं हो सकती है। इस उदाहरण के लिए है, क्योंकि एक में वर्गों के हर गैर तुच्छ राशि का आदेश दिया क्षेत्र है $\neq 0$ , और $मैं 2 + 1 2 = 0$ एक गैर तुच्छ वर्गों का योग है। इस प्रकार, जटिल संख्याओं को स्वाभाविक रूप से द्वि-आयामी विमान पर विद्यमान माना जाता है।

संयुग्म

जटिल तल में

z

और उसके संयुग्मी

z

का ज्यामितीय निरूपण

जटिल संयुग्म जटिल संख्या के $z = x + यी$ द्वारा दिया जाता है $एक्स - यी$ । इसे या तो $z$ या $z *$ द्वारा दर्शाया जाता है । ^[४१] सम्मिश्र संख्याओं पर यह एकात्मक संक्रिया केवल उनके मूल संक्रिया जोड़, घटा, गुणा और भाग को लागू करके व्यक्त नहीं की जा सकती।

ज्यामितीय, $जेड$ है "प्रतिबिंब" का $z$ असली अक्ष के बारे में। दो बार संयुग्मित करने से मूल सम्मिश्र संख्या प्राप्त होती है

{\overline {\overline {z}}}=z,

जो इस ऑपरेशन को एक इनवोल्यूशन बनाता है । परावर्तन $z$ के वास्तविक भाग और परिमाण दोनों को अपरिवर्तित छोड़ देता है, अर्थात्

\operatorname {Re} ({\overline {z}})=\operatorname {Re} (z)\quad

तथा

\quad |{\overline {z}}|=|z|.

एक सम्मिश्र संख्या $z$ का काल्पनिक भाग और तर्क संयुग्मन के तहत अपना चिन्ह बदलते हैं

\operatorname {Im} ({\overline {z}})=-\operatorname {Im} (z)\quad {\text{ और }}\quad \operatorname {arg} {\overline {z}} \equiv -\operatorname {arg} z{\pmod {2\pi}}.

तर्क और परिमाण के विवरण के लिए, ध्रुवीय रूप पर अनुभाग देखें ।

एक सम्मिश्र संख्या $z = x + yi$ और उसके संयुग्म का गुणनफल निरपेक्ष वर्ग के रूप में जाना जाता है । यह हमेशा एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है और प्रत्येक के परिमाण के वर्ग के बराबर होती है:

z\cdot {\overline {z}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}=|{\overline {z}}|^{2}।

इस गुण का उपयोग दिए गए हर के संयुग्म द्वारा भिन्न के अंश और हर दोनों का विस्तार करके एक जटिल हर के साथ एक अंश को एक वास्तविक हर के साथ एक समान अंश में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को कभी-कभी हर का " युक्तिकरण " कहा जाता है (हालाँकि अंतिम अभिव्यक्ति में हर एक अपरिमेय वास्तविक संख्या हो सकती है), क्योंकि यह हर में सरल अभिव्यक्तियों से जड़ों को हटाने की विधि जैसा दिखता है।

संयुग्मन का उपयोग करके एक सम्मिश्र संख्या $z के$ वास्तविक और काल्पनिक भाग निकाले जा सकते हैं:

\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}},\quad {\text{ और }}\quad \operatorname {Im} (z)= {\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}.

इसके अलावा, एक सम्मिश्र संख्या वास्तविक होती है यदि और केवल यदि वह अपने स्वयं के संयुग्म के बराबर हो।

संयुग्मन बुनियादी जटिल अंकगणितीय संचालन पर वितरित करता है:

{\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}},

{\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\quad {\overline {z/w}}={\overline {z}} /{\ओवरलाइन {w}}.

संयुग्मन का उपयोग व्युत्क्रम ज्यामिति में भी किया जाता है , ज्यामिति की एक शाखा जो एक रेखा के बारे में प्रतिबिंबों का अधिक सामान्य अध्ययन करती है। विद्युत परिपथों के नेटवर्क विश्लेषण में , जब अधिकतम शक्ति अंतरण प्रमेय की तलाश की जाती है, तो समतुल्य प्रतिबाधा खोजने में जटिल संयुग्म का उपयोग किया जाता है ।

जोड़ना और घटाना

एक समांतर चतुर्भुज की रचना करके दो सम्मिश्र संख्याओं का योग ज्यामितीय रूप से किया जा सकता है।

दो जटिल संख्या $एक$ और $ख$ सबसे आसानी से कर रहे हैं जोड़ा अलग में summands उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों जोड़कर। यानी:

a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.

इसी प्रकार, घटाव इस प्रकार किया जा सकता है

ab=(x+yi)-(u+vi)=(xu)+(yv)i.

जटिल विमान में जटिल संख्याओं के विज़ुअलाइज़ेशन का उपयोग करते हुए, जोड़ की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या होती है: दो जटिल संख्याओं का योग $a$ और $b$ , $जिसकी$ व्याख्या जटिल तल में बिंदुओं के रूप में की जाती है, वह बिंदु है जो तीन शीर्षों $O$ से समांतर चतुर्भुज बनाकर प्राप्त किया जाता है , और $a$ और $b$ लेबल किए गए तीरों के बिंदु (बशर्ते कि वे एक रेखा पर न हों)। तुल्य, इन बातों को बुला $एक$ , $बी$ , क्रमशः और समानांतर चतुर्भुज के चौथे बिंदु $एक्स$ त्रिकोण $OAB$ और $XBA$ हैं अनुकूल । घटाव का एक दृश्य नकारात्मक के अलावा विचार करके प्राप्त किया जा सकता वियोजक ।

गुणन और वर्ग

वितरण संपत्ति के नियम , कम्यूटेटिव गुण (जोड़ और गुणा के), और परिभाषित संपत्ति $i 2 = -1$ जटिल संख्याओं पर लागू होते हैं। यह इस प्रकार है कि

(x+yi)\,(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i.

विशेष रूप से,

(x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi.

पारस्परिक और विभाजन

संयुग्मन का उपयोग करते हुए, एक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या $z$ $=$ $x$ $+$ $yi$ के व्युत्क्रम को हमेशा विभाजित किया जा सकता है

{\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z| ^{2}}}={\frac {\overline {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2} }}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i,

चूँकि शून्येतर का अर्थ है कि $x 2 + y 2$ शून्य से बड़ा है।

यह एक मनमाना जटिल संख्या का एक प्रभाग व्यक्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता $डब्ल्यू = यू + vi$ एक गैर शून्य जटिल संख्या से $जेड$ के रूप में

{\frac {w}{z}}=w\cdot {\frac {1}{z}}=(u+vi)\cdot \left({\frac {x}{x^{2} +y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i\right)={\frac {(ux+vy)+(vx-uy)i }{x^{2}+y^{2}}}.

ध्रुवीय रूप में गुणा और भाग

2 + i

(नीला त्रिभुज) और

3 + i

(लाल त्रिभुज) का गुणन । लाल त्रिभुज को नीले रंग के शीर्ष से मिलाने के लिए घुमाया जाता है और नीले त्रिभुज के कर्ण की लंबाई √ 5 तक बढ़ाया जाता है ।

गुणा, भाग और घातांक के सूत्र ध्रुवीय रूप में कार्टेशियन निर्देशांक में संबंधित सूत्रों की तुलना में सरल होते हैं। देखते हुए दो जटिल संख्या $z 1 = r 1 (क्योंकि φ 1 + मैं पाप φ 1)$ और $z 2 = आर 2 (क्योंकि φ 2 + मैं पाप φ 2)$ की वजह से, ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान

\cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b)

\cos a\sin b+\sin a\cos b=\sin(a+b)

हम प्राप्त कर सकते हैं

z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+ \varphi _{2})).

दूसरे शब्दों में, निरपेक्ष मूल्यों को गुणा किया जाता है और उत्पाद के ध्रुवीय रूप को प्राप्त करने के लिए तर्क जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए, से गुणा $मैं$ एक क्वार्टर से मेल खाती है बारी जवाबी दक्षिणावर्त, जो वापस देता है $मैं 2 = -1$ । दायीं ओर का चित्र के गुणन को दर्शाता है

(2+i)(3+i)=5+5i.

के वास्तविक और काल्पनिक हिस्सा के बाद से $5 + 5 मैं$ बराबर हैं, उस नंबर के तर्क 45 डिग्री, या है $π / 4$ (में रेडियन )। दूसरी ओर, यह लाल और नीले त्रिभुजों के मूल में कोणों का योग भी है जो क्रमशः आर्कटान (1/3) और आर्कटान (1/2) हैं। इस प्रकार, सूत्र

{\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\ सही)

धारण करता है। जैसा कि आर्कटन फ़ंक्शन को अत्यधिक कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है, इस तरह के सूत्र - जिन्हें मशीन-जैसे फ़ार्मुलों के रूप में जाना जाता है - का उपयोग π के उच्च-सटीक अनुमानों के लिए किया जाता है ।

इसी प्रकार, विभाजन द्वारा दिया जाता है

{\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\बाएं(\cos(\varphi _{1}-\ varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).

वर्गमूल

$a + bi$ ( $b \neq 0 के साथ$ ) के वर्गमूल हैं $\pm (\gamma +\delta i)$ , कहां है

\gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}

तथा

\delta =(\operatorname {sgn} b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},

जहां $sgn$ है Signum कार्य करते हैं। इसे वर्ग करके देखा जा सकता है $\pm (\gamma +\delta i)$ $एक + द्वि$ प्राप्त करने के लिए । ^[४२]^[४३] यहाँ ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ $a$ $+$ $bi$ का मापांक कहा जाता है , और वर्गमूल चिह्न गैर-ऋणात्मक वास्तविक भाग वाले वर्गमूल को इंगित करता है, जिसे मूल वर्गमूल कहा जाता है ; भी ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {z{\overline {z}}}},$ जहां $जेड = ए + द्वि$ । ^[44]

घातांक प्रकार्य

घातीय समारोह $\exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto \exp z$ शक्ति श्रृंखला द्वारा प्रत्येक जटिल संख्या $z के$ लिए परिभाषित किया जा सकता है

\exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},

जिसमें अभिसरण की अनंत त्रिज्या है ।

घातांकीय फलन के $1$ पर मान यूलर की संख्या है

e=\exp 1=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\लगभग 2.71828.

यदि $z$ वास्तविक है, तो एक है $\exp z=e^{z}.$ विश्लेषणात्मक निरंतरता के हर जटिल मूल्य के लिए इस समानता का विस्तार करने की अनुमति देता $जेड$ , और इस प्रकार आधार के साथ जटिल घातांक परिभाषित करने के लिए $ई$ के रूप में

e^{z}=\exp z.

कार्यात्मक समीकरण

घातांकीय फलन कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $e^{z+t}=e^{z}e^{t}.$ यह या तो दोनों सदस्यों के शक्ति श्रृंखला विस्तार की तुलना करके या समीकरण के प्रतिबंध से वास्तविक तर्कों तक विश्लेषणात्मक निरंतरता को लागू करके साबित किया जा सकता है।

यूलर का सूत्र

यूलर का सूत्र बताता है कि, किसी भी वास्तविक संख्या $y के लिए$ ,

e^{iy}=\cos y+i\sin y.

कार्यात्मक समीकरण का अर्थ है कि, यदि $x$ और $y$ वास्तविक हैं, तो एक है

e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y,

जो घातांकीय फलन का उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों में अपघटन है।

जटिल लघुगणक

वास्तविक मामले में, प्राकृतिक लघुगणक को व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x$ घातीय फ़ंक्शन का। इसे जटिल डोमेन तक विस्तारित करने के लिए, कोई यूलर के सूत्र से शुरू कर सकता है। इसका तात्पर्य है कि, यदि एक सम्मिश्र संख्या $z\in \mathbb {C} ^{\times }$ ध्रुवीय रूप में लिखा गया है

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )

साथ से $r,\varphi \in \mathbb {R} ,$ फिर साथ

\ln z=\ln r+i\varphi

जटिल लघुगणक के रूप में एक उचित व्युत्क्रम होता है:

\exp \ln z=\exp(\ln r+i\varphi )=r\exp i\varphi =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=z.

हालांकि, क्योंकि कोज्या और साइन आवधिक कार्य हैं, के एक पूर्णांक एकाधिक के अलावा $2 π$ को $φ$ परिवर्तन नहीं करता है $जेड$ । उदाहरण के लिए, $ई iπ = ई 3 iπ = -1$ , इसलिए दोनों $iπ$ और $3 iπ$ का प्राकृतिक लघुगणक के लिए संभावित मान हैं $-1$ ।

इसलिए, यदि जटिल लघुगणक को एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जाना है

\ln z=\left\{\ln r+i(\varphi +2\pi k)\mid k\in \mathbb {Z} \right\},

किसी को शाखा कट का उपयोग करना पड़ता है और कोडोमैन को प्रतिबंधित करना पड़ता है , जिसके परिणामस्वरूप विशेषण कार्य होता है

\ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].

अगर $z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)$ एक गैर सकारात्मक वास्तविक संख्या (एक सकारात्मक या एक गैर वास्तविक संख्या), जिसके परिणामस्वरूप नहीं है प्रमुख मूल्य जटिल लघुगणक के साथ प्राप्त किया जाता है $- π < φ < π$ । यह ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बाहर एक विश्लेषणात्मक कार्य है , लेकिन इसे किसी ऐसे फलन तक लम्बा नहीं किया जा सकता है जो किसी भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या पर निरंतर हो $z\in -\mathbb {R} ^{+}$ , जहां मुख्य मान $ln z = ln(- z) + iπ है$ । ^[मैं]

घातांक

यदि $x > 0$ वास्तविक है और $z$ सम्मिश्र है, तो घातांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

x^{z}=e^{z\ln x},

जहां $ln$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है।

इस सूत्र को $x के$ जटिल मानों तक विस्तारित करना स्वाभाविक लगता है , लेकिन इस तथ्य से उत्पन्न कुछ कठिनाइयाँ हैं कि जटिल लघुगणक वास्तव में एक फ़ंक्शन नहीं है, बल्कि एक बहुमूल्यवान फ़ंक्शन है ।

यह इस प्रकार है कि यदि $z$ ऊपर के रूप में है, और यदि $t$ एक अन्य जटिल संख्या है, तो घातांक बहुमान फलन है

z^{t}=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+2\pi kt)+i\sin(\varphi t+2\pi kt) )\}\मध्य कश्मीर\में \mathbb {Z} \right\}

पूर्णांक और भिन्नात्मक घातांक

एक सम्मिश्र संख्या

z

के दूसरे से छठे मूल का ज्यामितीय निरूपण , ध्रुवीय रूप में

re iφ

जहाँ

r = | जेड |

और

φ = आर्ग जेड

। यदि

z

असली है,

φ = 0

या

π

। प्रमुख जड़ों को काले रंग में दिखाया गया है।

यदि, पूर्ववर्ती सूत्र में, $t$ एक पूर्णांक है, तो ज्या और कोज्या $k से$ स्वतंत्र हैं । इस प्रकार, यदि घातांक $n$ एक पूर्णांक है, तो $z n$ अच्छी तरह से परिभाषित है, और घातांक सूत्र डी मोइवर के सूत्र को सरल करता है :

z^{n}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ) ।

$N$ n वें जड़ों एक जटिल संख्या के $जेड$ द्वारा दिया जाता है

z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+ मैं\पाप \बाएं({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\दाएं)\दाएं)

के लिए $0 \leq कश्मीर \leq n 1 -$ । (यहाँ ${\sqrt[{n}]{r}}$ धनात्मक वास्तविक संख्या $r$ का सामान्य (धनात्मक) $n$ वां मूल है ।) क्योंकि साइन और कोसाइन आवधिक हैं, $k के$ अन्य पूर्णांक मान अन्य मान नहीं देते हैं।

जबकि एक सकारात्मक वास्तविक संख्या $r$ के $n$ वें मूल को सकारात्मक वास्तविक संख्या $c$ संतोषजनक $c$ $n$ $=$ $r के रूप में चुना जाता है$ , एक जटिल संख्या के एक विशेष जटिल $n$ वें मूल को भेद करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है । इसलिए, $n$ वां मूल $z$ का एक n- मूल्यवान फलन है । इसका तात्पर्य यह है कि, सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के मामले के विपरीत, किसी के पास है

(z^{n})^{1/n}\neq z,

चूंकि बाईं ओर $n$ मान होते हैं , और दाईं ओर एक एकल मान होता है।

गुण

क्षेत्र संरचना

सेट $\mathbb {सी}$ सम्मिश्र संख्याओं का एक क्षेत्र है । ^[४५] संक्षेप में, इसका मतलब यह है कि निम्नलिखित तथ्य हैं: पहला, किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है ताकि एक और सम्मिश्र संख्या प्राप्त हो सके। दूसरा, किसी भी सम्मिश्र संख्या $z के लिए$ , इसका योगात्मक प्रतिलोम $- z$ भी एक सम्मिश्र संख्या है; और तीसरा, प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या में एक व्युत्क्रम सम्मिश्र संख्या होती है। इसके अलावा, ये संक्रियाएँ कई कानूनों को संतुष्ट करती हैं, उदाहरण के लिए किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z$ $1$ और $z$ $2 के$ लिए योग और गुणन की क्रमविनिमेयता का नियम :

z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1},

z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}.

एक क्षेत्र पर इन दो कानूनों और अन्य आवश्यकताओं को ऊपर दिए गए सूत्रों द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करके कि वास्तविक संख्याएं स्वयं एक क्षेत्र बनाती हैं।

वास्तविक के विपरीत, $\mathbb {सी}$ एक आदेशित क्षेत्र नहीं है, अर्थात्, एक संबंध $z 1 < z 2$ को परिभाषित करना संभव नहीं है जो जोड़ और गुणा के साथ संगत है। वास्तव में, किसी भी आदेश दिया क्षेत्र में, किसी भी तत्व के वर्ग जरूरी सकारात्मक है, इसलिए $मैं 2 = -1$ एक की precludes अस्तित्व आदेश पर $\mathbb {सी} ।$ ^[46]

जब किसी गणितीय विषय या निर्माण के लिए अंतर्निहित क्षेत्र सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो उस तथ्य को दर्शाने के लिए विषय का नाम आमतौर पर संशोधित किया जाता है। उदाहरण के लिए: जटिल विश्लेषण , जटिल मैट्रिक्स , जटिल बहुपद , और जटिल झूठ बीजगणित ।

बहुपद समीकरणों के हल

किसी भी सम्मिश्र संख्या (जिन्हें गुणांक कहा जाता है ) को दिया गया है $a 0, ..., a n$ , समीकरण

a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0

कम से कम एक जटिल समाधान है जेड , बशर्ते कि उच्च गुणांकों के कम से कम एक $एक 1, ..., एक n$ अशून्य है। ^[47] इस का बयान है बीजगणित के मौलिक प्रमेय , के कार्ल फ्रेडरिक गॉस और जीन ले रोंड डीएलेमबर्ट । इस तथ्य के कारण, $\mathbb {सी}$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र कहा जाता है । यह गुण परिमेय संख्याओं के क्षेत्र के लिए मान्य नहीं है $\mathbb {क्यू}$ (बहुपद $एक्स 2 - 2$ , एक तर्कसंगत जड़ नहीं है के बाद से √ 2 एक तर्कसंगत संख्या नहीं है) और न ही वास्तविक संख्या $\mathbb {आर}$ (बहुपद $x 2 + a में$ $a > 0 का$ वास्तविक मूल नहीं है , क्योंकि $x$ का वर्ग किसी वास्तविक संख्या $x के$ लिए धनात्मक होता है )।

इस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण हैं, या तो विश्लेषणात्मक तरीकों से जैसे कि लिउविल की प्रमेय , या टोपोलॉजिकल वाले जैसे घुमावदार संख्या , या गैलोइस सिद्धांत के संयोजन का प्रमाण और यह तथ्य कि विषम डिग्री के किसी भी वास्तविक बहुपद में कम से कम एक वास्तविक जड़ होती है।

इस तथ्य के कारण, किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए प्रमेय जो लागू होते हैं $\mathbb {सी} ।$ उदाहरण के लिए, किसी भी गैर-रिक्त जटिल वर्ग मैट्रिक्स में कम से कम एक (जटिल) eigenvalue होता है ।

बीजीय लक्षण वर्णन

फील्ड $\mathbb {सी}$ निम्नलिखित तीन गुण हैं:

सबसे पहले, इसकी विशेषता 0 है। इसका मतलब है कि $1 + 1 + \dots + 1 \neq 0$ किसी भी संख्या में सारांश के लिए (जिनमें से सभी बराबर हैं)।
दूसरा, इसकी ट्रान्सेंडेंस डिग्री खत्म हो गई है $\mathbb {क्यू}$ , प्रधानमंत्री क्षेत्र की $\mathbb {सी} ,$ है सातत्य का प्रमुखता ।
तीसरा, यह बीजीय रूप से बंद है (ऊपर देखें)।

यह दिखाया जा सकता है कि इन गुणों वाला कोई भी क्षेत्र समरूपी (एक क्षेत्र के रूप में) से $\mathbb {सी} ।$ उदाहरण के लिए, क्षेत्र का बीजगणितीय समापन $\mathbb {क्यू} _{p}$ के पी -adic संख्या भी संतुष्ट इन तीन गुण हैं, इसलिए इन दो क्षेत्रों isomorphic हैं (फ़ील्ड के रूप में है, लेकिन संस्थानिक क्षेत्रों के रूप में नहीं)। ^[४८] इसके अलावा, $\mathbb {सी}$ जटिल Puiseux श्रृंखला के क्षेत्र के लिए समरूपी है । हालाँकि, एक समरूपता को निर्दिष्ट करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है । इस बीजीय अभिलक्षणन का एक अन्य परिणाम यह है कि $\mathbb {सी}$ इसमें कई उचित उपक्षेत्र शामिल हैं जो कि समरूप हैं $\mathbb {सी}$ .

एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में विशेषता

के पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन $\mathbb {सी}$ के केवल बीजीय पहलुओं का वर्णन करता है $\mathbb {सी} ।$ कहने का तात्पर्य यह है कि विश्लेषण और टोपोलॉजी जैसे क्षेत्रों में निकटता और निरंतरता के गुण , जो मायने रखते हैं , से निपटा नहीं जाता है। निम्नलिखित विवरण $\mathbb {सी}$ एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में (अर्थात, एक ऐसा क्षेत्र जो एक टोपोलॉजी से लैस है , जो अभिसरण की धारणा की अनुमति देता है) टोपोलॉजिकल गुणों को ध्यान में रखता है। $\mathbb {सी}$ निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करने वाले गैर-शून्य तत्वों का एक उपसमुच्चय $P$ (अर्थात् सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट) शामिल है:

$P$ को जोड़, गुणा और प्रतिलोम लेने पर बंद किया जाता है।
यदि $x$ और $y$ $P के$ भिन्न अवयव हैं , तो या तो $x - y$ या $y - x$ , $P में है$ ।
यदि $S$ , $P$ का कोई अरिक्त उपसमुच्चय है , तो कुछ $x$ in . के लिए $S + P = x + P$ $\mathbb {सी} ।$

इसके अलावा, $\mathbb {सी}$ एक nontrivial है involutive automorphism $एक्स \mapsto एक्स *$ (अर्थात् जटिल विकार), जैसे कि $एक्स एक्स *$ में है $पी$ के लिए किसी भी अशून्य $एक्स$ में $\mathbb {सी} ।$

इन गुणों वाले किसी भी क्षेत्र $F$ को सेट $B (x, p) = {y | पी - (y - एक्स) (y - एक्स) * \in पी}$ एक के रूप में आधार है, जहां $एक्स$ क्षेत्र और अधिक पर्वतमाला $पी$ से अधिक पर्वतमाला $पी$ । इस टोपोलॉजी के साथ $F$ एक टोपोलॉजिकल फील्ड के रूप में आइसोमॉर्फिक है $\mathbb {सी} ।$

केवल जुड़े हुए स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल क्षेत्र हैं $\mathbb {आर}$ तथा $\mathbb {सी} ।$ यह का एक और लक्षण वर्णन देता है $\mathbb {सी}$ एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में, चूंकि $\mathbb {सी}$ से अलग किया जा सकता है $\mathbb {आर}$ क्योंकि अशून्य सम्मिश्र संख्याएँ जुड़ी हुई हैं , जबकि अशून्य वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं। ^[49]

औपचारिक निर्माण

आदेशित जोड़े के रूप में निर्माण

विलियम रोवन हैमिल्टन ने सेट को परिभाषित करने के लिए दृष्टिकोण पेश किया $\mathbb {सी}$ जटिल संख्याओं के ^[50] सेट के रूप में $ℝ 2$ के आदेश दिया जोड़े $(एक, ख)$ वास्तविक संख्या की, जिसमें इसके अलावा और गुणा के लिए निम्नलिखित नियम लगाया जाता है: ^[45]

{\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac- बीडी,बीसी+विज्ञापन).\end{aligned}}

तब $(a, b)$ को $a + bi के$ रूप में व्यक्त करना केवल अंकन की बात है ।

एक भागफल क्षेत्र के रूप में निर्माण

हालांकि यह निम्न-स्तरीय निर्माण जटिल संख्याओं की संरचना का सटीक वर्णन करता है, निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा से . की बीजगणितीय प्रकृति का पता चलता है $\mathbb {सी}$ अधिक तुरंत। यह लक्षण वर्णन क्षेत्रों और बहुपदों की धारणा पर निर्भर करता है। फ़ील्ड एक सेट है जो जोड़, घटाव, गुणा और भाग संचालन के साथ संपन्न होता है जो व्यवहार करता है, जैसे कि, तर्कसंगत संख्याओं से परिचित होता है। उदाहरण के लिए, वितरण कानून

(x+y)z=xz+yz

किसी क्षेत्र के किन्हीं तीन तत्वों $x$ , $y$ और $z$ के लिए धारण करना चाहिए । सेट $\mathbb {आर}$ वास्तविक संख्याओं का एक क्षेत्र बनता है। वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद $p (X)$ रूप का व्यंजक है

a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},

जहाँ $a 0, ..., a n$ वास्तविक संख्याएँ हैं। बहुपदों का सामान्य जोड़ और गुणन समुच्चय का समर्थन करता है $\mathbb {R} [X]$ वलय संरचना वाले ऐसे सभी बहुपदों में से । इस वलय को वास्तविक संख्याओं पर बहुपद वलय कहा जाता है ।

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है $\mathbb {R} [x]/(X^{2}+1).$ ^[५१] इस विस्तार क्षेत्र में $-1 के$ दो वर्गमूल हैं, अर्थात् ( कोसेट ) $X$ और $- X$ , क्रमशः। (कोसेट) $१$ और $एक्स$ वास्तविक सदिश समष्टि के रूपमें $ℝ[X]/(X २ + १) का$ आधार बनाते हैं, जिसका अर्थ है कि विस्तार क्षेत्र के प्रत्येक तत्व कोइन दो तत्वों मेंएक रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है. समान रूप से, विस्तार क्षेत्र के तत्वोंको वास्तविक संख्याओं केक्रमित युग्मों $($ $a$ $,$ $b$ $)$ केरूप में लिखा जा सकता है। भागफल अंगूठी, एक क्षेत्र है क्योंकि $एक्स$ $2$ $+ 1$ है अलघुकरणीय से अधिक $\mathbb {आर} ,$ इसलिए यह जो आदर्श उत्पन्न करता है वह अधिकतम है ।

रिंग में जोड़ और गुणा के सूत्र $\mathbb {R} [x],$ मॉड्यूलो संबंध $X 2 = -1$ , क्रमित युग्मों के रूप में परिभाषित सम्मिश्र संख्याओं के योग और गुणन के सूत्रों के अनुरूप है। तो क्षेत्र की दो परिभाषाएँ $\mathbb {सी}$ हैं isomorphic (फ़ील्ड के रूप में)।

इसे स्वीकार करना $\mathbb {सी}$ बीजगणित, बंद कर दिया है क्योंकि यह एक है बीजीय विस्तार की $ℝ$ इस दृष्टिकोण में, $\mathbb {सी}$ इसलिए . का बीजगणितीय समापन है $\mathbb {आर} ।$

सम्मिश्र संख्याओं का मैट्रिक्स निरूपण

सम्मिश्र संख्या $a + bi$ को $2 \times 2$ आव्यूहों द्वारा भी दर्शाया जा सकता है जिनका रूप है:

{\शुरू{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}

यहाँ प्रविष्टियाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। चूंकि ऐसे दो आव्यूहों का योग और गुणनफल पुनः इसी रूप का होता है, इसलिए ये आव्यूह वलय $2 \times 2$ आव्यूह का एक उपखंड बनाते हैं ।

एक साधारण गणना से पता चलता है कि नक्शा:

a+ib\mapsto {\start{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}

जटिल संख्याओं के क्षेत्र से इन आव्यूहों के वलय तक एक वलय समरूपता है। यह समरूपता एक जटिल संख्या के निरपेक्ष मान के वर्ग को संबंधित मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ जोड़ता है, और एक जटिल संख्या के संयुग्म को मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के साथ जोड़ता है।

सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के ज्यामितीय विवरण को सम्मिश्र संख्याओं और ऐसे आव्यूहों के बीच इस पत्राचार का उपयोग करके घूर्णन आव्यूहों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है । एक वेक्टर पर मैट्रिक्स की कार्रवाई $(एक्स, वाई)$ के गुणन से मेल खाती है $x + आईवाई$ द्वारा $एक + आईबी$ । विशेष रूप से, यदि सारणिक $1 है$ , तो एक वास्तविक संख्या $t है$ जैसे कि मैट्रिक्स का रूप है:

{\begin{pmatrix}r\cos t&-r\sin t\\r\sin t&\;\;r\cos t\end{pmatrix}}

इस मामले में, वैक्टर पर मैट्रिक्स की कार्रवाई और जटिल संख्या से गुणा $\cos t+i\sin t$ दोनों कोण $t$ के घूर्णन हैं ।

जटिल विश्लेषण

पाप

का रंग पहिया ग्राफ

(1/

z

)

। अंदर के काले भाग उन संख्याओं को संदर्भित करते हैं जिनमें बड़े निरपेक्ष मान होते हैं।

एक जटिल चर के कार्यों के अध्ययन को जटिल विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और इसका व्यावहारिक गणित के साथ-साथ गणित की अन्य शाखाओं में बहुत अधिक व्यावहारिक उपयोग होता है । अक्सर, वास्तविक विश्लेषण या सम संख्या सिद्धांत में कथनों के लिए सबसे प्राकृतिक प्रमाण जटिल विश्लेषण से तकनीकों का उपयोग करते हैं ( उदाहरण के लिए अभाज्य संख्या प्रमेय देखें )। वास्तविक कार्यों के विपरीत, जिन्हें आमतौर पर दो-आयामी ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जाता है, जटिल कार्यों में चार-आयामी ग्राफ़ होते हैं और चार आयामों का सुझाव देने के लिए, या जटिल फ़ंक्शन के गतिशील परिवर्तन को एनिमेट करके, तीन-आयामी ग्राफ को रंग-कोडिंग द्वारा उपयोगी रूप से चित्रित किया जा सकता है। जटिल विमान।

जटिल घातीय और संबंधित कार्य

अभिसरण श्रृंखला और (वास्तविक) विश्लेषण में निरंतर कार्यों की धारणाओं में जटिल विश्लेषण में प्राकृतिक एनालॉग होते हैं। सम्मिश्र संख्याओं के अनुक्रम को अभिसरण करने के लिए कहा जाता है यदि और केवल यदि इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग करते हैं। यह (ε, )-सीमा की परिभाषा के बराबर है , जहां वास्तविक संख्याओं का निरपेक्ष मान सम्मिश्र संख्याओं में से एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। अधिक $सारगर्भित$ दृष्टिकोण से, , मीट्रिक . से संपन्न है

\operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|

एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है , जिसमें विशेष रूप से त्रिभुज असमानता शामिल है

|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z 1$ और $z 2 के लिए$ ।

वास्तविक विश्लेषण की तरह, अभिसरण की इस धारणा का उपयोग कई प्राथमिक कार्यों के निर्माण के लिए किया जाता है : घातीय फ़ंक्शन $क्स्प z$ , जिसे $e z$ भी लिखा जाता है, को अनंत श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जाता है

\exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+ \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

वास्तविक त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करने वाली श्रृंखला साइन और कोसाइन , साथ ही अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य सिंह और कोश भी बिना बदलाव के जटिल तर्कों को आगे बढ़ाते हैं। अन्य त्रिकोणमितीय और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के लिए, जैसे स्पर्शरेखा , चीजें थोड़ी अधिक जटिल होती हैं, क्योंकि परिभाषित श्रृंखला सभी जटिल मूल्यों के लिए अभिसरण नहीं करती है। इसलिए, विश्लेषणात्मक निरंतरता की विधि का उपयोग करके उन्हें या तो साइन, कोसाइन और एक्सपोनेंशियल या समकक्ष रूप से परिभाषित करना चाहिए ।

यूलर का सूत्र कहता है:

\exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi

किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $φ$ , विशेष रूप से

\exp(i\pi )=-1

वास्तविक संख्या की स्थिति के विपरीत, वहाँ एक है अनन्तता जटिल समाधान के $z$ समीकरण का

\exp z=w

किसी भी सम्मिश्र संख्या $w 0 के लिए$ । यह दिखाया जा सकता है कि ऐसा कोई भी समाधान $z$ - जिसे $w$ का सम्मिश्र लघुगणक कहा जाता है - संतुष्ट करता है

\log w=\ln |w|+i\arg w,

जहां arg ऊपर परिभाषित तर्क है , और ln (वास्तविक) प्राकृतिक लघुगणक है । आर्ग एक है बहुमान समारोह , अद्वितीय केवल ऊपर की एक बहु के लिए $2$ $π$ , लॉग भी multivalued है। प्रमुख मूल्य लॉग का अक्सर करने के लिए काल्पनिक हिस्सा सीमित कर लिया जाता है अंतराल $- ($ $π$ $,$ $π$ $]$ ।

परिसर घातांक $z ω$ के रूप में परिभाषित किया गया है

z^{\omega }=\exp(\omega \log z),

और बहु मूल्यवान है, जब सिवाय $ω$ एक पूर्णांक है। के लिए $ω = 1 / n$ , कुछ प्राकृतिक संख्या $n$ , इस ठीक हो जाए की गैर विशिष्टता $n$ वें जड़ों से ऊपर उल्लेख किया है।

जटिल संख्याएं, वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सामान्य रूप से असंशोधित शक्ति और लघुगणक पहचानों को संतुष्ट नहीं करती हैं, खासकर जब भोलेपन से एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में व्यवहार किया जाता है; शक्ति और लघुगणक पहचान की विफलता देखें । उदाहरण के लिए, वे संतुष्ट नहीं हैं

a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.

समीकरण के दोनों पक्ष यहां दिए गए जटिल घातांक की परिभाषा से बहुमान हैं, और बाईं ओर के मान दाईं ओर के सबसेट हैं।

होलोमोर्फिक कार्य

एक समारोह च : $ℂ$ → $ℂ$ कहा जाता है होलोमार्फिक अगर यह संतुष्ट कॉची-Riemann समीकरणों । उदाहरण के लिए, किसी भी ℝ रेखीय नक्शा $ℂ$ → $ℂ$ रूप में लिखा जा सकता है

f(z)=az+b{\overline {z}}

जटिल गुणांक $a$ और $b के साथ$ । यह नक्शा होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर $b = 0$ । दूसरा सारांश $b{\overline {z}}$ वास्तविक अवकलनीय है, लेकिन कॉची-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है ।

जटिल विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक विश्लेषण में कुछ विशेषताएं स्पष्ट नहीं हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी दो holomorphic कार्य $च$ और $छ$ है कि एक मनमाने ढंग से छोटे पर सहमत हैं खुला सबसेट की $ℂ$ जरूरी हर जगह सहमत हैं। मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन , फ़ंक्शन जिन्हें स्थानीय रूप से $f (z)/(z - z 0) n$ के रूप में एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $f के$ साथ लिखा जा सकता है , फिर भी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन की कुछ विशेषताओं को साझा करते हैं। अन्य कार्यों आवश्यक विशिष्टता , जैसे $पाप (1 / z)$ में $जेड = 0$ ।

अनुप्रयोग

सिग्नल प्रोसेसिंग , नियंत्रण सिद्धांत , विद्युत चुंबकत्व , द्रव गतिकी , क्वांटम यांत्रिकी , कार्टोग्राफी और कंपन विश्लेषण सहित कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में जटिल संख्याओं के अनुप्रयोग हैं । इनमें से कुछ अनुप्रयोगों का वर्णन नीचे किया गया है।

ज्यामिति

आकार

तीन असंरेखीय बिंदु $यू,वी,डब्ल्यू$ समतल में त्रिभुज का आकार निर्धारित करें $\{u,v,w\}$ . जटिल तल में बिंदुओं का पता लगाना, त्रिभुज के इस आकार को जटिल अंकगणित द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

S(u,v,w)={\frac {uw}{uv}}.

आकार ${\डिस्प्लेस्टाइल एस}$ एक त्रिभुज का एक समान रहेगा, जब जटिल विमान को अनुवाद या फैलाव (एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन द्वारा ), आकार की सहज धारणा के अनुरूप, और समानता का वर्णन करके बदल दिया जाता है । इस प्रकार प्रत्येक त्रिभुज $\{u,v,w\}$ एक में है समानता वर्ग एक ही आकार के साथ त्रिकोण के। ^[52]

भग्न ज्यामिति

मैंडलब्रॉट लेबल की गई वास्तविक और काल्पनिक कुल्हाड़ियों के साथ सेट है।

मैंडलब्रॉट सेट एक भग्न जटिल विमान पर गठित की एक लोकप्रिय उदाहरण है। इसे हर स्थान की साजिश रचकर परिभाषित किया गया है ${\डिस्प्लेस्टाइल सी}$ जहां अनुक्रम को पुनरावृत्त करना $f_{c}(z)=z^{2}+c$ असीम रूप से पुनरावृत्त होने पर विचलन नहीं करता है । इसी तरह, जूलिया सेट के समान नियम हैं, सिवाय जहां ${\डिस्प्लेस्टाइल सी}$ स्थिर रहता है।

त्रिभुज

प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय स्टीनर इनलिप्स होता है - त्रिभुज के अंदर एक दीर्घवृत्त और त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिंदुओं की स्पर्शरेखा। फोकी एक त्रिकोण के स्टेनर inellipse की के अनुसार इस प्रकार पाया जा सकता है, मार्डेन की प्रमेय : ^[53]^[54] को निरूपित जटिल समतल में त्रिकोण के कोने $एक = एक्स ए + y एक मैं$ , $ख = एक्स बी + y बी मैं$ , और $सी = एक्स सी + वाई सी मैं$ । घन समीकरण लिखें $(एक्सए)(एक्सबी)(एक्ससी)=0$ , इसका व्युत्पन्न लें, और (द्विघात) व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें। मार्डेन के प्रमेय का कहना है कि इस समीकरण के समाधान जटिल संख्याएं हैं जो स्टीनर इनलिप्स के दो फॉसी के स्थानों को दर्शाती हैं।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत

स्ट्रेटएज और कंपास का उपयोग करके एक नियमित पेंटागन का निर्माण ।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी गैर-स्थिर बहुपद समीकरण (जटिल गुणांकों में) का समाधान in में $होता है$ । यदि समीकरण में परिमेय गुणांक हैं, तो एक फ़ोर्टियोरी, वही सत्य है। ऐसे समीकरणों की जड़ों को बीजगणितीय संख्याएँ कहा जाता है - वे बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अध्ययन की एक प्रमुख वस्तु हैं । की तुलना में $ℚ$ , के बीजीय बंद $ℚ$ है, जो भी सभी बीजीय संख्या में शामिल है, $ℂ$ ज्यामितीय शब्दों में आसानी से समझ में होने का लाभ है। इस तरह, ज्यामितीय प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए बीजीय विधियों का उपयोग किया जा सकता है और इसके विपरीत। बीजीय तरीकों, और अधिक विशेष की मशीनरी को लागू करने के साथ क्षेत्र सिद्धांत को नंबर क्षेत्र युक्त एकता की जड़ों , यह दिखाया जा सकता है कि यह संभव एक नियमित रूप से निर्माण करने के लिए नहीं है nonagon केवल कम्पास और स्ट्रेटएज का उपयोग कर - एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय समस्या।

एक अन्य उदाहरण गाऊसी पूर्णांक हैं , $अर्थात्$ , $x + iy$ के रूप की संख्याएँ , जहाँ $x$ और $y$ पूर्णांक हैं, जिनका उपयोग वर्गों के योगों को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है ।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत इस तथ्य का लाभ उठाकर संख्याओं, अक्सर पूर्णांक या परिमेय का अध्ययन करता है कि उन्हें जटिल संख्या के रूप में माना जा सकता है, जिसमें विश्लेषणात्मक विधियों का उपयोग किया जा सकता है। यह जटिल-मूल्यवान कार्यों में संख्या-सैद्धांतिक जानकारी को एन्कोड करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन $(s)$ अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित है ।

अनुचित अभिन्न

अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में, जटिल-मूल्यवान कार्यों के माध्यम से, कुछ वास्तविक-मूल्यवान अनुचित समाकलों की गणना करने के लिए अक्सर जटिल संख्याओं का उपयोग किया जाता है । ऐसा करने के लिए कई तरीके मौजूद हैं; समोच्च एकीकरण के तरीके देखें ।

गतिशील समीकरण

में अंतर समीकरण , यह पहली लगाने के लिए सभी जटिल जड़ों आम है $r$ की विशेषता समीकरण एक के रेखीय समीकरण या समीकरण प्रणाली और उसके बाद फार्म के आधार कार्य के मामले में प्रणाली का समाधान करने का प्रयास $च (टी) = ई आर टी$ । इसी तरह, अंतर समीकरणों में , अंतर समीकरण प्रणाली के विशिष्ट समीकरण के जटिल जड़ों $r$ का उपयोग किया जाता है, सिस्टम को $f (t) = r t के$ रूप के आधार कार्यों के संदर्भ में हल करने का प्रयास करने के लिए ।

अनुप्रयुक्त गणित में

नियंत्रण सिद्धांत

में नियंत्रण सिद्धांत , सिस्टम अक्सर से बदल रहे समय डोमेन के लिए आवृत्ति डोमेन का उपयोग कर लाप्लास बदलना । सिस्टम के शून्य और ध्रुवों का विश्लेषण जटिल विमान में किया जाता है । जड़ ठिकाना , Nyquist साजिश , और निकोल्स साजिश तकनीक जटिल विमान के सभी मेकअप उपयोग।

रूट लोकस विधि में, यह महत्वपूर्ण है कि क्या शून्य और ध्रुव बाएं या दाएं आधे विमानों में हैं, यानी वास्तविक भाग शून्य से अधिक या कम है। यदि एक रेखीय, समय-अपरिवर्तनीय (LTI) प्रणाली में ध्रुव हैं जो हैं

दाहिने आधे तल में, यह अस्थिर होगा ,
सभी बाएं आधे तल में, यह स्थिर रहेगा ,
काल्पनिक अक्ष पर, इसकी सीमांत स्थिरता होगी ।

यदि किसी प्रणाली के दाहिने आधे तल में शून्य है, तो यह एक गैर-न्यूनतम चरण प्रणाली है।

सिग्नल विश्लेषण

समय-समय पर अलग-अलग संकेतों के लिए सुविधाजनक विवरण के लिए सिग्नल विश्लेषण और अन्य क्षेत्रों में जटिल संख्याओं का उपयोग किया जाता है । वास्तविक भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने वाले वास्तविक कार्यों के लिए, अक्सर साइन और कोसाइन के संदर्भ में, संबंधित जटिल कार्यों पर विचार किया जाता है, जिनमें से वास्तविक भाग मूल मात्रा होते हैं। एक के लिए साइन वेव एक दिया की आवृत्ति , निरपेक्ष मूल्य $| जेड |$ इसी के $z$ है आयाम और तर्क $आर्ग z$ है चरण ।

यदि फूरियर विश्लेषण को किसी दिए गए वास्तविक-मूल्यवान सिग्नल को आवधिक कार्यों के योग के रूप में लिखने के लिए नियोजित किया जाता है, तो इन आवधिक कार्यों को अक्सर फॉर्म के जटिल मूल्यवान कार्यों के रूप में लिखा जाता है

x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}

तथा

X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}

जहाँ कोणीय आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है और सम्मिश्र संख्या A ऊपर बताए अनुसार चरण और आयाम को कूटबद्ध करता है।

इस उपयोग को डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग और डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग में भी विस्तारित किया गया है , जो डिजिटल ऑडियो सिग्नल, स्टिल इमेज और वीडियो सिग्नल को प्रसारित करने, संपीड़ित करने , पुनर्स्थापित करने और अन्यथा संसाधित करने के लिए फूरियर विश्लेषण (और वेवलेट विश्लेषण) के डिजिटल संस्करणों का उपयोग करता है।

AM रेडियो के आयाम मॉडुलन के दो पार्श्व बैंडों के लिए प्रासंगिक एक अन्य उदाहरण है:

{\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^ {i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t) }+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e ^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos (\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}

भौतिकी में

विद्युत चुंबकत्व और विद्युत इंजीनियरिंग

में इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग , फूरियर परिणत अलग विश्लेषण करने के लिए प्रयोग किया जाता है वोल्टेज और धाराओं । प्रतिरोधों , संधारित्रों और प्रेरकों के उपचार को बाद के दो के लिए काल्पनिक, आवृत्ति-निर्भर प्रतिरोधों को पेश करके और तीनों को एक ही जटिल संख्या में जोड़कर एकीकृत किया जा सकता है जिसे प्रतिबाधा कहा जाता है । इस दृष्टिकोण को फेजर कैलकुलस कहा जाता है।

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, $I के$ साथ भ्रम से बचने के लिए, काल्पनिक इकाई को $j$ द्वारा निरूपित किया जाता है , जो आम तौर पर विद्युत प्रवाह को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है , या, विशेष रूप से, $i$ , जो आमतौर पर तात्कालिक विद्युत प्रवाह को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है।

चूंकि एक एसी सर्किट में वोल्टेज दोलन कर रहा है, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),

मापने योग्य मात्रा प्राप्त करने के लिए, वास्तविक भाग लिया जाता है:

v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t ।

जटिल-मूल्यवान सिग्नल $वी (टी)$ को वास्तविक-मूल्यवान, मापने योग्य सिग्नल $वी$ $($ $टी$ $)$ का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व कहा जाता है । ^[55]

द्रव गतिविज्ञान

में तरल गतिकी , जटिल कार्यों का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है दो आयामों में संभावित प्रवाह ।

क्वांटम यांत्रिकी

जटिल संख्या क्षेत्र क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय फॉर्मूलेशन के लिए आंतरिक है , जहां जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान एक ऐसे फॉर्मूलेशन के लिए संदर्भ प्रदान करता है जो सुविधाजनक और शायद सबसे मानक है। क्वांटम यांत्रिकी के मूल आधार सूत्र - श्रोडिंगर समीकरण और हाइजेनबर्ग के मैट्रिक्स यांत्रिकी - जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।

सापेक्षता

में विशेष और सामान्य सापेक्षता , पर मीट्रिक के लिए कुछ फ़ार्मुलों अन्तरिक्ष आसान हो अगर एक अंतरिक्ष समय सातत्य का समय घटक लेता है काल्पनिक होने के लिए। (यह दृष्टिकोण नहीं रह गया है शास्त्रीय सापेक्षता में मानक है, लेकिन है एक अनिवार्य तरह से इस्तेमाल किया में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ।) परिसर संख्या के लिए आवश्यक हैं spinors , जिनमें से एक सामान्यीकरण हैं tensors सापेक्षता में इस्तेमाल किया।

सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएं

Cayley Q8 quaternion ग्राफ i , j और k . द्वारा गुणन के चक्रों को दर्शाता है

क्षेत्र के विस्तार की प्रक्रिया $\mathbb {आर}$ वास्तविक के $\mathbb {सी}$ केली-डिकसन निर्माण के रूप में जाना जाता है । इसे आगे उच्च आयामों तक ले जाया जा सकता है, जो quaternions की उपज है $\mathbb {एच}$ और अष्टक $\mathbb {ओ}$ जो (वास्तविक सदिश समष्टि के रूप में) क्रमशः 4 और 8 विमाओं के हैं। इस संदर्भ में सम्मिश्र संख्याओं को द्विअर्थी कहा गया है । ^[56]

जिस तरह निर्माण को वास्तविक पर लागू करने से ऑर्डर देने की संपत्ति खो जाती है, वास्तविक और जटिल संख्याओं से परिचित गुण प्रत्येक विस्तार के साथ गायब हो जाते हैं। Quaternions खो commutativity, यह है कि, $एक्स \cdot y \neq y \cdot एक्स$ कुछ quaternions के लिए $x, y$ , और के गुणन Octonions , विनिमेय नहीं किया जा रहा है इसके साथ ही, साहचर्य होने के लिए विफल रहता है: $(एक्स \cdot y) \cdot जेड \neq एक्स \cdot (y \cdot z)$ कुछ अष्टक $x, y, z के लिए$ ।

वास्तविक, सम्मिश्र संख्या, चतुर्भुज और अष्टक सभी मानक विभाजन बीजगणित हैं $\mathbb {आर}$ द्वारा Hurwitz प्रमेय वे केवल लोगों को कर रहे हैं; sedenions , केली-डिक्सन निर्माण में अगला कदम है, इस संरचना है असफल।

केली-डिकसन निर्माण के नियमित प्रतिनिधित्व से निकटता से संबंधित है $\mathbb {सी} ,$ एक के रूप में सोचा $\mathbb {आर}$ - बीजगणित (एक $ℝ$ एक गुणा के साथ -vector अंतरिक्ष), आधार के संबंध में $(1, मैं)$ । इसका मतलब निम्नलिखित है: $\mathbb {आर}$ -रेखीय नक्शा

{\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}

कुछ निश्चित सम्मिश्र संख्या के लिए $w$ को $2 \times 2$ आव्यूह द्वारा निरूपित किया जा सकता है (एक बार आधार चुन लेने के बाद)। आधार $(1, i) के संबंध में$ , यह मैट्रिक्स है

{\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix }},

अर्थात्, ऊपर दिए गए सम्मिश्र संख्याओं के मैट्रिक्स निरूपण पर अनुभाग में उल्लिखित है। जबकि यह का रैखिक प्रतिनिधित्व है $\mathbb {सी}$ 2 × 2 वास्तविक आव्यूह में, यह केवल एक ही नहीं है। कोई भी मैट्रिक्स

J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0

संपत्ति है कि अपने वर्ग पहचान मैट्रिक्स के नकारात्मक है: $जम्मू 2 = - मैं$ । फिर

\{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}

क्षेत्र के लिए भी समरूपी है $\mathbb {सी} ,$ और एक वैकल्पिक जटिल संरचना देता है $\mathbb {R} ^{2}.$ यह एक रैखिक जटिल संरचना की धारणा द्वारा सामान्यीकृत है ।

हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर भी सामान्यीकृत करते हैं $\mathbb {आर} ,$ $\mathbb {सी} ,$ $\mathbb {एच} ,$ तथा $\mathbb {ओ} ।$ उदाहरण के लिए, इस धारणा में विभाजित-जटिल संख्याएँ हैं , जो वलय के तत्व हैं $\mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)$ (विरोध के रूप में $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ जटिल संख्याओं के लिए)। इस वलय में, समीकरण $a 2 = 1$ के चार हल हैं।

फील्ड $\mathbb {आर}$ का समापन है $\mathbb {क्यू} ,$ सामान्य निरपेक्ष मान मीट्रिक के संबंध में परिमेय संख्याओं का क्षेत्र । के अन्य विकल्पों के मैट्रिक्स पर $\mathbb {क्यू}$ खेतों की ओर ले जाएं $\mathbb {क्यू} _{p}$ के पी -adic संख्या (किसी के लिए अभाज्य संख्या $पी$ ) है, जो इस तरह के अनुरूप हैं $ℝ$ । पूरा करने के कोई अन्य गैर-तुच्छ तरीके नहीं हैं $\mathbb {क्यू}$ से $\mathbb {आर}$ तथा $\mathbb {क्यू} _{p},$ ओस्ट्रोवस्की के प्रमेय द्वारा । बीजीय बंद ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ का $\mathbb {क्यू} _{p}$ अभी भी एक मानदंड है, लेकिन (विपरीत $\mathbb {सी}$ ) के संबंध में पूर्ण नहीं हैं। पूर्ण $\mathbb {सी} _{p}$ का ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ बीजगणितीय रूप से बंद हो जाता है। सादृश्य द्वारा, क्षेत्र को $p$ -adic सम्मिश्र संख्याएँ कहा जाता है ।

खेत $\mathbb {आर} ,$ $\mathbb {क्यू} _{p},$ और उनके परिमित क्षेत्र विस्तार, जिनमें शामिल हैं $\mathbb {सी} ,$ स्थानीय क्षेत्र कहलाते हैं ।

यह सभी देखें

बीजीय सतह
सम्मिश्र संख्याओं का प्रयोग करते हुए वृत्तीय गति
जटिल-आधार प्रणाली
जटिल ज्यामिति
दोहरी-जटिल संख्या
ईसेनस्टीन पूर्णांक
यूलर की पहचान
ज्यामितीय बीजगणित (जिसमें 2-आयामी स्पिनर उप - स्थान के रूप में जटिल विमान शामिल है ${\mathcal {G}}_{2}^{+}$ )
एकता की जड़
इकाई सम्मिश्र संख्या

^ "जटिल संख्याएं, जितनी वास्तविक हैं, और शायद इससे भी अधिक, प्रकृति के साथ एकता पाते हैं जो वास्तव में उल्लेखनीय है। ऐसा लगता है कि प्रकृति स्वयं जटिल-संख्या प्रणाली के दायरे और स्थिरता से उतनी ही प्रभावित है जितनी हम स्वयं हैं, और इन नंबरों को अपनी दुनिया के सटीक संचालन को अपने सबसे छोटे पैमाने पर सौंपा है।" - आर. पेनरोज़ (२०१६, पृष्ठ ७३)^[५]
^ "द प्लेन $\mathbb {आर} ^{2}$ जिनके बिंदुओं की पहचान के तत्वों से की जाती है $\mathbb {सी}$ जटिल विमान कहा जाता है" ... "संमिश्र संख्याओं और उन पर संचालन की पूर्ण ज्यामितीय व्याख्या पहली बार सी। वेसल (1799) के काम में दिखाई दी। जटिल संख्याओं का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व, जिसे कभी-कभी "अर्गंड आरेख" कहा जाता है, 1806 और 1814 में जेआर अरगंड द्वारा प्रकाशित किए जाने के बाद उपयोग में आया, जिन्होंने बड़े पैमाने पर स्वतंत्र रूप से, वेसल के निष्कर्षों को फिर से खोजा। - ( सोलोमेंटसेव 2001 )
^ आधुनिक संकेतन में, टार्टाग्लिया का समाधान दो घनमूलों के योग के घन के विस्तार पर आधारित है: $\बाएं({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)^{3}=3{\sqrt[{3}]{uv }}\बाएं({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)+u+v$ साथ में $x={\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}$ , $p=3{\sqrt[{3}]{uv}}$ , $q=u+v$ , $u$ और $v$ को $p$ और $q के$ रूप में व्यक्त किया जा सकता है $u=q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ तथा $v=q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ , क्रमशः। इसलिए, $x={\sqrt[{3}]{q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}+{\sqrt[ {3}]{q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}$ . कब $(क्यू/2)^{2}-(पी/3)^{3}$ ऋणात्मक है (कैसस इरेड्यूसिबिलिस), दूसरे घनमूल को पहले वाले के जटिल संयुग्म के रूप में माना जाना चाहिए।
^ यह साबित हो गया है कि जब समीकरण के तीन वास्तविक, भिन्न मूल होते हैं, तो काल्पनिक संख्याएं घन सूत्र में प्रकट होती हैं, 1843 में पियरे लॉरेंट वांटजेल, 1890 में विन्सेन्ज़ो मोलामे, 1891 में ओटो होल्डर और 1892 में एडॉल्फ केसर द्वारा। पाओलो रफिनी भी १७९९ में एक अधूरा प्रमाण प्रदान किया। - एस. कॉन्फैलोनिएरी (२०१५)^[२१]
^ अरगंड (१८१४)^[३७]^{( पी २०४ )} एक सम्मिश्र संख्या के मापांक को परिभाषित करता है, लेकिन वह इसका नाम नहीं लेता है:
"डांस सी क्यूई सूट, लेस एक्सेन्स, इंडिफेरेममेंट प्लेसेस, सेरोन्ट एम्प्लॉयज पोर इंडिकर ला ग्रैंड्योर एब्सोल्यू डेस क्वांटिटेस क्व' आईएलएस प्रभावकारी; ऐंसी, एसआई $a=m+n{\sqrt {-1}}$ , ${\डिस्प्लेस्टाइल एम}$ एट ${\डिस्प्लेस्टाइल n}$ ईटेंट रील्स, देवरा एंटेन्डर क्यू पर $a_{'}$ कहां $a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ ।"
[इस प्रकार, उच्चारण चिह्न, जहां कहीं भी रखे जाते हैं, का उपयोग उन मात्राओं के पूर्ण आकार को इंगित करने के लिए किया जाएगा जिन्हें उन्हें सौंपा गया है; इस प्रकार यदि $a=m+n{\sqrt {-1}}$ , ${\डिस्प्लेस्टाइल एम}$ तथा ${\डिस्प्लेस्टाइल n}$ वास्तविक होने के नाते, यह समझना चाहिए कि $a_{'}$ या $a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ ।]
अरगंड ^[३७]^{( पी २०८ )} एक जटिल संख्या के मॉड्यूल और दिशा कारक को परिभाषित और नाम देता है : "... $a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ पोर्राइट ट्रे अपेल ले मॉड्यूल डी $a+b{\sqrt {-1}}$ , एट रिप्रेजेंटरएट ला ग्रैंड्योर एब्सोल्यू डे ला लिग्ने $a+b{\sqrt {-1}}$ , टंडिस क्यू ल'ऑट्रे फैक्ट्यूर, डोंट ले मॉड्यूल इस्ट ल यूनिट, एन रिप्रेजेंटरैट ला डायरेक्शन।"
[... $a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ का मॉड्यूल कहा जा सकता है $a+b{\sqrt {-1}}$ और रेखा के पूर्ण आकार का प्रतिनिधित्व करेंगे $a+b{\sqrt {-1}}\,,$ (ध्यान दें कि Argand जटिल संख्याओं को सदिशों के रूप में दर्शाता है।) जबकि अन्य कारक [अर्थात्, ${\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}} }}{\वर्ग {-1}}$ ], जिसका मॉड्यूल एकता है [1], इसकी दिशा का प्रतिनिधित्व करेगा।] ^[37]
^ गॉस (1831)^[29]^{( पी 96 )} लिखते हैं
"Quemadmodum ही Arithmetica sublimior में quaestionibus hactenus pertractatis अंतर एकल numeros integros versatur, आईटीए theoremata लगभग residua biquadratica Tunc tantum में सुम्मा simplicitate Reales एसी Genuina venustate चमकीला, quando परिसर अरिथमेटिकी विज्ञापन quantitates imaginarias एक्स्टेंडिटूर, इटा यूट एब्स रेस्ट्रिक्शन इप्सियस ओबिएक्टम कॉन्सट्यूएंट न्यूमेरी फॉर्मे ए + बाय , डेनोटेंटिबस आई , प्रो मोर क्वांटिटेटम इमेजिनेरियम √ −1 , एटक ए, बी अनिश्चित ओमनेस न्यूमेरोस रियल्स इंटीग्रोस इंटर - $\infty$ एट + $\infty$ । "
[बेशक बस के रूप में उच्च गणित अब तक केवल वास्तविक पूर्णांक संख्याओं में समस्याओं में जांच की गई है, इसलिए द्विवर्ग अवशेषों तो सबसे बड़ी सादगी और वास्तविक सुंदरता, में चमक जब गणित के क्षेत्र के लिए बढ़ा दिया गया है के बारे में प्रमेयों काल्पनिक मात्रा, ताकि , इस पर प्रतिबंध के बिना, फॉर्म की संख्या a + bi - i परंपरा द्वारा काल्पनिक मात्रा √ −1 को दर्शाती है , और चर a, b [अंकित] के बीच सभी वास्तविक पूर्णांक संख्याएं $-\infty$ तथा $+\infty$ - एक वस्तु का गठन।] ^[२९]
^ गॉस (१८३१)^[२९]^{( पी ९६ )}
"टेल्स न्यूमेरोस वोकैबिमस न्यूमेरोस इंटेग्रोस कॉम्प्लेक्सोस, इटा क्विडेम, यूट रियल्स कॉम्प्लेक्सिस नॉन ओपोनेंटूर, सेड टैमक्वम प्रजाति सब हिज कॉन्टिनेरी सेन्सेंटूर।"
[हम ऐसी संख्याओं को [अर्थात्, a + bi के रूप की संख्याएँ] "जटिल पूर्णांक संख्याएँ"कहेंगे, ताकि वास्तविक [संख्याओं] को सम्मिश्र [संख्याओं] के विपरीत नहीं माना जाए, बल्कि [as] एक प्रकार का [संख्या का] ], इसलिए बोलने के लिए, उनके भीतर निहित है।]^[29]
^ गॉस (1831)^[29]^{( पी 98 )}
"Productum numeri complexi प्रति numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus। प्रो नोर्मा itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum अनु।"
[हम किसी सम्मिश्र संख्या का गुणनफल "मानदंड" कहते हैं [जैसे,. a + ib ] इसके संयुग्म [ a - ib ] के साथ। इसलिए एक वास्तविक संख्या के वर्ग को उसका आदर्श माना जाना चाहिए।]^[29]
^ हालांकि जटिल घातांक फ़ंक्शन (और ऊपर परिभाषित मूल मूल्य नहीं) के एक और उलटा कार्य के लिए, शाखा कटौतीको मूल के माध्यमसे किसी भी अन्य किरण पर लिया जा सकता है।

संदर्भ

^ "काल्पनिक" संख्याओं के इतिहास के विस्तृत विवरण के लिए, प्रारंभिक संशयवाद से लेकर अंतिम स्वीकृति तक, बॉर्बकी, निकोलस (1998) देखें। "गणित की नींव तर्क: सेट सिद्धांत"। गणित के इतिहास के तत्व । स्प्रिंगर। पीपी। 18-24।
^ ए बी सी "बीजगणित प्रतीकों की व्यापक सूची" । मठ तिजोरी । 25 मार्च 2020 । 12 अगस्त 2020 को लिया गया ।
^ ए बी सी "जटिल संख्या" । www.mathsisfun.com . 12 अगस्त 2020 को लिया गया ।
^ "जटिल संख्या" । शानदार गणित और विज्ञान विकी । 12 अगस्त 2020 को लिया गया ।
^ पेनरोज़, रोजर (2016)। द रोड टू रियलिटी: ए कम्प्लीट गाइड टू लॉज़ ऑफ़ द यूनिवर्स (रीप्रिंट एड.). आकस्मिक घर। पीपी। 72-73। आईएसबीएन 978-1-4464-1820-8.
^ एक्सलर, शेल्डन (2010)। कॉलेज बीजगणित । विले। पी २६२ . आईएसबीएन ९७८०४७०४७०७७०.
^ स्पीगेल, एमआर; लिप्सचुट्ज़, एस.; शिलर, जे जे; स्पेलमैन, डी. (14 अप्रैल 2009)। जटिल चर । शाउम की आउटलाइन सीरीज़ (दूसरा संस्करण)। मैकग्रा हिल। आईएसबीएन 978-0-07-161569-3.
^ औफमैन, रिचर्ड एन.; बार्कर, वर्नोन सी.; नेशन, रिचर्ड डी. (2007). "अध्याय पी" । कॉलेज बीजगणित और त्रिकोणमिति (6 संस्करण)। सेनगेज लर्निंग। पी 66. आईएसबीएन 978-0-618-82515-8.
^ (बॉर्बकी 1998 , VIII.1)
^ देखें ( अहलफोर्स १९७९ )।
^ ब्राउन, जेम्स वार्ड; चर्चिल, रुएल वी. (1996)। जटिल चर और अनुप्रयोग (6 वां संस्करण)। न्यूयॉर्क: मैकग्रा-हिल। पी 2. आईएसबीएन 978-0-07-912147-9. इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, i के बजाय j अक्षर का उपयोग किया जाता है ।
^ पेडो, डैन (1988)। ज्यामिति: एक व्यापक पाठ्यक्रम । डोवर। आईएसबीएन 978-0-486-65812-4.
^ ए बी वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "कॉम्प्लेक्स नंबर" । मैथवर्ल्ड.वोल्फ्राम.कॉम । 12 अगस्त 2020 को लिया गया ।
^ देखें ( अपोस्टोल १९८१ ), पृष्ठ १८.
^ कसाना, एच एस (2005). "अध्याय 1" । जटिल चर: सिद्धांत और अनुप्रयोग (द्वितीय संस्करण)। पीएचआई लर्निंग प्रा। लिमिटेड पी. 14. आईएसबीएन 978-81-203-2641-5.
^ निल्सन, जेम्स विलियम; रीडेल, सुसान ए (2008)। "अध्याय 9" । इलेक्ट्रिक सर्किट (8 वां संस्करण)। शागिर्द कक्ष। पी 338. आईएसबीएन SB 978-0-13-198925-2.
^ क्लाइन, मॉरिस। गणितीय विचार का इतिहास, खंड १ । पी २५३.
^ काट्ज, विक्टर जे. (2004). "9.1.4"। गणित का इतिहास, संक्षिप्त संस्करण । एडिसन-वेस्ले । आईएसबीएन 978-0-321-16193-2.
^ हैमिल्टन, डब्ल्यू। (1844)। "चतुर्भुज के सिद्धांत से जुड़ी काल्पनिक मात्राओं की एक नई प्रजाति पर" । रॉयल आयरिश अकादमी की कार्यवाही । २ : ४२४-४३४।
^ नहीं, पॉल जे। (2007)। एक काल्पनिक कथा: की कहानी √ -1 । प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस । आईएसबीएन 978-0-691-12798-9. मूल से 12 अक्टूबर 2012 को संग्रहीत । 20 अप्रैल 2011 को लिया गया ।
^ ए बी कन्फालोनिएरी, सारा (2015)। घन समीकरणों के लिए कैसस इरेड्यूसिबिलिस से बचने का अप्राप्य प्रयास: गेरोलामो कार्डानो का डी रेगुला अलीज़ा । स्प्रिंगर। पीपी. 15-16 (नोट 26)। आईएसबीएन ९७८-३६५८०९२७५७.
^ डेसकार्टेस, रेने (1954) [1637]। ला जियोमेट्री | रेने डेसकार्टेस की ज्यामिति पहले संस्करण की प्रतिकृति के साथ । डोवर प्रकाशन । आईएसबीएन 978-0-486-60068-0. 20 अप्रैल 2011 को लिया गया ।
^ यूलर, लियोनार्ड (1748)। एनालिसिन इनफिनिटोरम में परिचय [ अनंत के विश्लेषण का परिचय ] (लैटिन में)। खंड 1. ल्यूसर्न, स्विट्ज़रलैंड: मार्क मिशेल बॉस्केट एंड कंपनी पी। १०४. |volume=अतिरिक्त पाठ है ( सहायता )
^ वेसल, कैस्पर (1799)। "ओम डायरेक्शनेंस एनालिटिस्के बेटगनिंग, एट फोरसोग, एनवेंड्ट फॉरनेमेलिग टिल प्लेन और स्फेरिस्के पॉलीगोनर्स ओप्लोसिंग" [दिशा के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व पर, विशेष रूप से विमान और गोलाकार बहुभुज के निर्धारण के लिए लागू एक प्रयास]। कोंगेलिगे डांस्के विडेंस्केबर्नेस सेल्स्कैब्स स्किफ्टर [रॉयल डेनिश साइंस सोसाइटी के लेखन का नया संग्रह] (डेनिश में)। ५ : ४६ ९ -५१८।
^ वालिस, जॉन (१६८५)। बीजगणित का एक ग्रंथ, ऐतिहासिक और व्यावहारिक दोनों… । लंदन, इंग्लैंड: रिचर्ड डेविस के लिए जॉन प्लेफोर्ड द्वारा मुद्रित। पीपी 264-273।
^ अरगंड (1806)। Essai sur une manière de representer les quantités imaginaires dans les Construction géométrices [ ज्यामितीय निर्माणों द्वारा जटिल मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के तरीके पर निबंध ] (फ्रेंच में)। पेरिस, फ्रांस: मैडम वीउवे ब्लैंक।
^ गॉस, कार्ल फ़्रेडरिक (१७९९) "डिमॉन्स्ट्रेटियो नोवा थियोरेमेटिस ओम्नेम फंक्शनम अलजेब्रिकम रेशनलम इंटीग्रम यूनीस वेरिएबिलिस इन फैक्टर्स रियल्स प्राइमी वेल सेकेंडी ग्रैडस रिसोल्वी पोज़।" [प्रमेय का नया प्रमाण कि किसी एकल चर के किसी भी तर्कसंगत अभिन्न बीजगणितीय कार्य को पहली या दूसरी डिग्री के वास्तविक कारकों में हल किया जा सकता है।] पीएच.डी. थीसिस, हेलमस्टेड विश्वविद्यालय, (जर्मनी)। (लैटिन में)
^ ए बी इवाल्ड, विलियम बी (1996)। कांट से हिल्बर्ट तक: गणित की नींव में एक स्रोत पुस्तक । १ . ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस। पी 313. आईएसबीएन ९७८०१९८५०५३५८. 18 मार्च 2020 को लिया गया ।
^ ए बी सी डी ई एफ जी एच गॉस, सीएफ (1831)। "थियोरिया रेसिडुओरम बाइक्वाड्रैटिकोरम। कमेंटैटियो सेकुंडा" [ द्विघात अवशेषों का सिद्धांत। दूसरा संस्मरण।]। टिप्पणियाँ सोसाइटैटिस रेजिया साइंटियारम गोटिंगेंसिस रीसेंटियोरेस (लैटिन में)। 7 : 89-148।
^ एड्रियन क्वेंटिन बुई (१७४५-१८४५): मैकट्यूटोरो
^ बुई (1806)। "मेमोइरे सुर लेस क्वांटिटेस इमेजिनेयर्स" [काल्पनिक मात्राओं पर संस्मरण]। लंदन की रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेन-देन (फ्रेंच में)। 96 : 23-88। डीओआई : 10.1098/rstl.1806.0003 । S2CID 110394048 ।
^ मौरे, सीवी (1861)। La vraies theore des quantités négatives et des quantités pretendues imaginaires [ ऋणात्मक मात्राओं और कथित काल्पनिक मात्राओं का सच्चा सिद्धांत ] (फ्रेंच में)। पेरिस, फ्रांस: मैलेट-बैचलियर। 1861 1828 मूल का पुनर्मुद्रण।
^ देखें:
• वारेन, जॉन (1828)। नकारात्मक मात्राओं के वर्गमूलों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व पर एक ग्रंथ । कैम्ब्रिज, इंग्लैंड: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस।
• वारेन, जॉन (1829)। "ऋणात्मक मात्राओं के वर्गमूलों के ज्यामितीय निरूपण के विरुद्ध उठाई गई आपत्तियों पर विचार" । लंदन की रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेनदेन । 119 : 241-254। डोई : 10.1098/rstl.1829.0022 । S2CID 186211638 ।
• वारेन, जॉन (1829)। "मात्राओं की शक्तियों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व पर, जिनके सूचकांक में ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल शामिल होते हैं" । लंदन की रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेनदेन । 119 : 339–359। डोई : 10.1098/rstl.1829.0031 । S2CID 125699726 ।
^ फ़्रांसीसी, जेएफ (1813)। "नोवेउक्स प्रिन्सिपेस डे जियोमेट्री डे पोजीशन, एट इंटरप्रिटेशन जियोमेट्रीक डेस सिंबल इमेजिनेयर्स" [स्थिति की ज्यामिति के नए सिद्धांत, और जटिल [संख्या] प्रतीकों की ज्यामितीय व्याख्या]। एनालेस डेस मैथेमैटिक्स प्योर्स एट एप्लिकेस (फ्रेंच में)। 4 : 61-71।
^ कैपरिनी, सैंड्रो (2000)। "कॉम्प्लेक्स नंबरों की ज्यामितीय व्याख्या पर कुछ कार्यों की सामान्य उत्पत्ति पर" । किम विलियम्स (सं.) में। दो संस्कृतियाँ । बिरखौसर। पी 139. आईएसबीएन 978-3-7643-7186-9.
^ हार्डी, जीएच; राइट, ईएम (2000) [1938]। संख्याओं के सिद्धांत का परिचय । ओयूपी ऑक्सफोर्ड । पी 189 (चौथा संस्करण)। आईएसबीएन 978-0-19-921986-5.
^ ए बी सी अरगंड (1814)। "रिफ्लेक्शंस सुर ला नोवेल थियोरी डेस इमेजिनेयर्स, सुइव्स डी'यून एप्लीकेशन ए ला डेमोंस्ट्रेशन डी'अन थियोरेम डी'एनालिस" [जटिल संख्याओं के नए सिद्धांत पर प्रतिबिंब, विश्लेषण के एक प्रमेय के प्रमाण के लिए एक आवेदन के बाद]। एनालेस डे मैथेमैटिक्स प्योर्स एट एप्लिकेस (फ्रेंच में)। ५ : १ ९७-२०९।
^ जेफ मिलर (21 सितंबर 1999)। "मॉड्यूलस" । गणित (एम) के कुछ शब्दों के शुरुआती ज्ञात उपयोग । मूल से 3 अक्टूबर 1999 को संग्रहीत।CS1 रखरखाव: अनुपयुक्त URL ( लिंक )
^ कॉची, ऑगस्टिन लुइस (1821)। Cours d'analyse de l'École Royale polytechnique (फ्रेंच में)। खंड 1. पेरिस, फ्रांस: ल इम्प्रिमेरी रोयाल। पी १८३. |volume=अतिरिक्त पाठ है ( सहायता )
^ हैंकेल, हरमन (1867)। वोरलेसुंगेन über डाई कॉम्प्लेक्सन ज़हलेन और इहरे फंक्शनन [ जटिल संख्याओं और उनके कार्यों के बारे में व्याख्यान ] (जर्मन में)। खंड 1. लीपज़िग, [जर्मनी]: लियोपोल्ड वॉस। पी 71. |volume=अतिरिक्त पाठ है ( सहायता )पी से। 71: "वायर वेर्डन डेन फैक्टर ( कॉस + आई सिन φ) हॉफिग डेन रिचटंगस्कोएफिशिएंसीन नेनन।" (हम अक्सर कारक (cos + i sin φ) को "दिशा का गुणांक" कहते हैं।)
^ पूर्व संकेतन के लिए, देखें ( अपोस्टोल 1981 ), पृष्ठ १५-१६।
^ अब्रामोविट्ज़, मिल्टन; स्टेगुन, आइरीन ए. (1964). सूत्रों, रेखांकन और गणितीय तालिकाओं के साथ गणितीय कार्यों की हैंडबुक । कूरियर डोवर प्रकाशन। पी 17. आईएसबीएन 978-0-486-61272-0. मूल से २३ अप्रैल २०१६ को संग्रहीत । 16 फरवरी 2016 को लिया गया ।, धारा ३.७.२६, पृ. 17 संग्रहीत 10 सितम्बर 2009 वेबैक मशीन
^ कुक, रोजर (2008)। शास्त्रीय बीजगणित: इसकी प्रकृति, उत्पत्ति और उपयोग । जॉन विले एंड संस। पी 59. आईएसबीएन 978-0-470-25952-8. मूल से 24 अप्रैल 2016 को संग्रहीत किया गया । 16 फरवरी 2016 को लिया गया ।, निकालें: पेज 59 संग्रहीत 23 अप्रैल 2016 को वेबैक मशीन
^ देखें ( अहलफोर्स १९७९ ), पृष्ठ ३.
^ ए बी देखें ( अपोस्टोल १९८१ ), पृष्ठ १५-१६।
^ देखें ( अपोस्टोल १९८१ ), पृष्ठ २५।
^ (बॉर्बकी 1998 , VIII.1)
^ मार्कर, डेविड (1996)। "क्षेत्रों के मॉडल सिद्धांत का परिचय" । मार्कर में, डी.; मेस्मर, एम.; पिल्ले, ए. (सं.). क्षेत्रों का मॉडल सिद्धांत । तर्क में व्याख्यान नोट्स। ५ . बर्लिन: स्प्रिंगर-वेरलाग. पीपी. 1-37. आईएसबीएन 978-3-540-60741-0. एमआर १४७७१५४ ।
^ (बॉर्बकी 1998 , VIII.4)
^ कोरी, लियो (2015)। संख्याओं का एक संक्षिप्त इतिहास । ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस। पीपी. 215-16.
^ (बॉर्बकी 1998 , VIII.1)
^ लेस्टर, जेए (1994)। "त्रिकोण I: आकार"। समीकरण गणित । ५२ : ३०-५४. डोई : 10.1007/बीएफ01818325 । S2CID 121095307 ।
^ कलमन, डैन (2008a)। "मार्डन के प्रमेय का एक प्राथमिक प्रमाण" । अमेरिकी गणितीय मासिक । 115 (4): 330-38। डीओआई : 10.1080/00029890.2008.11920532 । आईएसएसएन 0002-9890 । S2CID 13222698 । मूल से 8 मार्च 2012 को संग्रहीत । 1 जनवरी 2012 को लिया गया ।
^ कलमन, डैन (2008b)। "गणित में सबसे अद्भुत प्रमेय" । ऑनलाइन गणित और उसके अनुप्रयोगों का जर्नल । मूल से 8 फरवरी 2012 को संग्रहीत । 1 जनवरी 2012 को लिया गया ।
^ अनुदान, आईएस; फिलिप्स, डब्ल्यूआर (2008)। विद्युत चुंबकत्व (2 संस्करण)। मैनचेस्टर भौतिकी श्रृंखला। आईएसबीएन 978-0-471-92712-9.
^ मैकक्रिमोन, केविन (2004)। जॉर्डन बीजगणित का एक स्वाद । विश्वविद्यालय पाठ। स्प्रिंगर। पी 64. आईएसबीएन 0-387-95447-3. श्री ग2014924

उद्धृत कार्य

अहलफोर्स, लार्स (1979)। जटिल विश्लेषण (तीसरा संस्करण)। मैकग्रा-हिल। आईएसबीएन 978-0-07-000657-7.
अपोस्टोल, टॉम (1981)। गणितीय विश्लेषण । एडिसन-वेस्ले।
सोलोमेंटसेव, ईडी (२००१) [१९९४], "कॉम्प्लेक्स नंबर" , गणित का विश्वकोश , ईएमएस प्रेस

अग्रिम पठन

पेनरोज़, रोजर (2005). द रोड टू रियलिटी: ए कम्प्लीट गाइड टू द लॉज़ ऑफ़ द यूनिवर्स । अल्फ्रेड ए. नोपफ। आईएसबीएन ९७८-०-६७९-४५४४३-४.
डर्बीशायर, जॉन (2006)। अज्ञात मात्रा: बीजगणित का एक वास्तविक और काल्पनिक इतिहास । जोसेफ हेनरी प्रेस। आईएसबीएन 978-0-309-09657-7.
नीधम, ट्रिस्टन (1997)। दृश्य जटिल विश्लेषण । क्लेरेंडन प्रेस। आईएसबीएन ९७८-०-१९-८५३४७-१.

गणितीय

अहलफोर्स, लार्स (1979)। जटिल विश्लेषण (तीसरा संस्करण)। मैकग्रा-हिल। आईएसबीएन 978-0-07-000657-7.
कॉनवे, जॉन बी. (1986)। एक जटिल चर I के कार्य । स्प्रिंगर। आईएसबीएन 978-0-387-90328-6.
जोशी, कपिल डी. (1989)। असतत गणित की नींव । न्यूयॉर्क: जॉन विले एंड संस । आईएसबीएन 978-0-470-21152-6.
पेडो, डैन (1988)। ज्यामिति: एक व्यापक पाठ्यक्रम । डोवर। आईएसबीएन 978-0-486-65812-4.
प्रेस, क; ट्यूकोल्स्की, एसए; वेटरलिंग, डब्ल्यूटी; फ्लैनरी, बीपी (2007)। "धारा 5.5 जटिल अंकगणित" । न्यूमेरिकल रेसिपीज़: द आर्ट ऑफ़ साइंटिफिक कंप्यूटिंग (तीसरा संस्करण)। न्यूयॉर्क: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस। आईएसबीएन 978-0-521-88068-8.
सोलोमेंटसेव, ईडी (२००१) [१९९४], "कॉम्प्लेक्स नंबर" , गणित का विश्वकोश , ईएमएस प्रेस

ऐतिहासिक

बॉर्बकी, निकोलस (1998)। "गणित की नींव तर्क: सेट सिद्धांत"। गणित के इतिहास के तत्व । स्प्रिंगर।
बर्टन, डेविड एम. (1995)। गणित का इतिहास (तीसरा संस्करण)। न्यूयॉर्क: मैकग्रा-हिल । आईएसबीएन 978-0-07-009465-9.
काट्ज, विक्टर जे. (2004). गणित का इतिहास, संक्षिप्त संस्करण । एडिसन-वेस्ले । आईएसबीएन 978-0-321-16193-2.
नहीं, पॉल जे। (1998)। एक काल्पनिक कहानी: की कहानी $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ . प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस। आईएसबीएन 978-0-691-02795-1. - जटिल संख्याओं के इतिहास और जटिल विश्लेषण की शुरुआत का एक सौम्य परिचय।
एबिंगहॉस, एच.डी.; हेमीज़, एच.; हिरज़ेब्रुक, एफ.; कोचर, एम.; मेंजर, के.; न्यूकिर्च, जे.; प्रेस्टेल, ए.; रेमर्ट, आर। (1991)। नंबर (हार्डकवर एड।)। स्प्रिंगर। आईएसबीएन 978-0-387-97497-2. - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।

[6] "जटिल संख्याएं, जितनी वास्तविक हैं, और शायद इससे भी अधिक, प्रकृति के साथ एकता पाते हैं जो वास्तव में उल्लेखनीय है। ऐसा लगता है कि प्रकृति स्वयं जटिल-संख्या प्रणाली के दायरे और स्थिरता से उतनी ही प्रभावित है जितनी हम स्वयं हैं, और इन नंबरों को अपनी दुनिया के सटीक संचालन को अपने सबसे छोटे पैमाने पर सौंपा है।" - आर. पेनरोज़ (२०१६, पृष्ठ ७३)^[५]

[14] "द प्लेन $\mathbb {आर} ^{2}$ जिनके बिंदुओं की पहचान के तत्वों से की जाती है $\mathbb {सी}$ जटिल विमान कहा जाता है" ... "संमिश्र संख्याओं और उन पर संचालन की पूर्ण ज्यामितीय व्याख्या पहली बार सी। वेसल (1799) के काम में दिखाई दी। जटिल संख्याओं का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व, जिसे कभी-कभी "अर्गंड आरेख" कहा जाता है, 1806 और 1814 में जेआर अरगंड द्वारा प्रकाशित किए जाने के बाद उपयोग में आया, जिन्होंने बड़े पैमाने पर स्वतंत्र रूप से, वेसल के निष्कर्षों को फिर से खोजा। - ( सोलोमेंटसेव 2001 )

[24] आधुनिक संकेतन में, टार्टाग्लिया का समाधान दो घनमूलों के योग के घन के विस्तार पर आधारित है: $\बाएं({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)^{3}=3{\sqrt[{3}]{uv }}\बाएं({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)+u+v$ साथ में $x={\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}$ , $p=3{\sqrt[{3}]{uv}}$ , $q=u+v$ , $u$ और $v$ को $p$ और $q के$ रूप में व्यक्त किया जा सकता है $u=q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ तथा $v=q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ , क्रमशः। इसलिए, $x={\sqrt[{3}]{q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}+{\sqrt[ {3}]{q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}$ . कब $(क्यू/2)^{2}-(पी/3)^{3}$ ऋणात्मक है (कैसस इरेड्यूसिबिलिस), दूसरे घनमूल को पहले वाले के जटिल संयुग्म के रूप में माना जाना चाहिए।

[25] यह साबित हो गया है कि जब समीकरण के तीन वास्तविक, भिन्न मूल होते हैं, तो काल्पनिक संख्याएं घन सूत्र में प्रकट होती हैं, 1843 में पियरे लॉरेंट वांटजेल, 1890 में विन्सेन्ज़ो मोलामे, 1891 में ओटो होल्डर और 1892 में एडॉल्फ केसर द्वारा। पाओलो रफिनी भी १७९९ में एक अधूरा प्रमाण प्रदान किया। - एस. कॉन्फैलोनिएरी (२०१५)^[२१]

[42] अरगंड (१८१४)^[३७]^{( पी २०४ )} एक सम्मिश्र संख्या के मापांक को परिभाषित करता है, लेकिन वह इसका नाम नहीं लेता है:
"डांस सी क्यूई सूट, लेस एक्सेन्स, इंडिफेरेममेंट प्लेसेस, सेरोन्ट एम्प्लॉयज पोर इंडिकर ला ग्रैंड्योर एब्सोल्यू डेस क्वांटिटेस क्व' आईएलएस प्रभावकारी; ऐंसी, एसआई $a=m+n{\sqrt {-1}}$ , ${\डिस्प्लेस्टाइल एम}$ एट ${\डिस्प्लेस्टाइल n}$ ईटेंट रील्स, देवरा एंटेन्डर क्यू पर $a_{'}$ कहां $a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ ।"
[इस प्रकार, उच्चारण चिह्न, जहां कहीं भी रखे जाते हैं, का उपयोग उन मात्राओं के पूर्ण आकार को इंगित करने के लिए किया जाएगा जिन्हें उन्हें सौंपा गया है; इस प्रकार यदि $a=m+n{\sqrt {-1}}$ , ${\डिस्प्लेस्टाइल एम}$ तथा ${\डिस्प्लेस्टाइल n}$ वास्तविक होने के नाते, यह समझना चाहिए कि $a_{'}$ या $a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ ।]
अरगंड ^[३७]^{( पी २०८ )} एक जटिल संख्या के मॉड्यूल और दिशा कारक को परिभाषित और नाम देता है : "... $a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ पोर्राइट ट्रे अपेल ले मॉड्यूल डी $a+b{\sqrt {-1}}$ , एट रिप्रेजेंटरएट ला ग्रैंड्योर एब्सोल्यू डे ला लिग्ने $a+b{\sqrt {-1}}$ , टंडिस क्यू ल'ऑट्रे फैक्ट्यूर, डोंट ले मॉड्यूल इस्ट ल यूनिट, एन रिप्रेजेंटरैट ला डायरेक्शन।"
[... $a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}$ का मॉड्यूल कहा जा सकता है $a+b{\sqrt {-1}}$ और रेखा के पूर्ण आकार का प्रतिनिधित्व करेंगे $a+b{\sqrt {-1}}\,,$ (ध्यान दें कि Argand जटिल संख्याओं को सदिशों के रूप में दर्शाता है।) जबकि अन्य कारक [अर्थात्, ${\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}} }}{\वर्ग {-1}}$ ], जिसका मॉड्यूल एकता है [1], इसकी दिशा का प्रतिनिधित्व करेगा।] ^[37]

[45] गॉस (1831)^[29]^{( पी 96 )} लिखते हैं
"Quemadmodum ही Arithmetica sublimior में quaestionibus hactenus pertractatis अंतर एकल numeros integros versatur, आईटीए theoremata लगभग residua biquadratica Tunc tantum में सुम्मा simplicitate Reales एसी Genuina venustate चमकीला, quando परिसर अरिथमेटिकी विज्ञापन quantitates imaginarias एक्स्टेंडिटूर, इटा यूट एब्स रेस्ट्रिक्शन इप्सियस ओबिएक्टम कॉन्सट्यूएंट न्यूमेरी फॉर्मे ए + बाय , डेनोटेंटिबस आई , प्रो मोर क्वांटिटेटम इमेजिनेरियम √ −1 , एटक ए, बी अनिश्चित ओमनेस न्यूमेरोस रियल्स इंटीग्रोस इंटर - $\infty$ एट + $\infty$ । "
[बेशक बस के रूप में उच्च गणित अब तक केवल वास्तविक पूर्णांक संख्याओं में समस्याओं में जांच की गई है, इसलिए द्विवर्ग अवशेषों तो सबसे बड़ी सादगी और वास्तविक सुंदरता, में चमक जब गणित के क्षेत्र के लिए बढ़ा दिया गया है के बारे में प्रमेयों काल्पनिक मात्रा, ताकि , इस पर प्रतिबंध के बिना, फॉर्म की संख्या a + bi - i परंपरा द्वारा काल्पनिक मात्रा √ −1 को दर्शाती है , और चर a, b [अंकित] के बीच सभी वास्तविक पूर्णांक संख्याएं $-\infty$ तथा $+\infty$ - एक वस्तु का गठन।] ^[२९]

[46] गॉस (१८३१)^[२९]^{( पी ९६ )}
"टेल्स न्यूमेरोस वोकैबिमस न्यूमेरोस इंटेग्रोस कॉम्प्लेक्सोस, इटा क्विडेम, यूट रियल्स कॉम्प्लेक्सिस नॉन ओपोनेंटूर, सेड टैमक्वम प्रजाति सब हिज कॉन्टिनेरी सेन्सेंटूर।"
[हम ऐसी संख्याओं को [अर्थात्, a + bi के रूप की संख्याएँ] "जटिल पूर्णांक संख्याएँ"कहेंगे, ताकि वास्तविक [संख्याओं] को सम्मिश्र [संख्याओं] के विपरीत नहीं माना जाए, बल्कि [as] एक प्रकार का [संख्या का] ], इसलिए बोलने के लिए, उनके भीतर निहित है।]^[29]

[47] गॉस (1831)^[29]^{( पी 98 )}
"Productum numeri complexi प्रति numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus। प्रो नोर्मा itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum अनु।"
[हम किसी सम्मिश्र संख्या का गुणनफल "मानदंड" कहते हैं [जैसे,. a + ib ] इसके संयुग्म [ a - ib ] के साथ। इसलिए एक वास्तविक संख्या के वर्ग को उसका आदर्श माना जाना चाहिए।]^[29]

[53] हालांकि जटिल घातांक फ़ंक्शन (और ऊपर परिभाषित मूल मूल्य नहीं) के एक और उलटा कार्य के लिए, शाखा कटौतीको मूल के माध्यमसे किसी भी अन्य किरण पर लिया जा सकता है।

[1] "काल्पनिक" संख्याओं के इतिहास के विस्तृत विवरण के लिए, प्रारंभिक संशयवाद से लेकर अंतिम स्वीकृति तक, बॉर्बकी, निकोलस (1998) देखें। "गणित की नींव तर्क: सेट सिद्धांत"। गणित के इतिहास के तत्व । स्प्रिंगर। पीपी। 18-24।

[:0-2] ए बी सी "बीजगणित प्रतीकों की व्यापक सूची" । मठ तिजोरी । 25 मार्च 2020 । 12 अगस्त 2020 को लिया गया ।

[:1-3] ए बी सी "जटिल संख्या" । www.mathsisfun.com . 12 अगस्त 2020 को लिया गया ।

[4] "जटिल संख्या" । शानदार गणित और विज्ञान विकी । 12 अगस्त 2020 को लिया गया ।

[5] पेनरोज़, रोजर (2016)। द रोड टू रियलिटी: ए कम्प्लीट गाइड टू लॉज़ ऑफ़ द यूनिवर्स (रीप्रिंट एड.). आकस्मिक घर। पीपी। 72-73। आईएसबीएन 978-1-4464-1820-8.

[7] एक्सलर, शेल्डन (2010)। कॉलेज बीजगणित । विले। पी २६२ . आईएसबीएन ९७८०४७०४७०७७०.

[8] स्पीगेल, एमआर; लिप्सचुट्ज़, एस.; शिलर, जे जे; स्पेलमैन, डी. (14 अप्रैल 2009)। जटिल चर । शाउम की आउटलाइन सीरीज़ (दूसरा संस्करण)। मैकग्रा हिल। आईएसबीएन 978-0-07-161569-3.

[9] औफमैन, रिचर्ड एन.; बार्कर, वर्नोन सी.; नेशन, रिचर्ड डी. (2007). "अध्याय पी" । कॉलेज बीजगणित और त्रिकोणमिति (6 संस्करण)। सेनगेज लर्निंग। पी 66. आईएसबीएन 978-0-618-82515-8.

[10] (बॉर्बकी 1998 , VIII.1)

[11] देखें ( अहलफोर्स १९७९ )।

[12] ब्राउन, जेम्स वार्ड; चर्चिल, रुएल वी. (1996)। जटिल चर और अनुप्रयोग (6 वां संस्करण)। न्यूयॉर्क: मैकग्रा-हिल। पी 2. आईएसबीएन 978-0-07-912147-9. इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, i के बजाय j अक्षर का उपयोग किया जाता है ।

[13] पेडो, डैन (1988)। ज्यामिति: एक व्यापक पाठ्यक्रम । डोवर। आईएसबीएन 978-0-486-65812-4.

[:2-15] ए बी वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "कॉम्प्लेक्स नंबर" । मैथवर्ल्ड.वोल्फ्राम.कॉम । 12 अगस्त 2020 को लिया गया ।

[16] देखें ( अपोस्टोल १९८१ ), पृष्ठ १८.

[17] कसाना, एच एस (2005). "अध्याय 1" । जटिल चर: सिद्धांत और अनुप्रयोग (द्वितीय संस्करण)। पीएचआई लर्निंग प्रा। लिमिटेड पी. 14. आईएसबीएन 978-81-203-2641-5.

[18] निल्सन, जेम्स विलियम; रीडेल, सुसान ए (2008)। "अध्याय 9" । इलेक्ट्रिक सर्किट (8 वां संस्करण)। शागिर्द कक्ष। पी 338. आईएसबीएन SB 978-0-13-198925-2.

[19] क्लाइन, मॉरिस। गणितीय विचार का इतिहास, खंड १ । पी २५३.

[20] काट्ज, विक्टर जे. (2004). "9.1.4"। गणित का इतिहास, संक्षिप्त संस्करण । एडिसन-वेस्ले । आईएसबीएन 978-0-321-16193-2.

[21] हैमिल्टन, डब्ल्यू। (1844)। "चतुर्भुज के सिद्धांत से जुड़ी काल्पनिक मात्राओं की एक नई प्रजाति पर" । रॉयल आयरिश अकादमी की कार्यवाही । २ : ४२४-४३४।

[22] नहीं, पॉल जे। (2007)। एक काल्पनिक कथा: की कहानी √ -1 । प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस । आईएसबीएन 978-0-691-12798-9. मूल से 12 अक्टूबर 2012 को संग्रहीत । 20 अप्रैल 2011 को लिया गया ।

[Casus-23] ए बी कन्फालोनिएरी, सारा (2015)। घन समीकरणों के लिए कैसस इरेड्यूसिबिलिस से बचने का अप्राप्य प्रयास: गेरोलामो कार्डानो का डी रेगुला अलीज़ा । स्प्रिंगर। पीपी. 15-16 (नोट 26)। आईएसबीएन ९७८-३६५८०९२७५७.

[26] डेसकार्टेस, रेने (1954) [1637]। ला जियोमेट्री | रेने डेसकार्टेस की ज्यामिति पहले संस्करण की प्रतिकृति के साथ । डोवर प्रकाशन । आईएसबीएन 978-0-486-60068-0. 20 अप्रैल 2011 को लिया गया ।

[27] यूलर, लियोनार्ड (1748)। एनालिसिन इनफिनिटोरम में परिचय [ अनंत के विश्लेषण का परिचय ] (लैटिन में)। खंड 1. ल्यूसर्न, स्विट्ज़रलैंड: मार्क मिशेल बॉस्केट एंड कंपनी पी। १०४. |volume=अतिरिक्त पाठ है ( सहायता )

[28] वेसल, कैस्पर (1799)। "ओम डायरेक्शनेंस एनालिटिस्के बेटगनिंग, एट फोरसोग, एनवेंड्ट फॉरनेमेलिग टिल प्लेन और स्फेरिस्के पॉलीगोनर्स ओप्लोसिंग" [दिशा के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व पर, विशेष रूप से विमान और गोलाकार बहुभुज के निर्धारण के लिए लागू एक प्रयास]। कोंगेलिगे डांस्के विडेंस्केबर्नेस सेल्स्कैब्स स्किफ्टर [रॉयल डेनिश साइंस सोसाइटी के लेखन का नया संग्रह] (डेनिश में)। ५ : ४६ ९ -५१८।

[29] वालिस, जॉन (१६८५)। बीजगणित का एक ग्रंथ, ऐतिहासिक और व्यावहारिक दोनों… । लंदन, इंग्लैंड: रिचर्ड डेविस के लिए जॉन प्लेफोर्ड द्वारा मुद्रित। पीपी 264-273।

[30] अरगंड (1806)। Essai sur une manière de representer les quantités imaginaires dans les Construction géométrices [ ज्यामितीय निर्माणों द्वारा जटिल मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के तरीके पर निबंध ] (फ्रेंच में)। पेरिस, फ्रांस: मैडम वीउवे ब्लैंक।

[31] गॉस, कार्ल फ़्रेडरिक (१७९९) "डिमॉन्स्ट्रेटियो नोवा थियोरेमेटिस ओम्नेम फंक्शनम अलजेब्रिकम रेशनलम इंटीग्रम यूनीस वेरिएबिलिस इन फैक्टर्स रियल्स प्राइमी वेल सेकेंडी ग्रैडस रिसोल्वी पोज़।" [प्रमेय का नया प्रमाण कि किसी एकल चर के किसी भी तर्कसंगत अभिन्न बीजगणितीय कार्य को पहली या दूसरी डिग्री के वास्तविक कारकों में हल किया जा सकता है।] पीएच.डी. थीसिस, हेलमस्टेड विश्वविद्यालय, (जर्मनी)। (लैटिन में)

[Ewald-32] ए बी इवाल्ड, विलियम बी (1996)। कांट से हिल्बर्ट तक: गणित की नींव में एक स्रोत पुस्तक । १ . ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस। पी 313. आईएसबीएन ९७८०१९८५०५३५८. 18 मार्च 2020 को लिया गया ।

[Gauss-1831-33] ए बी सी डी ई एफ जी एच गॉस, सीएफ (1831)। "थियोरिया रेसिडुओरम बाइक्वाड्रैटिकोरम। कमेंटैटियो सेकुंडा" [ द्विघात अवशेषों का सिद्धांत। दूसरा संस्मरण।]। टिप्पणियाँ सोसाइटैटिस रेजिया साइंटियारम गोटिंगेंसिस रीसेंटियोरेस (लैटिन में)। 7 : 89-148।

[34] एड्रियन क्वेंटिन बुई (१७४५-१८४५): मैकट्यूटोरो

[35] बुई (1806)। "मेमोइरे सुर लेस क्वांटिटेस इमेजिनेयर्स" [काल्पनिक मात्राओं पर संस्मरण]। लंदन की रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेन-देन (फ्रेंच में)। 96 : 23-88। डीओआई : 10.1098/rstl.1806.0003 । S2CID 110394048 ।

[36] मौरे, सीवी (1861)। La vraies theore des quantités négatives et des quantités pretendues imaginaires [ ऋणात्मक मात्राओं और कथित काल्पनिक मात्राओं का सच्चा सिद्धांत ] (फ्रेंच में)। पेरिस, फ्रांस: मैलेट-बैचलियर। 1861 1828 मूल का पुनर्मुद्रण।

[37] देखें:
• वारेन, जॉन (1828)। नकारात्मक मात्राओं के वर्गमूलों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व पर एक ग्रंथ । कैम्ब्रिज, इंग्लैंड: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस।
• वारेन, जॉन (1829)। "ऋणात्मक मात्राओं के वर्गमूलों के ज्यामितीय निरूपण के विरुद्ध उठाई गई आपत्तियों पर विचार" । लंदन की रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेनदेन । 119 : 241-254। डोई : 10.1098/rstl.1829.0022 । S2CID 186211638 ।
• वारेन, जॉन (1829)। "मात्राओं की शक्तियों के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व पर, जिनके सूचकांक में ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल शामिल होते हैं" । लंदन की रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेनदेन । 119 : 339–359। डोई : 10.1098/rstl.1829.0031 । S2CID 125699726 ।

[38] फ़्रांसीसी, जेएफ (1813)। "नोवेउक्स प्रिन्सिपेस डे जियोमेट्री डे पोजीशन, एट इंटरप्रिटेशन जियोमेट्रीक डेस सिंबल इमेजिनेयर्स" [स्थिति की ज्यामिति के नए सिद्धांत, और जटिल [संख्या] प्रतीकों की ज्यामितीय व्याख्या]। एनालेस डेस मैथेमैटिक्स प्योर्स एट एप्लिकेस (फ्रेंच में)। 4 : 61-71।

[39] कैपरिनी, सैंड्रो (2000)। "कॉम्प्लेक्स नंबरों की ज्यामितीय व्याख्या पर कुछ कार्यों की सामान्य उत्पत्ति पर" । किम विलियम्स (सं.) में। दो संस्कृतियाँ । बिरखौसर। पी 139. आईएसबीएन 978-3-7643-7186-9.

[40] हार्डी, जीएच; राइट, ईएम (2000) [1938]। संख्याओं के सिद्धांत का परिचय । ओयूपी ऑक्सफोर्ड । पी 189 (चौथा संस्करण)। आईएसबीएन 978-0-19-921986-5.

[Argand-1814-41] ए बी सी अरगंड (1814)। "रिफ्लेक्शंस सुर ला नोवेल थियोरी डेस इमेजिनेयर्स, सुइव्स डी'यून एप्लीकेशन ए ला डेमोंस्ट्रेशन डी'अन थियोरेम डी'एनालिस" [जटिल संख्याओं के नए सिद्धांत पर प्रतिबिंब, विश्लेषण के एक प्रमेय के प्रमाण के लिए एक आवेदन के बाद]। एनालेस डे मैथेमैटिक्स प्योर्स एट एप्लिकेस (फ्रेंच में)। ५ : १ ९७-२०९।

[43] जेफ मिलर (21 सितंबर 1999)। "मॉड्यूलस" । गणित (एम) के कुछ शब्दों के शुरुआती ज्ञात उपयोग । मूल से 3 अक्टूबर 1999 को संग्रहीत।CS1 रखरखाव: अनुपयुक्त URL ( लिंक )

[44] कॉची, ऑगस्टिन लुइस (1821)। Cours d'analyse de l'École Royale polytechnique (फ्रेंच में)। खंड 1. पेरिस, फ्रांस: ल इम्प्रिमेरी रोयाल। पी १८३. |volume=अतिरिक्त पाठ है ( सहायता )

[48] हैंकेल, हरमन (1867)। वोरलेसुंगेन über डाई कॉम्प्लेक्सन ज़हलेन और इहरे फंक्शनन [ जटिल संख्याओं और उनके कार्यों के बारे में व्याख्यान ] (जर्मन में)। खंड 1. लीपज़िग, [जर्मनी]: लियोपोल्ड वॉस। पी 71. |volume=अतिरिक्त पाठ है ( सहायता )पी से। 71: "वायर वेर्डन डेन फैक्टर ( कॉस + आई सिन φ) हॉफिग डेन रिचटंगस्कोएफिशिएंसीन नेनन।" (हम अक्सर कारक (cos + i sin φ) को "दिशा का गुणांक" कहते हैं।)

[49] पूर्व संकेतन के लिए, देखें ( अपोस्टोल 1981 ), पृष्ठ १५-१६।

[50] अब्रामोविट्ज़, मिल्टन; स्टेगुन, आइरीन ए. (1964). सूत्रों, रेखांकन और गणितीय तालिकाओं के साथ गणितीय कार्यों की हैंडबुक । कूरियर डोवर प्रकाशन। पी 17. आईएसबीएन 978-0-486-61272-0. मूल से २३ अप्रैल २०१६ को संग्रहीत । 16 फरवरी 2016 को लिया गया ।, धारा ३.७.२६, पृ. 17 संग्रहीत 10 सितम्बर 2009 वेबैक मशीन

[51] कुक, रोजर (2008)। शास्त्रीय बीजगणित: इसकी प्रकृति, उत्पत्ति और उपयोग । जॉन विले एंड संस। पी 59. आईएसबीएन 978-0-470-25952-8. मूल से 24 अप्रैल 2016 को संग्रहीत किया गया । 16 फरवरी 2016 को लिया गया ।, निकालें: पेज 59 संग्रहीत 23 अप्रैल 2016 को वेबैक मशीन

[52] देखें ( अहलफोर्स १९७९ ), पृष्ठ ३.

[Apostol_1981-54] ए बी देखें ( अपोस्टोल १९८१ ), पृष्ठ १५-१६।

[55] देखें ( अपोस्टोल १९८१ ), पृष्ठ २५।

[56] (बॉर्बकी 1998 , VIII.1)

[57] मार्कर, डेविड (1996)। "क्षेत्रों के मॉडल सिद्धांत का परिचय" । मार्कर में, डी.; मेस्मर, एम.; पिल्ले, ए. (सं.). क्षेत्रों का मॉडल सिद्धांत । तर्क में व्याख्यान नोट्स। ५ . बर्लिन: स्प्रिंगर-वेरलाग. पीपी. 1-37. आईएसबीएन 978-3-540-60741-0. एमआर १४७७१५४ ।

[58] (बॉर्बकी 1998 , VIII.4)

[59] कोरी, लियो (2015)। संख्याओं का एक संक्षिप्त इतिहास । ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस। पीपी. 215-16.

[60] (बॉर्बकी 1998 , VIII.1)

[61] लेस्टर, जेए (1994)। "त्रिकोण I: आकार"। समीकरण गणित । ५२ : ३०-५४. डोई : 10.1007/बीएफ01818325 । S2CID 121095307 ।

[62] कलमन, डैन (2008a)। "मार्डन के प्रमेय का एक प्राथमिक प्रमाण" । अमेरिकी गणितीय मासिक । 115 (4): 330-38। डीओआई : 10.1080/00029890.2008.11920532 । आईएसएसएन 0002-9890 । S2CID 13222698 । मूल से 8 मार्च 2012 को संग्रहीत । 1 जनवरी 2012 को लिया गया ।

[63] कलमन, डैन (2008b)। "गणित में सबसे अद्भुत प्रमेय" । ऑनलाइन गणित और उसके अनुप्रयोगों का जर्नल । मूल से 8 फरवरी 2012 को संग्रहीत । 1 जनवरी 2012 को लिया गया ।

[64] अनुदान, आईएस; फिलिप्स, डब्ल्यूआर (2008)। विद्युत चुंबकत्व (2 संस्करण)। मैनचेस्टर भौतिकी श्रृंखला। आईएसबीएन 978-0-471-92712-9.

[65] मैकक्रिमोन, केविन (2004)। जॉर्डन बीजगणित का एक स्वाद । विश्वविद्यालय पाठ। स्प्रिंगर। पी 64. आईएसबीएन 0-387-95447-3. श्री ग2014924

[१]